الحاسبة البيانية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

ملخص صفحة التدريبات (صفحة 44)

1. f(x) = x³ - x² - 2x + 3

* من التمثيل البياني: الدالة متزايدة في الفترتين تقريباً (-∞, -0.5) و (1.5, ∞). الدالة متناقصة في الفترة تقريباً (-0.5, 1.5). لا توجد فترات تكون فيها الدالة ثابتة.

* التحقق العددي يتطلب إيجاد المشتقة f'(x) = 3x² - 2x - 2 وحل f'(x) > 0 للتزايد و f'(x) < 0 للتناقص.

2. f(x) = x⁴ - 3x³ - x + 1

* من التمثيل البياني: الدالة متناقصة في الفترة تقريباً (-∞, 0.5). الدالة متزايدة في الفترة تقريباً (0.5, 2). الدالة متناقصة مرة أخرى في الفترة تقريباً (2, ∞).

* التحقق العددي يتطلب إيجاد المشتقة f'(x) = 4x³ - 9x² - 1.

3. f(x) = |x - 2|

* من التمثيل البياني (شكل V): الدالة متناقصة في الفترة (-∞, 2). الدالة متزايدة في الفترة (2, ∞). عند x = 2 (رأس المنحنى) تكون الدالة عند قيمة دنيا مطلقة.

4. f(x) = {√x, x ≥ 0; -√-x, x < 0}

* من التمثيل البياني: الدالة متزايدة على مجالها الكامل (-∞, ∞).

5. كرة سلة: h(t) = -64.4t² + 48.3t + 5

* a) تمثيل الدالة بيانياً يكون قطعاً مكافئاً مفتوحاً للأسفل.

b) من الرسم البياني، أعلى ارتفاع تقريبي للكرة يقع عند قمة القطع المكافئ. يمكن تعزيز ذلك عددياً بإيجاد إحداثي الرأس: t = -b/(2a) = -48.3/(2 -64.4) ≈ 0.375 ثانية. ثم h(0.375) ≈ -64.4(0.375)² + 48.3(0.375) + 5 ≈ 14.05 قدم.

6. f(x) = x³ - 3x² + 2x² = x³ - x²

* من التمثيل البياني: قيمة قصوى محلية (عظمى) تقريباً عند x ≈ -0.3، وقيمة دنيا محلية تقريباً عند x ≈ 0.7. لا توجد قيم قصوى مطلقة لأن الدالة تمتد إلى ∞ و -∞.

7. f(x) = -x⁴ + 4x² - 1

* من التمثيل البياني: قيمتان عظميان محليتان (متساويتان تقريباً) عند x ≈ -1.4 و x ≈ 1.4. قيمة صغرى مطلقة (دنيا) عند x = 0.

8. f(x) = -x³ + 10x³ = 9x³

* من التمثيل البياني: الدالة متزايدة على مجالها الكامل ولا تمتلك أي قيم قصوى محلية أو مطلقة (نقطة انقلاب عند x=0).

9. f(x) = x⁶ - 20x⁴ + 3x³

* من التمثيل البياني: قيمة عظمى محلية تقريباً عند x ≈ -2.5، وقيمتان دنيا محليتان تقريباً عند x ≈ -1.5 و x ≈ 2.5.

10. f(x) = -x⁵ + 4x⁴ - 4x³

* باستخدام الحاسبة البيانية: يجب إيجاد القيم القصوى المحلية والمطلقة (إن وجدت) وتقريبها لأقرب جزء من مئة، وتحديد قيم x الخاصة بها.

11. f(x) = -0.5x⁴ + 2.5x³ + x² - 6.5x

* باستخدام الحاسبة البيانية: يجب إيجاد القيم القصوى المحلية والمطلقة (إن وجدت) وتقريبها لأقرب جزء من مئة، وتحديد قيم x الخاصة بها.

12. g(x) = -2x³ + 7x - 5

* باستخدام الحاسبة البيانية: يجب إيجاد القيم القصوى المحلية والمطلقة (إن وجدت) وتقريبها لأقرب جزء من مئة، وتحديد قيم x الخاصة بها.

