تدرب وحل المسائل - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

تدرب وحل المسائل

1. g(x) = -5√x + 50

استعمل التمثيل البياني لتقدير القيم ثم تحقق جبرياً:

a) g(6): من الرسم البياني، تقع النقطة عند x=6 على المنحنى بالقرب من y ≈ 37.5. التحقق الجبري: g(6) = -5√6 + 50 ≈ -5(2.449) + 50 ≈ -12.245 + 50 ≈ 37.755. تقريباً إلى أقرب جزء من مئة: 37.76.

b) g(12): من الرسم البياني، تقع النقطة عند x=12 على المنحنى بالقرب من y ≈ 32.5. التحقق الجبري: g(12) = -5√12 + 50 ≈ -5(3.464) + 50 ≈ -17.32 + 50 ≈ 32.68. تقريباً إلى أقرب جزء من مئة: 32.68.

c) g(19): من الرسم البياني، تقع النقطة عند x=19 على المنحنى بالقرب من y ≈ 28. التحقق الجبري: g(19) = -5√19 + 50 ≈ -5(4.359) + 50 ≈ -21.795 + 50 ≈ 28.205. تقريباً إلى أقرب جزء من مئة: 28.21.

2. g(x) = |x| + 2

استعمل التمثيل البياني لتقدير القيم ثم تحقق جبرياً:

a) g(-8): من الرسم البياني، النقطة عند x=-8 تقع على المنحنى عند y=10. التحقق الجبري: g(-8) = |-8| + 2 = 8 + 2 = 10.

b) g(-3): من الرسم البياني، النقطة عند x=-3 تقع على المنحنى عند y=5. التحقق الجبري: g(-3) = |-3| + 2 = 3 + 2 = 5.

c) g(0): من الرسم البياني، النقطة عند x=0 تقع على المنحنى عند y=2. التحقق الجبري: g(0) = |0| + 2 = 0 + 2 = 2.

3. P(x) = {-3, x < 2; x-1, x ≥ 2}

استعمل التمثيل البياني لتقدير القيم ثم تحقق جبرياً:

a) P(-6): من الرسم البياني، عندما x < 2، الدالة ثابتة عند y = -3. التحقق الجبري: بما أن -6 < 2، فإن P(-6) = -3.

b) P(2): من الرسم البياني، عند x=2، الدالة تأخذ القيمة من القاعدة الثانية. التحقق الجبري: بما أن 2 ≥ 2، فإن P(2) = 2 - 1 = 1.

c) P(9): من الرسم البياني، عندما x ≥ 2، الدالة خطية. التحقق الجبري: بما أن 9 ≥ 2، فإن P(9) = 9 - 1 = 8.

4. f(x) = (x-1)/(x-1)

استعمل التمثيل البياني لتقدير القيم ثم تحقق جبرياً:

a) f(-3): من الرسم البياني، عند x=-3، قيمة الدالة هي 1. التحقق الجبري: f(-3) = (-3-1)/(-3-1) = (-4)/(-4) = 1.

b) f(0.5): من الرسم البياني، عند x=0.5، قيمة الدالة هي 1. التحقق الجبري: f(0.5) = (0.5-1)/(0.5-1) = (-0.5)/(-0.5) = 1.

c) f(1): من الرسم البياني، عند x=1، هناك دائرة مفتوحة (ثقب) عند النقطة (1,1)، مما يعني أن الدالة غير معرفة عند x=1. التحقق الجبري: f(1) = (1-1)/(1-1) = 0/0 (غير معرفة).

5. مياه: f(x) = 0.0509x⁴ - 0.3395x³ - 2.28x² + 25.35x + 88.27

a) قدر كمية المياه المحلاة في سنة 1435 هـ باستعمال التمثيل البياني: من الرسم البياني، السنة 1435 هـ تقابل x=5 (حيث x رقم السنة منذ 1430). عند x=5، تقع النقطة على المنحنى عند y ≈ 140 مليون متر مكعب.

b) أوجد كمية المياه المحلاة في سنة 1435 هـ جبرياً: f(5) = 0.0509(5)⁴ - 0.3395(5)³ - 2.28(5)² + 25.35(5) + 88.27 = 0.0509(625) - 0.3395(125) - 2.28(25) + 126.75 + 88.27 = 31.8125 - 42.4375 - 57 + 126.75 + 88.27 = 147.395. تقريباً إلى أقرب جزء من عشرة: 147.4 مليون متر مكعب.

c) قدر السنة التي كانت كمية المياه المحلاة فيها 130 مليون متر مكعب: من الرسم البياني، عند y=130، تقع النقطة على المنحنى عند x ≈ 4. هذا يعني السنة 1434 هـ (1430+4). التحقق الجبري: حل المعادلة f(x)=130 باستخدام الحاسبة أو طريقة عددية يعطي x ≈ 4.0.

6. مجال ومدى الدالة h(x) من الشكل 6:

المجال: المنحنى يمتد بلا نهاية إلى اليسار (سهم يشير إلى x→-∞) وإلى اليمين (سهم يشير إلى x→+∞). المجال: (-\infty, \infty).

