الحاسبة البيانية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

ملخص الدرس

25. f(x) = x² + 6x + 10

* التحليل البياني: باستخدام الحاسبة البيانية، منحنى الدالة هو قطع مكافئ مفتوح لأعلى. لا يبدو متماثلاً حول المحور y أو نقطة الأصل.

* التحقق الجبري: f(-x) = (-x)² + 6(-x) + 10 = x² - 6x + 10. بما أن f(-x) ≠ f(x) و f(-x) ≠ -f(x)، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية.

26. f(x) = -2x³ + 5x - 4

* التحليل البياني: باستخدام الحاسبة البيانية، منحنى الدالة هو منحنى تكعيبي. لا يبدو متماثلاً حول المحور y أو نقطة الأصل.

* التحقق الجبري: f(-x) = -2(-x)³ + 5(-x) - 4 = 2x³ - 5x - 4. بما أن f(-x) ≠ f(x) و f(-x) ≠ -f(x)، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية.

27. g(x) = √x + 6

* التحليل البياني: باستخدام الحاسبة البيانية، منحنى الدالة هو نصف قطع مكافئ يبدأ من النقطة (0,6) ويمتد إلى اليمين. لا يبدو متماثلاً حول المحور y أو نقطة الأصل.

* التحقق الجبري: مجال الدالة هو x ≥ 0. بما أن مجال الدالة لا يشمل قيم سالبة لـ x، فلا يمكن تطبيق اختبار التماثل للدوال الزوجية أو الفردية. لذلك، الدالة ليست زوجية ولا فردية.

28. h(x) = |8 - 2x|

* التحليل البياني: باستخدام الحاسبة البيانية، منحنى الدالة هو شكل V. لا يبدو متماثلاً حول المحور y أو نقطة الأصل.

* التحقق الجبري: h(-x) = |8 - 2(-x)| = |8 + 2x|. بما أن h(-x) ≠ h(x) و h(-x) ≠ -h(x)، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية.

29. f(x) = |x|³

* التحليل البياني: باستخدام الحاسبة البيانية، منحنى الدالة متماثل حول المحور y.

* التحقق الجبري: f(-x) = | -x |³ = |x|³ = f(x). بما أن f(-x) = f(x)، فإن الدالة زوجية. منحناها متماثل حول المحور y.

30. g(x) = x² / (x + 1)

* التحليل البياني: باستخدام الحاسبة البيانية، منحنى الدالة ليس متماثلاً حول المحور y أو نقطة الأصل.

* التحقق الجبري: g(-x) = (-x)² / (-x + 1) = x² / (1 - x). بما أن g(-x) ≠ g(x) و g(-x) ≠ -g(x)، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية.

31. استعمل التمثيل البياني للدالة f لتقدير قيمها المطلوبة:

* أ) f(-2): من الرسم البياني، عند x = -2، تقع النقطة على المنحنى عند y = -6. إذن، f(-2) ≈ -6.

* ب) f(-4): من الرسم البياني، عند x = -4، تقع النقطة على المنحنى عند y ≈ -8.5. إذن، f(-4) ≈ -8.5.

* ج) f(2): من الرسم البياني، عند x = 2، تقع النقطة على المنحنى عند y = 0. إذن، f(2) = 0.

استعمل التمثيل البياني لكل معادلة مما يأتي لاختبار التماثل حول المحور x ، والمحور y ، ونقطة الأصل. عزز إجابتك عددياً، ثم تحقق منها جبرياً:

13. f(x) = ³√x

* التماثل حول المحور x: لا، لأن المنحنى لا ينعكس على نفسه عند ثني الصفحة حول المحور x.

* التماثل حول المحور y: لا، لأن المنحنى لا ينعكس على نفسه عند ثني الصفحة حول المحور y.

* التماثل حول نقطة الأصل: نعم، لأن تدوير المنحنى 180 درجة حول الأصل يطابق المنحنى نفسه (مثال: النقطة (-8, -2) تقابل (8, 2)).

* التحقق الجبري: f(-x) = ³√(-x) = -³√x = -f(x). هذا يطابق شرط الدالة الفردية (التماثل حول الأصل).

14. f(x) = 6x² - x - 2

* التماثل حول المحور x: لا.

* التماثل حول المحور y: لا، لأن المنحنى (قطع مكافئ) ليس متماثلاً حول المحور y.