13. f(x) = x⁴ - 2x² + 5x

* باستخدام الحاسبة البيانية: يجب إيجاد القيم القصوى المحلية والمطلقة (إن وجدت) وتقريبها لأقرب جزء من مئة، وتحديد قيم x الخاصة بها.

14. f(x) = -x⁵ + 3x² + x - 1

* باستخدام الحاسبة البيانية: يجب إيجاد القيم القصوى المحلية والمطلقة (إن وجدت) وتقريبها لأقرب جزء من مئة، وتحديد قيم x الخاصة بها.

15. g(x) = x⁶ - 4x⁴ + x

* باستخدام الحاسبة البيانية: يجب إيجاد القيم القصوى المحلية والمطلقة (إن وجدت) وتقريبها لأقرب جزء من مئة، وتحديد قيم x الخاصة بها.

16. f(x) = 0.008x⁵ - 0.05x⁴ - 0.2x³ + 1.2x² - 0.7x

* باستخدام الحاسبة البيانية: يجب إيجاد القيم القصوى المحلية والمطلقة (إن وجدت) وتقريبها لأقرب جزء من مئة، وتحديد قيم x الخاصة بها.

17. f(x) = 0.025x⁵ - 0.1x⁴ + 0.57x³ + 1.2x² - 3.5x - 2

* باستخدام الحاسبة البيانية: يجب إيجاد القيم القصوى المحلية والمطلقة (إن وجدت) وتقريبها لأقرب جزء من مئة، وتحديد قيم x الخاصة بها.

18. هندسة: حجم أسطوانة

* المسألة تتطلب إيجاد نصف القطر (r) والارتفاع (h) لأسطوانة ذات مساحة سطح إجمالية (جانبية وقاعدة واحدة) تساوي 20.5 بوصة مربعة، بحيث يكون الحجم أكبر ما يمكن. الحل يتطلب تكوين دالة حجم V(r) باستخدام علاقة المساحة، ثم إيجاد القيمة العظمى لها باستخدام المشتقة.

19. g(x) = 3x² - 8x + 2, [4, 8]

متوسط معدل التغير = [g(8) - g(4)] / (8 - 4). g(8) = 3(64) - 8(8) + 2 = 130. g(4) = 3(16) - 8*(4) + 2 = 18. المتوسط = (130 - 18) / 4 = 112 / 4 = 28.

20. f(x) = 3x⁴ - 2x² + 6x - 1, [5, 9]

متوسط معدل التغير = [f(9) - f(5)] / (9 - 5). f(9)= 3(6561) - 2(81) + 6(9) - 1 = 19683 - 162 + 54 - 1 = 19574. f(5)= 3(625) - 2(25) + 6*(5) - 1 = 1875 - 50 + 30 - 1 = 1854. المتوسط = (19574 - 1854) / 4 = 17720 / 4 = 4430.

21. f(x) = -2x⁴ - 5x³ + 4x - 6, [-1, 5]

متوسط معدل التغير = [f(5) - f(-1)] / (5 - (-1)). f(5)= -2(625) - 5(125) + 4(5) - 6 = -1250 - 625 + 20 - 6 = -1861. f(-1)= -2(1) - 5(-1) + 4*(-1) - 6 = -2 + 5 - 4 - 6 = -7. المتوسط = (-1861 - (-7)) / 6 = (-1854) / 6 = -309.

22. h(x) = -x⁵ - 5x² + 6x - 9, [3, 6]

متوسط معدل التغير = [h(6) - h(3)] / (6 - 3). h(6)= -(7776) - 5(36) + 6(6) - 9 = -7776 - 180 + 36 - 9 = -7929. h(3)= -(243) - 5(9) + 6*(3) - 9 = -243 - 45 + 18 - 9 = -279. المتوسط = (-7929 - (-279)) / 3 = (-7650) / 3 = -2550.

