مماس منحنى القطع المكافئ - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- معادلة مماس منحنى القطع المكافئ عند الرأس - إذا كان المنحنى مفتوحًا أفقيًا، فإن معادلة المماس عند رأس القطع هي: x = h - إذا كان المنحنى مفتوحًا رأسيًا، فإن معادلة المماس عند رأس القطع هي: y = k --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي --- SECTION: مماس منحنى القطع المكافئ --- مماس منحنى القطع المكافئ مماس القطع المكافئ عند النقطة P المغايّرة لرأسه هو مستقيم يحوي أحد أضلاع مثلث متطابق الضلعين بحيث يكون: • القطعة المستقيمة الواصلة بين البؤرة P والبؤرة هي أحد الضلعين المتطابقين. • القطعة المستقيمة الواصلة بين البؤرة ونقطة تقاطع المماس مع محور التماثل هي الضلع الثاني. --- SECTION: مثال ٥ --- مثال ٥ --- SECTION: كتابة معادلة مماس منحنى القطع المكافئ --- كتابة معادلة مماس منحنى القطع المكافئ اكتب معادلة مماس منحنى القطع المكافئ 3 + y² = x عند النقطة (2 ,7)P. --- SECTION: الخطوة الأولى: أوجد إحداثيات الرأس ثم البؤرة. --- الخطوة الأولى: أوجد إحداثيات الرأس ثم البؤرة. المنحنى مفتوح أفقيًا. المعادلة الأصلية: x = y² + 3 الصورة القياسية: 1(x - 3) = (y - 0)² بما أن 1 = 4c فإن 0.25 = c . ويكون الرأس (0 ,3)، والبؤرة (0 ,3.25). --- SECTION: الخطوة الثانية: أوجد d (وهي المسافة بين البؤرة F، ونقطة التماس P) كما يظهر في الشكلين الآتيين. --- الخطوة الثانية: أوجد d (وهي المسافة بين البؤرة F، ونقطة التماس P) كما يظهر في الشكلين الآتيين. حيث d تمثل طول أحد أضلاع المثلث المتطابق الضلعين. صيغة المسافة: d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² (0 ,3.25) = (x₁, y₁) و (2 ,7) = (x₂, y₂) = √(7 - 3.25)² + (2 - 0)² بسط: = 4.25 --- SECTION: الخطوة الثالثة: أوجد A (وهي نقطة نهاية الضلع الآخر للمثلث المتطابق الضلعين، وتقع على محور التماثل) --- الخطوة الثالثة: أوجد A (وهي نقطة نهاية الضلع الآخر للمثلث المتطابق الضلعين، وتقع على محور التماثل) بما أن 4.25 = d ، وإحداثيات البؤرة هي (0 ,3.25)، والنقطة A تقع على محور التماثل، فإن الإحداثي x لها يقل عن البؤرة بمقدار 4.25، والإحداثي y لها هو نفس الإحداثي y للبؤرة، لذا (0 ,1-) = (0 ,3.25 - 4.25) = A . --- SECTION: الخطوة الرابعة: أوجد معادلة المماس. --- الخطوة الرابعة: أوجد معادلة المماس. تقع النقطتان P و A على مماس منحنى القطع المكافئ. صيغة الميل: m = (2 - 0) / (7 - (-1)) = 2 / 8 = 1 / 4 معادلة مستقيم بمعلومية الميل ونقطة: y - y₁ = m(x - x₁) بما أن 1/4 = m و 2 = y₁ و 7 = x₁: y - 2 = 1/4 (x - 7) خاصية التوزيع: y - 2 = x/4 - 7/4 اجمع 2 إلى الطرفين: y = x/4 - 7/4 + 2 y = x/4 + 1/4 إذن معادلة المماس لمنحنى 3 + y² = x عند النقطة (2 ,7) هي 1/4 + x/4 = y . انظر الشكل 4.1.1. --- SECTION: الشكل 4.1.1 --- الشكل 4.1.1 --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 5A --- y = 4x² + 4; (-1, 8) --- SECTION: 5B --- x = 5 - y²/4; (1, -4) وزارة التعليم الدرس 1-4 القطوع المكافئة 177 of --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram illustrating a parabola opening to the right, with its axis of symmetry. A point P is on the parabola, and a tangent line 'l' touches the parabola at P. The focus F is shown. A line segment connects F to P. Another line segment connects F to the intersection point of the tangent line and the axis of symmetry. These two segments are marked with equal length 'd'. Key Values: نقطة تقاطع المماس مع محور التماثل, محور التماثل, المماس, F (Focus), P (Point on parabola), l (Tangent line) Context: Illustrates the geometric property of a tangent to a parabola, specifically that the distance from the focus to the point of tangency is equal to the distance from the point of tangency to the directrix (or a point on the axis of symmetry related to the directrix), as described in the 'مفهوم أساسي' section. **GRAPH**: الشكل 4.1.1 Description: A coordinate plane graph showing a parabola opening to the right, with its vertex at (3,0). The focus F is at (3.25, 0). A point P(7,2) is on the parabola. A line segment connects F to P. Another point A(-1,0) is shown on the axis of symmetry (x-axis). A dashed line connects A to P. The grid lines are visible. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a parabola with its vertex at (3,0) and focus at (3.25,0). A point P(7,2) is on the parabola. A line segment connects F to P. Another point A(-1,0) is on the x-axis, and a dashed line connects A to P. The grid allows for coordinate identification. Key Values: Origin O(0,0), Focus F(3.25, 0), Point P(7,2), Point A(-1,0), Vertex (3,0) Context: Provides a visual representation for Example 5, showing the parabola, its focus, the point of tangency P, and the point A on the axis of symmetry, which are used to find the tangent equation. It visually confirms the coordinates used in the calculations. **DIAGRAM**: Untitled Description: A simplified conceptual diagram showing three points A, F, and P. A dashed line segment 'd' connects A to P, and another dashed line segment 'd' connects F to P, indicating that these two distances are equal in length. Key Values: Point A, Point F (Focus), Point P, Distance d Context: Reinforces the concept of equal distances 'd' from the focus to the point of tangency and from the point on the directrix (or a related point on the axis of symmetry) to the point of tangency, which is a key property used in the example.