* التماثل حول نقطة الأصل: لا.

* التحقق الجبري: f(-x) = 6(-x)² - (-x) - 2 = 6x² + x - 2. بما أن f(-x) ≠ f(x) و f(-x) ≠ -f(x)، فلا تماثل حول المحور y أو نقطة الأصل.

15. f(x) = x³ - 3x + 2

* التماثل حول المحور x: لا.

* التماثل حول المحور y: لا.

* التماثل حول نقطة الأصل: لا.

* التحقق الجبري: f(-x) = (-x)³ - 3(-x) + 2 = -x³ + 3x + 2. بما أن f(-x) ≠ f(x) و f(-x) ≠ -f(x)، فلا تماثل حول المحور y أو نقطة الأصل.

16. f(x) = x² + 5x + 6

* التماثل حول المحور x: لا.

* التماثل حول المحور y: لا (القطع المكافئ ليس متماثلاً حول المحور y).

* التماثل حول نقطة الأصل: لا.

* التحقق الجبري: f(-x) = (-x)² + 5(-x) + 6 = x² - 5x + 6. بما أن f(-x) ≠ f(x) و f(-x) ≠ -f(x)، فلا تماثل حول المحور y أو نقطة الأصل.

17. x² + 4y² = 16

* التماثل حول المحور x: نعم، لأن استبدال y بـ -y يعطي نفس المعادلة: x² + 4(-y)² = x² + 4y² = 16.

* التماثل حول المحور y: نعم، لأن استبدال x بـ -x يعطي نفس المعادلة: (-x)² + 4y² = x² + 4y² = 16.

* التماثل حول نقطة الأصل: نعم، لأن استبدال x بـ -x و y بـ -y يعطي نفس المعادلة: (-x)² + 4(-y)² = x² + 4y² = 16.

18. x = y² - 3

* التماثل حول المحور x: نعم، لأن استبدال y بـ -y يعطي: x = (-y)² - 3 = y² - 3 (نفس المعادلة).

* التماثل حول المحور y: لا، لأن استبدال x بـ -x يعطي: -x = y² - 3، وهي ليست المعادلة الأصلية.

* التماثل حول نقطة الأصل: لا، لأن استبدال x بـ -x و y بـ -y يعطي: -x = (-y)² - 3 = y² - 3، وهي ليست المعادلة الأصلية.

19. x = -y

* التماثل حول المحور x: لا، لأن استبدال y بـ -y يعطي: x = -(-y) = y، وهي ليست المعادلة الأصلية.

* التماثل حول المحور y: لا، لأن استبدال x بـ -x يعطي: -x = -y => x = y، وهي ليست المعادلة الأصلية.

* التماثل حول نقطة الأصل: نعم، لأن استبدال x بـ -x و y بـ -y يعطي: -x = -(-y) => -x = y => x = -y (نفس المعادلة).

20. 9x² - 25y² = 1

* التماثل حول المحور x: نعم، لأن استبدال y بـ -y يعطي: 9x² - 25(-y)² = 9x² - 25y² = 1.

* التماثل حول المحور y: نعم، لأن استبدال x بـ -x يعطي: 9(-x)² - 25y² = 9x² - 25y² = 1.

* التماثل حول نقطة الأصل: نعم، لأن استبدال x بـ -x و y بـ -y يعطي: 9(-x)² - 25(-y)² = 9x² - 25y² = 1.

21. y = x³/4

* التماثل حول المحور x: لا.

* التماثل حول المحور y: لا.

* التماثل حول نقطة الأصل: نعم، لأن استبدال x بـ -x و y بـ -y يعطي: -y = (-x)³/4 = -x³/4 => y = x³/4 (نفس المعادلة).

22. y = 10/x

* التماثل حول المحور x: لا.

* التماثل حول المحور y: لا.

* التماثل حول نقطة الأصل: نعم، لأن استبدال x بـ -x و y بـ -y يعطي: -y = 10/(-x) = -10/x => y = 10/x (نفس المعادلة).

23. y = x⁴ - 8x²

* التماثل حول المحور x: لا.

* التماثل حول المحور y: نعم، لأن استبدال x بـ -x يعطي: y = (-x)⁴ - 8(-x)² = x⁴ - 8x² (نفس المعادلة).

* التماثل حول نقطة الأصل: لا، لأن استبدال x بـ -x و y بـ -y يعطي: -y = x⁴ - 8x²، وهي ليست المعادلة الأصلية.