23. f(x) = (x³ - x) / x, [5, 12]

* بشرط x ≠ 0، يمكن تبسيط الدالة: f(x) = x² - 1. متوسط معدل التغير = [f(12) - f(5)] / (12 - 5). f(12)= 144 - 1 = 143. f(5)= 25 - 1 = 24. المتوسط = (143 - 24) / 7 = 119 / 7 = 17.

24. f(x) = √x + 8, [-4, 4]

* مجال الدالة الحقيقي هو x ≥ 0 لأن الجذر التربيعي لعدد سالب غير معرف في الأعداد الحقيقية. لذلك، الفترة [-4, 4] غير واردة في مجال الدالة. لحساب متوسط التغير في الفترة [0, 4]: f(4)= √4 + 8 = 2 + 8 = 10. f(0)= √0 + 8 = 0 + 8 = 8. المتوسط = (10 - 8) / (4 - 0) = 2 / 4 = 0.5.

25. طقس: f(x) = -0.5455x² + 7.09x + 21.45

a) من ربيع الثاني (الشهر 4) إلى جمادى الأول (الشهر 5): متوسط التغير = [f(5) - f(4)] / (5-4). f(5)= -0.545525 + 7.095 + 21.45 ≈ 38.24. f(4)= -0.545516 + 7.09*4 + 21.45 ≈ 37.14. المتوسط ≈ (38.24 - 37.14) / 1 ≈ 1.1 درجة/شهر. التبرير: معدل التغير موجب، مما يعني أن درجة الحرارة في المتوسط تزداد من شهر ربيع الثاني إلى جمادى الأول.

b) من رجب (الشهر 7) إلى شوال (الشهر 10): متوسط التغير = [f(10) - f(7)] / (10-7). f(10)= -0.5455100 + 7.0910 + 21.45 ≈ 37.5. f(7)= -0.545549 + 7.09*7 + 21.45 ≈ 44.0. المتوسط ≈ (37.5 - 44.0) / 3 ≈ -2.17 درجة/شهر. التبرير: معدل التغير سالب، مما يعني أن درجة الحرارة في المتوسط تتناقص من شهر رجب إلى شوال.

تدرب وحل المسائل

استعمل التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة، أو متناقصة، أو ثابتة مقربة إلى أقرب 0.5 وحدة. ثم عزز إجابتك عدديا. (مثال 1)

f(x) = x³ - x² - 2x + 3

f(x) = x⁴ - 3x³ - x + 1

f(x) = |x - 2|

f(x) = {√x, x ≥ 0; -√-x, x < 0}

كرة سلة: يعطى ارتفاع كرة سلة (t) عن سطح الأرض في الرمية الحرة بالدالة 5 + 48.3t - 64.4t² = (t)h ، حيث t الزمن بالثواني، و (t)h الارتفاع بالأقدام. (مثال 2)

قدر قيم x التي يكون لكل من الدوال الآتية عندها قيم قصوى مقربة إلى أقرب 0.5 وحدة، وأوجد قيم الدالة عندها، وبين نوع القيم القصوى، ثم عزز إجابتك عدديا. (مثال 2)

f(x) = x³ - 3x² + 2x²

f(x) = -x⁴ + 4x² - 1

f(x) = -x³ + 10x³

f(x) = x⁶ - 20x⁴ + 3x³

الفصل 1 تحليل الدوال 44

الحاسبة البيانية: أوجد القيم القصوى المحلية والمطلقة مقربة إلى أقرب جزء من مئة لكل دالة فيما يأتي، وحدد قيم x التي تكون عندها هذه القيم: (مثال 3)

f(x) = -x⁵ + 4x⁴ - 4x³

f(x) = -0.5x⁴ + 2.5x³ + x² - 6.5x

g(x) = -2x³ + 7x - 5

f(x) = x⁴ - 2x² + 5x

f(x) = -x⁵ + 3x² + x - 1

g(x) = x⁶ - 4x⁴ + x

f(x) = 0.008x⁵ - 0.05x⁴ - 0.2x³ + 1.2x² - 0.7x

f(x) = 0.025x⁵ - 0.1x⁴ + 0.57x³ + 1.2x² - 3.5x - 2

هندسة: أوجد كلا من طول نصف قطر الأسطوانة وارتفاعها في الشكل المجاور؛ ليكون حجمها أكبر ما يمكن (قرب إلى أقرب جزء من عشرة). (مثال 4)

