تطبيقات القيم القصوى ومتوسط معدل التغير - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

إن البحث عن الحل الأمثل هو أحد التطبيقات الحياتية على القيم القصوى في الرياضيات، حيث يتم التعبير عن المسائل الحياتية بدوال توضع عليها بعض الشروط الخاصة ثم تُحسب القيمة الأمثل. --- SECTION: مثال 4 من واقع الحياة --- مثال 4 من واقع الحياة --- SECTION: الربط مع الحياة --- تشير بعض الدراسات الحديثة إلى أن شرب عصير البرتقال يساعد في الوقاية من أمراض القلب. --- SECTION: تطبيقات القيم القصوى --- تطبيقات القيم القصوى --- SECTION: زراعة --- زراعة: يتم قطف 400 حبة برتقال من كل شجرة في الموسم الواحد عندما يكون عدد أشجار البرتقال في الحقل 75 شجرة. فإذا علمت أنه عند زراعة كل شجرة جديدة ينقص إنتاج كل شجرة في البستان بمقدار حبتين. فكم شجرة إضافية يجب زراعتها للحصول على أكبر إنتاج ممكن؟ اكتب الدالة (f(x للتعبير الكلي للبستان، بحيث تمثل x عدد أشجار البرتقال الجديدة التي سيتم زراعتها. الإنتاج الكلي للبستان = عدد الأشجار في البستان × إنتاج الشجرة الواحدة من البرتقال f(x) = (75 + x) × (400 - 2x) المطلوب هو إيجاد أكبر إنتاج ممكن للبستان أو القيمة العظمى للدالة (f(x. لذا مثل الدالة بيانياً باستعمال الحاسبة البيانية، ثم اضغط على مفتاح (menu)، ثم 6: تحليل الرسم البياني، واختر منها 3: القيمة العظمى، ثم مرر المؤشر أفقياً على الشاشة من اليسار إلى اليمين فتظهر نقطة القيمة العظمى، وتقدر 37812.5 وتكون عند 62.5 ≈ x. لذا يكون إنتاج البستان أكبر ما يمكن عند زراعة 62 أو 63 شجرة جديدة، ويكون مقدار الإنتاج 37812 حبة برتقال تقريباً. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 4) صناعة --- 4) صناعة: يرغب صاحب مصنع زجاج في إنتاج كأس أسطوانية الشكل مفتوحة من أعلى مساحتها الكلية 10π in². أوجد طول نصف قطر الكأس وارتفاعه اللذين يجعلان حجمها أكبر ما يمكن. --- SECTION: متوسط معدل التغير --- متوسط معدل التغير تعلمت في دراستك السابقة أن الميل بين أي نقطتين واقعتين على دالة خطية يمثل مقدارًا ثابتًا. إلا أنه يتغير عند التعامل مع دوال غير خطية، إذ يختلف الميل باختلاف النقاط؛ لذا فإننا نتحدث عن متوسط معدل تغير الدالة بين أي نقطتين. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي --- SECTION: التعبير اللفظي: --- التعبير اللفظي: متوسط معدل التغير بين أي نقطتين على منحنى الدالة f هو ميل المستقيم المار بهاتين النقطتين. --- SECTION: هندسياً: --- هندسياً: يُسمى المستقيم المار بنقطتين على منحنى الدالة قاطعًا، ويرمز لميل القاطع بالرمز m_sec. --- SECTION: الرموز: --- الرموز: متوسط معدل تغير الدالة (f(x في الفترة [x₁, x₂] هو m_sec = (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁) وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 الفصل 1 تحليل الدوال 42 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: الربط مع الحياة Description: An image showing several ripe oranges on a branch with green leaves. The image is associated with a sidebar discussing the health benefits of orange juice. Context: Provides a visual context for the 'Agriculture' example and the 'Connection to Life' sidebar about orange juice benefits. **GRAPH**: f1(x)=(400-2x)(75+x) Description: A parabolic curve displayed on a graphing calculator screen, representing the function f(x) = (400-2x)(75+x). The parabola opens downwards, indicating a maximum point. The maximum point is explicitly labeled on the graph. X-axis: x (عدد أشجار البرتقال الجديدة) Y-axis: y (الإنتاج الكلي للبستان) Data: The graph shows a parabolic relationship between the number of new trees (x) and the total yield (y). The curve increases to a maximum point and then decreases. The maximum point is labeled (62.5, 3.78e+4). Key Values: Maximum point: (62.5, 37812.5), x-intercepts: -75, 200 Context: Illustrates the graphical method of finding the maximum value of a function, specifically for the agriculture optimization problem. The labeled point (62.5, 3.78e+4) shows the maximum yield. **DIAGRAM**: متوسط معدل التغير Description: A Cartesian coordinate system with an x-axis and a y-axis, and an origin O. A curved line representing a function y = f(x) is drawn. Two distinct points, (x₁, f(x₁)) and (x₂, f(x₂)), are marked on the curve. A straight line, labeled 'قاطع' (secant), passes through these two points, illustrating the concept of the average rate of change. X-axis: x Y-axis: y Key Values: Points (x₁, f(x₁)), Points (x₂, f(x₂)), Curve y = f(x), Secant line 'قاطع' Context: Visually defines the geometric meaning of the average rate of change as the slope of the secant line connecting two points on a function's curve.