24. 36(y + 4)² - 16(x - 3)² = 576

* التماثل حول المحور x: لا، لأن استبدال y بـ -y لا يحقق المعادلة بسبب حد (y+4).

* التماثل حول المحور y: لا، لأن استبدال x بـ -x لا يحقق المعادلة بسبب حد (x-3).

* التماثل حول نقطة الأصل: لا، لأن استبدال x بـ -x و y بـ -y لا يحقق المعادلة.

32. مبيعات: h(x) = 0.5x² + 0.5x + 1.2

* أ) مجال الدالة ومداها: من السياق، x يمثل رقم السنة منذ 1432هـ خلال الفترة من 1432 إلى 1436. لذا، المجال هو x ∈ {0, 1, 2, 3, 4} أو من 0 إلى 4. من الرسم البياني، يبدأ المدى من حوالي 1.2 (عند x=0) إلى حوالي 11.2 (عند x=4). تقريباً، المدى من 1.2 إلى 11.2.

ب) تقدير وإيجاد عدد الأجهزة سنة 1434هـ: من الرسم البياني، عند السنة 1434هـ (أي x=2)، y ≈ 4.2 ألف جهاز. جبرياً: h(2) = 0.5(2)² + 0.5(2) + 1.2 = 0.54 + 1 + 1.2 = 2 + 1 + 1.2 = 4.2 ألف جهاز.

ج) تقدير وإيجاد المقطع y: من الرسم البياني، المقطع y هو قيمة الدالة عند x=0 (سنة 1432)، وهي y ≈ 1.2. جبرياً: h(0) = 0.5(0)² + 0.5*(0) + 1.2 = 1.2. يمثل المقطع y عدد أجهزة التبريد (بالآلاف) التي بيعت في السنة الأساسية 1432هـ.

د) أصفار الدالة: من الرسم البياني، المنحنى لا يقطع محور x في الفترة المعطاة (جميع قيم y موجبة). جبرياً، لحل h(x)=0: 0.5x² + 0.5x + 1.2 = 0. بالمقارنة مع الصيغة العامة ax²+bx+c=0، المميز هو b² - 4ac = (0.5)² - 4(0.5)*(1.2) = 0.25 - 2.4 = -2.15 (سالب). بما أن المميز سالب، فلا توجد جذور حقيقية للمعادلة، أي أن الدالة ليس لها أصفار في مجالها. هذا يعني أنه خلال الفترة من 1432 إلى 1436هـ، لم يحدث أن كان عدد الأجهزة المباعة صفراً.

الحاسبة البيانية: استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل كل دالة مما يأتي بيانيًا، ثم حلل منحناها لتحدد إن كانت الدالة زوجية أم فردية أم غير ذلك. ثم تحقق من إجابتك جبريًا. وإذا كانت الدالة زوجية أو فردية فصف تماثل منحناها. (مثال 6)

الأسئلة 25-30

استعمل التمثيل البياني للدالة f لتقدير قيمها المطلوبة:

تقدير قيم الدالة f

مبيعات: إذا كان عدد أجهزة التبريد التي باعها محل للأجهزة الكهربائية مقدرًا بالآلاف خلال الفترة من 1432هـ إلى 1436هـ يُعطى بالدالة h(x) = 0.5x² + 0.5x + 1.2، حيث x رقم السنة منذ 1432 هـ.

استعمل التمثيل البياني لكل معادلة مما يأتي لاختبار التماثل حول المحور x، والمحور y، ونقطة الأصل. عزز إجابتك عدديا، ثم تحقق منها جبريا. (مثال 5)

