القيم القصوى المحلية والمطلقة في تحليل الدوال - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- القيم القصوى: ليس من الضروري أن توجد قيمة قصوى عند كل نقطة حرجة. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- القيم القصوى: إذا كان ميل المماس لمنحنى الدالة عند النقطة الحرجة غير معرف كما في الشكل أدناه، فإنه لا توجد للدالة عند هذه النقطة قيمة عظمى أو صغرى. --- SECTION: EMPTY --- لاحظ أن النقاط التي تغير الدالة عندها سلوك تزايدها أو تناقصها تكون قمة أو قاعًا في منحنى الدالة وتسمى نقاطًا حرجة. ويكون المماس المرسوم للمنحنى عند هذه النقاط إما أفقيًا أو عموديًا (أي أن ميله صفر أو غير معرف)، أو أنه لا يوجد عندها مماس. وقد يدل ذلك على وجود قيمة عظمى أو صغرى للدالة. يمكن أن يكون للدالة أشكال مختلفة من القيم العظمى والقيم الصغرى (القيم القصوى). --- SECTION: إرشادات للدراسة --- قيمة قصوى محلية: يستعمل مصطلح قيمة قصوى محلية بدلاً من قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية. --- SECTION: مفهوم أساسي --- القيم القصوى المحلية والمطلقة --- SECTION: EMPTY --- التعبير اللفظي: إذا وجدت قيمة للدالة، وكانت أكبر من جميع القيم الأخرى في فترة من مجال الدالة، سميت قيمة عظمى محلية. الرموز: تكون (a)f قيمة عظمى محلية للدالة f إذا وجدت فترة (x1, x2) تحتوي a على أن يكون لكل قيم x في الفترة (x1, x2) ، (x)f ≤ (a)f. --- SECTION: EMPTY --- التعبير اللفظي: إذا وجدت قيمة للدالة، وكانت أكبر أكبر قيمة للدالة في مجالها، سميت قيمة عظمى مطلقة. الرموز: تكون (b)f قيمة عظمى مطلقة للدالة f إذا كان لكل قيم x في مجالها، (x)f ≤ (b)f. --- SECTION: EMPTY --- التعبير اللفظي: إذا وجدت قيمة للدالة، وكانت أصغر من جميع القيم الأخرى في فترة من مجال الدالة، سميت قيمة صغرى محلية. الرموز: تكون (a)f قيمة صغرى محلية للدالة f إذا وجدت فترة (x1, x2) تحتوي a على أن يكون لكل قيم x في الفترة (x1, x2) ، (x)f ≥ (a)f. --- SECTION: EMPTY --- التعبير اللفظي: إذا وجدت قيمة للدالة وكانت أصغر قيمة للدالة في مجالها سميت قيمة صغرى مطلقة. الرموز: تكون (b)f قيمة صغرى مطلقة للدالة f إذا كان لكل قيم x في مجالها (x)f ≥ (b)f. --- SECTION: مثال 2 --- تقدير القيم القصوى للدالة وتحديدها --- SECTION: EMPTY --- استعمل التمثيل البياني لتقدير قيم x التي يكون للدالة (x)f عندها قيم قصوى مقربة إلى أقرب 0.5 وحدة، وأوجد قيم الدالة عندها، وبين نوع القيم القصوى، ثم عزز إجابتك عدديًا. --- SECTION: التحليل بيانيًا: --- يوضح التمثيل البياني للدالة قيمة عظمى محلية عند 0.5- = x ، ومقدارها صفر تقريبًا. كما يوجد للدالة قيمة صغرى محلية عند 1 = x ، ومقدارها 1-. لاحظ كذلك أن ∞- = (x)f lim و ∞ = (x)f lim ، وعليه لا يوجد قيم قصوى مطلقة للدالة. --- SECTION: التعزيز عدديًا: --- اختر قيمًا للمتغير x المتوقع أن يكون عندها قيمة قصوى محلية، ثم اختر قيمتين إحداهما كبيرة جدًا، والأخرى صغيرة جدًا. --- SECTION: EMPTY --- بما أن (1-)f > (0.5-)f و (0)f > (0.5-)f فيوجد للدالة قيمة عظمى محلية عند إحدى قيم x القريبة من 0.5- في الفترة (1-, 0-). وبما أن 0.13 ≈ (0.5-)f فإن تقدير القيمة العظمى المحلية بالقيمة 0 بعد معقولاً. --- SECTION: EMPTY --- 40 --- SECTION: EMPTY --- الفصل 1 تحليل الدوال --- SECTION: EMPTY --- وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: EMPTY Description: A graph of a function f(x) showing multiple local maxima and minima, and critical points where the tangent is horizontal or vertical. The x-axis and y-axis intersect at the origin O. Red arrows indicate horizontal tangents at local extrema. