الاختلاف المركزي للقطع الزائد وتطبيقاته - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: مثال 4 --- مثال 4 --- SECTION: الاختلاف المركزي للقطع الزائد --- الاختلاف المركزي للقطع الزائد حدد الاختلاف المركزي للقطع الزائد الذي معادلته 1 = (x+5)² / 36 - (y-4)² / 48 . حدد أولاً قيمة c ثم الاختلاف المركزي. العلاقة بين a, b, c c² = a² + b² a² = 48, b² = 36 c² = 48 + 36 c² = 84 c = √84 بسط صيغة الاختلاف المركزي e = c/a a = √48 e = √84 / √48 e ≈ 1.32 الاختلاف المركزي يساوي 1.32 تقريباً. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك حدد الاختلاف المركزي للقطع الزائد المعطاة معادلته في كل مما يأتي: 4A) (x+8)² / 64 - (y-4)² / 80 = 1 4B) (x+9)² / 75 - (y-2)² / 15 = 1 يمكن لنظام كشف الصواعق تحديد موقع صاعقة باستعمال مجسين موضوعين عند بؤرتي قطع زائد. --- SECTION: تطبيقات على القطع الزائد --- تطبيقات على القطع الزائد --- SECTION: مثال 5 من واقع الحياة --- مثال 5 من واقع الحياة --- SECTION: أرصاد --- أرصاد: يحتوي نظام كشف الصواعق على مجسين يحولان الأمواج الضوئية للصاعقة إلى صيغة رقمية تسجل تفاصيل تلك الصاعقة. فإذا وضع مجسان للكشف عن الصواعق يبعد أحدهما عن الآخر بمقدار 6km ، بحيث كان المجس A شمال المجس B . ومض برق صاعقة شرق كل من المجسين، وكان بعده عن المجس B يزيد بمقدار 1.5km على بعده عن المجس A . --- SECTION: الربط مع الحياة --- الربط مع الحياة تضرب الصواعق أمكنة على سطح الأرض بما يقارب 100 مرة في الثانية. a) اكتب معادلة القطع الزائد الذي تقع الصاعقة على منحناه. حدد موقع المجسين على مستوى إحداثي على أن تكون نقطة الأصل هي منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بينهما. وبما أن موقع الصاعقة إلى الشرق من كلا المجسين، وأقرب إلى المجس B ، فإن موقعها في الربع الرابع. المطلق بين بعدي أي نقطة على المنحنى عن البؤرتين هو 2a ، وبما أن بعد الصاعقة عن المجس A يزيد بمقدار 1.5km على بعدها عن المجس B ، فإن 1.5 = 2a ، أي أن 0.75 = a . استعمل قيمتي a و c لتجد b . العلاقة بين a, b, c c = 3, a = 0.75 c² = a² + b² 3² = 0.75² + b² 9 = 0.5625 + b² بسط b² = 8.4375 المحور القاطع رأسي ومركز القطع الزائد عند نقطة الأصل. لذا فالمعادلة هي 1 = y² / a² - x² / b² . وعند تعويض قيمتي a² , b² ، تصبح المعادلة 1 = y² / 0.5625 - x² / 8.4375 . أي أن موقع الصاعقة يمثل نقطة على منحنى القطع الزائد الذي معادلته 1 = y² / 0.5625 - x² / 8.4375 . وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 194 الفصل 4 القطوع المخروطية --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: صورة تظهر صاعقة برق تضرب الأرض، مع سماء مظلمة وأشجار في المقدمة. الصورة مرتبطة بقسم 'الربط مع الحياة' وتوضح تطبيق القطوع المخروطية في الحياة الواقعية. Context: توضح الصورة ظاهرة الصواعق التي يتم استخدام القطوع الزائدة في تحديد مواقعها. **DIAGRAM**: Untitled Description: شبكة إحداثية توضح موقع المجسين A و B ونقطة الأصل O وموقع الصاعقة. المجس A يقع على المحور y الموجب، والمجس B يقع على المحور y السالب. موقع الصاعقة يقع في الربع الرابع، مما يشير إلى إحداثيات موجبة لـ x وسالبة لـ y. X-axis: x Y-axis: y Data: المجس A يقع على المحور y الموجب. المجس B يقع على المحور y السالب. نقطة الأصل O في المنتصف بين المجسين. موقع الصاعقة يقع في الربع الرابع. Key Values: المجس A, المجس B, موقع الصاعقة, O, x, y Context: يستخدم هذا الرسم البياني لتحديد المواقع النسبية للمجسين والصاعقة كخطوة أولى في حل مثال 5، حيث يتم تمثيل المجسين كبؤرتين للقطع الزائد. **DIAGRAM**: Untitled Description: شبكة إحداثية تظهر منحنى قطع زائد يمر عبر موقع الصاعقة، مع المجسين A و B كبؤرتين. يوضح الرسم البياني كيف يمثل القطع الزائد المسار المحتمل للصاعقة بناءً على فرق المسافة الثابت من المجسين. X-axis: x Y-axis: y Data: منحنى قطع زائد يمر عبر نقطة 'موقع الصاعقة' في الربع الرابع. المجس A والمجس B يمثلان بؤرتي القطع الزائد. مركز القطع الزائد عند نقطة الأصل O. Key Values: المجس A, المجس B, موقع الصاعقة, O, x, y Context: يمثل هذا الرسم البياني الحل الهندسي لمثال 5، حيث يوضح القطع الزائد كمسار لجميع النقاط التي يكون فيها فرق المسافات إلى المجسين (البؤرتين) ثابتًا، مما يساعد في تحديد موقع الصاعقة.