f(x) = ³√x

f(x) = 6x² - x - 2

f(x) = x³ - 3x + 2

f(x) = x² + 5x + 6

x² + 4y² = 16

x = y² - 3

x = -y

9x² - 25y² = 1

y = x³/4

y = -10/x

y = x⁴ - 8x²

36(y + 4)² - 16(x - 3)² = 576

وزارة التعليم

الدرس 2-1 تحليل التمثيلات البيانية للدوال والعلاقات 25

--- SECTION: الحاسبة البيانية --- الحاسبة البيانية: استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل كل دالة مما يأتي بيانيًا، ثم حلل منحناها لتحدد إن كانت الدالة زوجية أم فردية أم غير ذلك. ثم تحقق من إجابتك جبريًا. وإذا كانت الدالة زوجية أو فردية فصف تماثل منحناها. (مثال 6) الأسئلة 25-30 25. f(x) = x² + 6x + 10 26. f(x) = -2x³ + 5x - 4 27. g(x) = √x + 6 28. h(x) = |8 - 2x| 29. f(x) = |x³| 30. g(x) = x² / (x + 1) --- SECTION: 31 --- استعمل التمثيل البياني للدالة f لتقدير قيمها المطلوبة: --- SECTION: 31 --- تقدير قيم الدالة f a. f(-2) b. f(-4) c. f(2) --- SECTION: 32 --- مبيعات: إذا كان عدد أجهزة التبريد التي باعها محل للأجهزة الكهربائية مقدرًا بالآلاف خلال الفترة من 1432هـ إلى 1436هـ يُعطى بالدالة h(x) = 0.5x² + 0.5x + 1.2، حيث x رقم السنة منذ 1432 هـ. a. اكتب مجال الدالة، ثم قرب مداها. b. استعمل المنحنى لتقدير عدد الأجهزة المبيعة سنة 1434هـ. ثم أوجد ذلك جبريًا. c. استعمل المنحنى لتقدير قيمة المقطع y للدالة ثم أوجده جبريًا. ماذا يمثل المقطع y؟ d. هل لهذه الدالة أصفار؟ إذا كانت الإجابة نعم، فأوجد قيمة تقريبية لهذه الأصفار، وفسر معناها. وإذا كانت الإجابة لا، فوضح السبب. استعمل التمثيل البياني لكل معادلة مما يأتي لاختبار التماثل حول المحور x، والمحور y، ونقطة الأصل. عزز إجابتك عدديا، ثم تحقق منها جبريا. (مثال 5) --- SECTION: 13 --- f(x) = ³√x --- SECTION: 14 --- f(x) = 6x² - x - 2 --- SECTION: 15 --- f(x) = x³ - 3x + 2 --- SECTION: 16 --- f(x) = x² + 5x + 6 --- SECTION: 17 --- x² + 4y² = 16 --- SECTION: 18 --- x = y² - 3 --- SECTION: 19 --- x = -y --- SECTION: 20 --- 9x² - 25y² = 1 --- SECTION: 21 --- y = x³/4 --- SECTION: 22 --- y = -10/x --- SECTION: 23 --- y = x⁴ - 8x² --- SECTION: 24 --- 36(y + 4)² - 16(x - 3)² = 576 وزارة التعليم الدرس 2-1 تحليل التمثيلات البيانية للدوال والعلاقات 25 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Graph for question 13 Description: The graph shows a continuous function that increases from bottom-left to top-right, passing through the origin. It is symmetric with respect to the origin. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Graph for question 14 Description: The graph is a U-shaped parabola that opens upwards, with its vertex in the fourth quadrant. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Graph for question 15 Description: The graph is a continuous cubic function with one local maximum and one local minimum. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Graph for question 16 Description: The graph is a U-shaped parabola that opens upwards, with its vertex in the third quadrant. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Graph for question 17 Description: The graph is a closed, horizontal ellipse centered at the origin. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Graph for question 18 Description: The graph is a parabola that opens horizontally to the right, symmetric with respect to the x-axis. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Graph for question 19 Description: The graph is a straight line passing through the origin with a slope of -1. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Graph for question 20 Description: The graph shows two branches of a hyperbola opening horizontally away from the origin, symmetric with respect to both axes. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Graph for question 21 Description: The graph is a continuous cubic function that passes through the origin and is symmetric with respect to the origin. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Graph for question 22 Description: The graph shows two branches of a hyperbola in the second and fourth quadrants, with the x and y axes as asymptotes. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Graph for question 23 Description: The graph is a W-shaped curve, symmetric with respect to the y-axis, with two global minima and one local maximum. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Graph for question 24 Description: The graph shows two branches of a hyperbola opening vertically, with its center at (3, -4). X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Graph for question 31 Description: A piecewise function defined on the interval [-6, 6]. It has a jump discontinuity at x = -2. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: أجهزة التبريد التي باعها محل للأجهزة الكهربائية Description: The graph shows the number of cooling devices sold (in thousands) over a period of 5 years, from 1432 H to 1436 H. The number of devices sold increases each year in a curve. X-axis: السنوات منذ 1432 هـ Y-axis: عدد الأجهزة (بالآلاف)