المدى: المنحنى يمتد بلا نهاية إلى الأسفل (سهم يشير إلى y→-∞) وإلى الأعلى (سهم يشير إلى y→+∞). المدى: (-\infty, \infty).

7. مجال ومدى الدالة h(x) من الشكل 7:

المجال: يبدأ المنحنى عند x = -4 بدائرة مفتوحة (غير مشمولة) وينتهي عند x = 4 بدائرة مغلقة (مشمولة). المجال: (-4, 4].

المدى: أدنى قيمة للمنحنى هي y = -2 (دائرة مغلقة، مشمولة). أعلى قيمة هي y = 3 (دائرة مغلقة، مشمولة). المدى: [-2, 3].

8. مجال ومدى الدالة h(x) من الشكل 8:

المجال: المنحنى يمتد بلا نهاية إلى اليسار (سهم يشير إلى x→-∞) وإلى اليمين (سهم يشير إلى x→+∞). المجال: (-\infty, \infty).

المدى: المنحنى يمتد بلا نهاية إلى الأعلى (سهم يشير إلى y→+∞). أدنى قيمة للمنحنى هي عند النقطة الدنيا المحلية، حيث y ≈ -2 (دائرة مغلقة، مشمولة). المدى: [-2, \infty).

9. مجال ومدى الدالة h(x) من الشكل 9:

المجال: المنحنى يمتد بلا نهاية إلى اليسار (سهم يشير إلى x→-∞) وينتهي عند x = 3 بدائرة مغلقة (مشمولة). المجال: (-\infty, 3].

المدى: المنحنى يبدأ من أعلى (سهم يشير إلى y→+∞) وينتهي عند أدنى قيمة y = 1 (دائرة مغلقة، مشمولة). المدى: [1, \infty).

10. هندسة: اختبار خصائص المواد

a) أوجد المجال والمدى لكل دالة (لكل معدن):

* النحاس: المجال: من الرسم البياني، يبدأ من حوالي 0°C وينتهي عند حوالي 100°C. المدى: من حوالي 0 J إلى حوالي 40 J.

* الألومنيوم: المجال: من حوالي 0°C إلى حوالي 100°C. المدى: من حوالي 0 J إلى حوالي 90 J.

* الزنك: المجال: من حوالي 0°C إلى حوالي 100°C. المدى: من حوالي 0 J إلى حوالي 60 J.

* الفولاذ: المجال: من حوالي 0°C إلى حوالي 100°C. المدى: من حوالي 0 J إلى حوالي 25 J.

b) قدّر الطاقة المخزنة عند 0°C:

* النحاس: ≈ 0 J

* الألومنيوم: ≈ 0 J

* الزنك: ≈ 0 J

* الفولاذ: ≈ 0 J

11. f(x) = √x - 1

* مقطع المحور y: من الرسم البياني، يقطع المنحنى المحور y عند النقطة (0, -1). التحقق الجبري: f(0) = √0 - 1 = -1.

* أصفار الدالة (من الرسم): يقطع المنحنى المحور x عند النقطة (1, 0).

* أصفار الدالة (جبرياً): f(x)=0 ⇒ √x - 1 = 0 ⇒ √x = 1 ⇒ x = 1. إذن، الصفر هو x=1.

12. f(x) = 2x³ - x² - 3x

* مقطع المحور y: من الرسم البياني، يقطع المنحنى المحور y عند النقطة (0, 0). التحقق الجبري: f(0) = 2(0)³ - (0)² - 3(0) = 0.

* أصفار الدالة (من الرسم): يقطع المنحنى المحور x عند النقاط (-1, 0), (0, 0), (1.5, 0).

* أصفار الدالة (جبرياً): f(x)=0 ⇒ 2x³ - x² - 3x = 0 ⇒ x(2x² - x - 3) = 0 ⇒ x(2x - 3)(x + 1) = 0. إذن، الأصفار هي: x = 0, x = 3/2 = 1.5, x = -1.

تدرب وحل المسائل

استعمل التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي؛ لتقدير قيمها المطلوبة، ثم تحقق من إجابتك جبريًا. وقرّب الناتج إلى أقرب جزء من مئة إذا لزم ذلك: (مثال 1)

g(x) = -5√x + 50

g(x) = |x| + 2

P(x) = {-3, x < 2; x - 1, x ≥ 2}

f(x) = (x - 1) / x

مياه: إذا كانت كمية المياه المحلاة في محطة الخبر (بملايين المترات المكعبة) في الفترة (1431هـ إلى 1437هـ) معطاة بالدالة f(x) = 0.0509x⁴ - 0.3395x³ - 2.28x² + 25.35x + 88.27 حيث تمثل x رقم السنة منذ عام 1430 هـ. (مثال 1)

استعمل التمثيل البياني للدالة h في كل مما يأتي لإيجاد كل من مجال الدالة ومداها. (مثال 2)

y = h(x)

y = h(x)

h(x)

y = h(x)

هندسة: أجريت اختبارات على الخصائص الفيزيائية لعينات من أربع قطع معدنية، حيث أخضعت لدرجات حرارة سيليزية مختلفة. فإذا كانت الطاقة المخزنة أو الممتصة في العينة خلال الاختبار مقاسة بالجول (J) كما هو موضح في الشكل أدناه، فأجب عما يأتي: (مثال 2)