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a curve with several turning points. There are two local maxima and two local minima. Red arrows indicate horizontal tangents at these points, signifying critical points where the derivative is zero. The function appears to be continuous and differentiable at these points. Context: Illustrates the concept of critical points where the function changes behavior (increasing to decreasing or vice versa), leading to local extrema. Shows horizontal tangents at these points. **GRAPH**: النموذج: y = f(x) Description: A graph of a function f(x) showing a local maximum at x=a and an absolute maximum at x=b. The x-axis and y-axis intersect at the origin O. Points a and b are marked on the x-axis, and f(a) and f(b) are marked on the y-axis. Table Structure: Headers: N/A Rows: Calculation needed: EMPTY X-axis: x Y-axis: y Data: The curve shows a local maximum at x=a with value f(a). The highest point on the entire visible domain is at x=b with value f(b), which is the absolute maximum. The graph starts and ends at lower y-values than f(b). Context: Illustrates the difference between a local maximum (f(a)) and an absolute maximum (f(b)) for a function over a given interval. **GRAPH**: النموذج: y = f(x) Description: A graph of a function f(x) showing a local minimum at x=a and an absolute minimum at x=b. The x-axis and y-axis intersect at the origin O. Points a and b are marked on the x-axis, and f(a) and f(b) are marked on the y-axis. Table Structure: Headers: N/A Rows: Calculation needed: EMPTY X-axis: x Y-axis: y Data: The curve shows a local minimum at x=a with value f(a). The lowest point on the entire visible domain is at x=b with value f(b), which is the absolute minimum. The graph starts and ends at higher y-values than f(b). Context: Illustrates the difference between a local minimum (f(a)) and an absolute minimum (f(b)) for a function over a given interval. **GRAPH**: EMPTY Description: A graph of a function with a sharp corner (cusp) at a critical point on the x-axis. The tangent is vertical at this point, meaning the derivative is undefined. The x-axis and y-axis intersect at the origin O. Table Structure: Headers: N/A Rows: Calculation needed: EMPTY X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a function that decreases, then sharply increases at a point on the x-axis. A dashed vertical line indicates a vertical tangent at this point. This point is a critical point but not a local extremum in the traditional sense of having a horizontal tangent. Context: Illustrates a critical point where the derivative is undefined (vertical tangent), and thus no local maximum or minimum exists at that point, as explained in the 'إرشادات للدراسة' sidebar. **GRAPH**: y = f(x) = x³ - x² - x Description: A graph of the cubic function f(x) = x³ - x² - x, showing its local maximum and local minimum. The x-axis and y-axis are labeled and have a grid. The origin O is marked. Table Structure: Headers: N/A Rows: Calculation needed: EMPTY X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a cubic function. It has a local maximum around x = -0.3 to -0.4 and y = 0.1 to 0.2. It has a local minimum around x = 1 and y = -1. The function decreases from negative infinity, increases to the local max, decreases to the local min, and then increases to positive infinity. The grid lines are at integer values for both x and y. Context: Provides a visual representation for Example 2, allowing for graphical estimation of local extrema for the function f(x) = x³ - x² - x. **TABLE**: EMPTY Description: A table showing x and f(x) values for the function f(x) = x³ - x² - x, used for numerical reinforcement of the extrema. Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: -100 | -1.0 • 10⁶ Row 2: -1 | -1.00 Row 3: -0.5 | 0.13 Row 4: 0 | 0 Row 5: 0.5 | -0.63 Row 6: 1 | -1 Row 7: 1.5 | -0.38 Row 8: 100 | 9.9 • 10⁵ Calculation needed: Values are calculated for the function f(x) = x³ - x² - x to numerically verify the local extrema found graphically. Some values are rounded. X-axis: EMPTY Y-axis: EMPTY Data: EMPTY Context: Provides numerical data to support the graphical analysis of local extrema for the function f(x) = x³ - x² - x, demonstrating how function values change around critical points.