أوجد متوسط معدل التغير لكل دالة فيما يأتي في الفترة المعطاة. (مثال 5)

g(x) = 3x² - 8x + 2, [4, 8]

f(x) = 3x⁴ - 2x² + 6x - 1, [5, 9]

f(x) = -2x⁴ - 5x³ + 4x - 6, [-1, 5]

h(x) = -x⁵ - 5x² + 6x - 9, [3, 6]

f(x) = x³ - x / x, [5, 12]

f(x) = √x + 8, [-4, 4]

طقس: إذا كان متوسط درجات الحرارة السيزيلزية لكل شهر في المدينة المنورة في سنة ما معطى بالدالة: f(x) = -0.5455x² + 7.09x + 21.45 ، حيث x تمثل رقم الشهر، فمثلا 1 = x تمثل شهر محرم، فأوجد متوسط معدل التغير في كل من الفترتين الآتيتين: وبرر إجابتك. (مثال 6)

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

تدرب وحل المسائل استعمل التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة، أو متناقصة، أو ثابتة مقربة إلى أقرب 0.5 وحدة. ثم عزز إجابتك عدديا. (مثال 1) --- SECTION: 1 --- f(x) = x³ - x² - 2x + 3 --- SECTION: 2 --- f(x) = x⁴ - 3x³ - x + 1 --- SECTION: 3 --- f(x) = |x - 2| --- SECTION: 4 --- f(x) = {√x, x ≥ 0; -√-x, x < 0} --- SECTION: 5 --- كرة سلة: يعطى ارتفاع كرة سلة (t) عن سطح الأرض في الرمية الحرة بالدالة 5 + 48.3t - 64.4t² = (t)h ، حيث t الزمن بالثواني، و (t)h الارتفاع بالأقدام. (مثال 2) a. مثل الدالة بيانيا. b. أوجد قيمة تقريبية لأعلى ارتفاع تصل إليه الكرة. ثم عزز إجابتك عدديا. قدر قيم x التي يكون لكل من الدوال الآتية عندها قيم قصوى مقربة إلى أقرب 0.5 وحدة، وأوجد قيم الدالة عندها، وبين نوع القيم القصوى، ثم عزز إجابتك عدديا. (مثال 2) --- SECTION: 6 --- f(x) = x³ - 3x² + 2x² --- SECTION: 7 --- f(x) = -x⁴ + 4x² - 1 --- SECTION: 8 --- f(x) = -x³ + 10x³ --- SECTION: 9 --- f(x) = x⁶ - 20x⁴ + 3x³ الفصل 1 تحليل الدوال 44 --- SECTION: الحاسبة البيانية --- الحاسبة البيانية: أوجد القيم القصوى المحلية والمطلقة مقربة إلى أقرب جزء من مئة لكل دالة فيما يأتي، وحدد قيم x التي تكون عندها هذه القيم: (مثال 3) --- SECTION: 10 --- f(x) = -x⁵ + 4x⁴ - 4x³ --- SECTION: 11 --- f(x) = -0.5x⁴ + 2.5x³ + x² - 6.5x --- SECTION: 12 --- g(x) = -2x³ + 7x - 5 --- SECTION: 13 --- f(x) = x⁴ - 2x² + 5x --- SECTION: 14 --- f(x) = -x⁵ + 3x² + x - 1 --- SECTION: 15 --- g(x) = x⁶ - 4x⁴ + x --- SECTION: 16 --- f(x) = 0.008x⁵ - 0.05x⁴ - 0.2x³ + 1.2x² - 0.7x --- SECTION: 17 --- f(x) = 0.025x⁵ - 0.1x⁴ + 0.57x³ + 1.2x² - 3.5x - 2 --- SECTION: 18 --- هندسة: أوجد كلا من طول نصف قطر الأسطوانة وارتفاعها في الشكل المجاور؛ ليكون حجمها أكبر ما يمكن (قرب إلى أقرب جزء من عشرة). (مثال 4) أوجد متوسط معدل التغير لكل دالة فيما يأتي في الفترة المعطاة. (مثال 5) --- SECTION: 19 --- g(x) = 3x² - 8x + 2, [4, 8] --- SECTION: 20 --- f(x) = 3x⁴ - 2x² + 6x - 1, [5, 9] --- SECTION: 21 --- f(x) = -2x⁴ - 5x³ + 4x - 6, [-1, 5] --- SECTION: 22 --- h(x) = -x⁵ - 5x² + 6x - 9, [3, 6] --- SECTION: 23 --- f(x) = x³ - x / x, [5, 12] --- SECTION: 24 --- f(x) = √x + 8, [-4, 4] --- SECTION: 25 --- طقس: إذا كان متوسط درجات الحرارة السيزيلزية لكل شهر في المدينة المنورة في سنة ما معطى بالدالة: f(x) = -0.5455x² + 7.09x + 21.45 ، حيث x تمثل رقم الشهر، فمثلا 1 = x تمثل شهر محرم، فأوجد متوسط معدل التغير في كل من الفترتين الآتيتين: وبرر إجابتك. (مثال 6) a. من ربيع الثاني إلى جمادى الأول. b. من رجب إلى شوال. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A continuous cubic function curve with one local maximum and one local minimum. X-axis: x Y-axis: y Data: The function decreases, then increases, then decreases, then increases. Context: Used to estimate intervals of increase, decrease, or constant behavior. **GRAPH**: Untitled Description: A continuous quartic function curve with two local minima and one local maximum, forming a W-shape. X-axis: x Y-axis: y Data: The function decreases, then increases, then decreases, then increases. Context: Used to estimate intervals of increase, decrease, or constant behavior. **GRAPH**: Untitled Description: A continuous V-shaped graph, characteristic of an absolute value function, with its vertex shifted to the right. X-axis: x Y-axis: y Data: The function decreases linearly to x=2, then increases linearly. Context: Used to estimate intervals of increase, decrease, or constant behavior. **GRAPH**: Untitled Description: A continuous curve composed of two square root functions, one for positive x and one for negative x, passing through the origin. X-axis: x Y-axis: y Data: The function is continuously increasing across its domain. Context: Used to estimate intervals of increase, decrease, or constant behavior. **GRAPH**: Untitled Description: A continuous cubic function curve with one local maximum and one local minimum. X-axis: x Y-axis: y Data: The function increases, then decreases, then increases. Context: Used to estimate local extrema and their types. **GRAPH**: Untitled Description: A continuous quartic function curve with two local maxima and one global minimum, forming an inverted W-shape. X-axis: x Y-axis: y Data: The function increases, then decreases, then increases, then decreases. Context: Used to estimate local extrema and their types. **GRAPH**: Untitled Description: A continuous cubic function curve passing through the origin with an inflection point. X-axis: x Y-axis: y Data: The function is continuously increasing across its domain. Context: Used to estimate local extrema and their types. **GRAPH**: Untitled Description: A continuous function curve with two local minima and one local maximum, showing complex behavior. X-axis: x Y-axis: y Data: The function decreases, then increases, then decreases, then increases. Context: Used to estimate local extrema and their types. **GRAPH**: Untitled Description: A continuous function curve with two local minima and one local maximum. X-axis: x Y-axis: y Data: The function increases, then decreases, then increases, then decreases. Context: Used to find local and absolute extrema. **GRAPH**: Untitled Description: A continuous function curve with two local minima and one local maximum. X-axis: x Y-axis: y Data: The function decreases, then increases, then decreases, then increases. Context: Used to find local and absolute extrema. **DIAGRAM**: Cylinder with height h and radius r Description: A 3D diagram of a cylinder. The height is labeled 'h' and the radius of the base is labeled 'r'. The lateral surface area plus the base area is given as 20.5 square inches. Data: N/A Key Values: height: h, radius: r, Lateral surface area + base area = 20.5 square inches Context: Used for a geometry optimization problem to find dimensions that maximize volume.