استعمل التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي؛ لإيجاد مقطع المحور y، وأصفار الدالة، ثم أوجد أصفار الدالة جبريًا: (المثالان 3, 4)

f(x) = √x - 1

f(x) = 2x³ - x² - 3x

تدرب وحل المسائل استعمل التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي؛ لتقدير قيمها المطلوبة، ثم تحقق من إجابتك جبريًا. وقرّب الناتج إلى أقرب جزء من مئة إذا لزم ذلك: (مثال 1) --- SECTION: 1 --- g(x) = -5√x + 50 a. g(6) b. g(12) c. g(19) --- SECTION: 2 --- g(x) = |x| + 2 a. g(-8) b. g(-3) c. g(0) --- SECTION: 3 --- P(x) = {-3, x < 2; x - 1, x ≥ 2} a. P(-6) b. P(2) c. P(9) --- SECTION: 4 --- f(x) = (x - 1) / x a. f(-3) b. f(0.5) c. f(1) --- SECTION: 5 --- مياه: إذا كانت كمية المياه المحلاة في محطة الخبر (بملايين المترات المكعبة) في الفترة (1431هـ إلى 1437هـ) معطاة بالدالة f(x) = 0.0509x⁴ - 0.3395x³ - 2.28x² + 25.35x + 88.27 حيث تمثل x رقم السنة منذ عام 1430 هـ. (مثال 1) a. قدر كمية المياه المحلاة في سنة 1435 هـ باستعمال التمثيل البياني. b. أوجد كمية المياه المحلاة في سنة 1435 هـ جبريًا مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة. c. قدر السنة التي كانت كمية المياه المحلاة فيها 130 مليون متر مكعب باستعمال التمثيل البياني، وتحقق من إجابتك جبريًا. استعمل التمثيل البياني للدالة h في كل مما يأتي لإيجاد كل من مجال الدالة ومداها. (مثال 2) --- SECTION: 6 --- y = h(x) --- SECTION: 7 --- y = h(x) --- SECTION: 8 --- h(x) --- SECTION: 9 --- y = h(x) --- SECTION: 10 --- هندسة: أجريت اختبارات على الخصائص الفيزيائية لعينات من أربع قطع معدنية، حيث أخضعت لدرجات حرارة سيليزية مختلفة. فإذا كانت الطاقة المخزنة أو الممتصة في العينة خلال الاختبار مقاسة بالجول (J) كما هو موضح في الشكل أدناه، فأجب عما يأتي: (مثال 2) a. أوجد المجال والمدى لكل دالة. b. استعمل التمثيل البياني لتقدير الطاقة المخزنة في كل معدن عند الصفر السيليزي. استعمل التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي؛ لإيجاد مقطع المحور y، وأصفار الدالة، ثم أوجد أصفار الدالة جبريًا: (المثالان 3, 4) --- SECTION: 11 --- f(x) = √x - 1 --- SECTION: 12 --- f(x) = 2x³ - x² - 3x --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Curve starts high at x=0 and decreases. Passes through (16, 30). Context: Used to estimate function values at x=6, 12, 19. **GRAPH**: Untitled Description: Symmetric V-shape opening upwards with vertex at (0, 2). Context: Used to estimate function values at x=-8, -3, 0. **GRAPH**: Untitled Description: Horizontal line y=-3 for x<2. Line with slope 1 starting at (2, 1) for x>=2. Context: Used to evaluate piecewise function at x=-6, 2, 9. **GRAPH**: Untitled Description: Rational function with vertical asymptote at x=0 and horizontal asymptote at y=1. Context: Used to estimate function values at x=-3, 0.5, 1. **GRAPH**: كمية المياه المحلاة في محطة الخبر Description: Curve showing water quantity increasing over years. Starts around 110 at year 1 and reaches near 160 at year 8. X-axis: السنوات منذ 1430 هـ Y-axis: الكمية (بملايين المترات المكعبة) Context: Real-world application problem involving estimation from graph. **GRAPH**: Untitled Description: Symmetric W-shaped graph opening downwards. Context: Used to determine domain and range. **GRAPH**: Untitled Description: Continuous curve with finite domain from -3 (exclusive) to 4 (inclusive). Context: Used to determine domain and range. **GRAPH**: Untitled Description: Cubic-like function extending to infinity in both directions. Context: Used to determine domain and range. **GRAPH**: Untitled Description: Zigzag pattern starting at x=-4 and extending to infinity on the right. Context: Used to determine domain and range. **GRAPH**: نتائج اختبار خصائص المواد Description: Graph comparing stored energy vs temperature for 4 metals. X-axis: الحرارة (°C) Y-axis: الطاقة المخزنة (J) Context: Used to find domain/range and estimate values at 0°C. **GRAPH**: Untitled Description: Square root function shifted down by 1. Context: Used to find y-intercept and zeros. **GRAPH**: Untitled Description: Cubic function crossing x-axis at -1, 0, and 1.5. Context: Used to find y-intercept and zeros.