مسائل مهارات التفكير العليا - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

42. متصلة، متزايدة على (-\infty, 4)، ثابتة على [4, 8]، متناقصة على (8, \infty)، f(5) = 3.

* يجب رسم دالة مستمرة تزيد حتى x=4، ثم تكون ثابتة (خط أفقي) من x=4 إلى x=8، ثم تتناقص بعد x=8. يجب أن يمر الرسم البياني بالنقطة (5, 3) خلال الجزء الثابت.

43. لها نقطة عدم اتصال لانهائي عند x = -2، متزايدة على (-\infty, -2)، متزايدة على (-2, \infty)، f(-6) = -2.

* يجب رسم دالة غير متصلة عند x=-2 حيث تقترب قيم الدالة من +\infty أو -\infty (خط مقارب رأسي). الدالة متزايدة على كلا جانبي x=-2. يجب أن يمر الرسم البياني بالنقطة (-6, -2).

44. تبرير: بما أن الدالة f متصلة ولها قيمة صغرى محلية عند x = c ومتزايدة عندما x < c، فإن سلوك الدالة عندما تزداد x لتقترب من c من اليسار هو أنها تتناقص. وذلك لأنها تقترب من القيمة الصغرى المحلية.

45. تحد: بما أن g دالة متصلة، و g(a)=8، و g(b)=-4، وحيث أن b < c < a، فإنه وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة، ستأخذ g(c) جميع القيم بين -4 و 8. وبشكل أدق، g(c) ستكون محصورة بين -4 و 8، أي -4 \le g(c) \le 8.

46. تحد: باستخدام الحاسبة البيانية لتمثيل f(x) = x \sin x، ستلاحظ أن الدالة لها عدد لا نهائي من القيم القصوى المحلية (عظمى وصغرى) بسبب الطبيعة الدورية لدالة الجيب. القيم العظمى المحلية تقع حيث يكون ميل المماس صفرًا وتتغير الدالة من متزايدة إلى متناقصة.

47. تبرير: ميل القاطع المار بالنقطتين (a, f(a)) و (b, f(b)) يُعطى بالصيغة: \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. إذا كانت f(x) ثابتة على الفترة (a, b)، فإن f(b) = f(a). بالتالي، ميل القاطع هو \frac{f(a)-f(a)}{b-a} = \frac{0}{b-a} = 0.

48. اكتب:

* إذا كانت الدالة متزايدة في فترة معينة، فإن متوسط معدل التغير في تلك الفترة يكون موجبًا.

* إذا كانت الدالة متناقصة في فترة معينة، فإن متوسط معدل التغير في تلك الفترة يكون سالبًا.

* إذا كانت الدالة ثابتة في فترة معينة، فإن متوسط معدل التغير في تلك الفترة يكون صفرًا.

55. f(x) = \frac{3x}{x^2 - 5}

* المقام لا يمكن أن يكون صفرًا: x^2 - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm\sqrt{5}.

* المجال: جميع الأعداد الحقيقية ما عدا \sqrt{5} و -\sqrt{5}، أي (-\infty, -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty).

56. g(x) = \sqrt{x^2 - 9}

* ما تحت الجذر يجب أن يكون أكبر من أو يساوي الصفر: x^2 - 9 \ge 0.

* هذا يتحقق عندما x \le -3 أو x \ge 3.

* المجال: (-\infty, -3] \cup [3, \infty).

57. h(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2 - 7}}

* المقام جذر، لذا يجب أن يكون ما تحت الجذر أكبر من صفر (لا يمكن أن يساوي صفرًا لأنه في المقام): x^2 - 7 > 0 \Rightarrow x^2 > 7.

* هذا يتحقق عندما x < -\sqrt{7} أو x > \sqrt{7}.

* المجال: (-\infty, -\sqrt{7}) \cup (\sqrt{7}, \infty).

58. f(x) = x^{10} - x^9 + 5x^8

* الدرجة الكلية للدالة هي 10 (زوجية)، والمعامل الرئيسي (لـ x^{10}) هو 1 (موجب).

* سلوك طرفي التمثيل البياني: عندما x \to +\infty، f(x) \to +\infty، وعندما x \to -\infty، f(x) \to +\infty.

59. g(x) = \frac{x^2+5}{7-2x^2}

* نجد الخطوط المقاربة الأفقية بالنظر إلى درجات البسط والمقام (كلاهما من الدرجة 2).

* معامل أعلى حد في البسط هو 1، وفي المقام هو -2.

* الخط المقارب الأفقي هو: y = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}.

* سلوك طرفي التمثيل البياني: عندما x \to \pm\infty، g(x) \to -\frac{1}{2}.

60. h(x) = |(x-3)^2 - 1|

* بما أن الدالة تتضمن قيمة مطلقة، فإن ناتجها دائمًا غير سالب (\ge 0).

* عندما x \to +\infty، (x-3)^2 - 1 \to +\infty، وبالتالي h(x) \to +\infty.

* عندما x \to -\infty، (x-3)^2 - 1 \to +\infty، وبالتالي h(x) \to +\infty.

61. في الشكل أدناه، إذا كان n \neq q، فأوجد ميل القطعة المستقيمة CD.

* من الرسم البياني، يبدو أن النقطتين C و D تقعان على منحنى الدالة y = x^2. لذا، إحداثياتهما هي: D(n, n^2) و C(q, q^2).

* ميل القطعة المستقيمة CD = \frac{q^2 - n^2}{q - n}.

* باستخدام فرق المربعين: \frac{(q-n)(q+n)}{q-n} = q+n، بشرط q \neq n.

* الإجابة الصحيحة: A

62. يوجد للدالة y = x^3 + 2x^2 - 4x + 6 قيمة عظمى محلية، وقيمة صغرى محلية. أوجد قيم x التي تكون عندها هذه القيم.

* لإيجاد النقاط الحرجة، نوجد المشتقة الأولى: y' = 3x^2 + 4x - 4.

* نساوي المشتقة بالصفر: 3x^2 + 4x - 4 = 0.

* باستخدام القانون العام: x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+48}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-4 \pm 8}{6}.

* إذن: x = \frac{-4+8}{6} = \frac{4}{6} \approx 0.67، و x = \frac{-4-8}{6} = \frac{-12}{6} = -2.

* لتحديد نوع كل نقطة حرجة (عظمى أم صغرى)، نفحص إشارة المشتقة الثانية y'' = 6x + 4.

* عند x \approx 0.67: y'' = 6(0.67)+4 > 0 (قيمة صغرى محلية).

* عند x = -2: y'' = 6(-2)+4 = -8 < 0 (قيمة عظمى محلية).

* الإجابة الصحيحة: C

49. f(x) = \sqrt{x^2 - 2} عند x = -3.

* نطبق اختبار الاتصال:

1. f(-3) معرفة: f(-3) = \sqrt{(-3)^2 - 2} = \sqrt{9-2} = \sqrt{7}.

2. نهاية الدالة عندما x \to -3 موجودة وتساوي \sqrt{7}.

3. \lim_{x \to -3} f(x) = f(-3) = \sqrt{7}.

* النتيجة: الدالة متصلة عند x = -3.

50. f(x) = \sqrt{x + 1} عند x = 3.

* نطبق اختبار الاتصال:

1. f(3) معرفة: f(3) = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2.

2. نهاية الدالة عندما x \to 3 موجودة وتساوي 2.

3. \lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 2.

* النتيجة: الدالة متصلة عند x = 3.

51. h(x) = \frac{x^2 - 25}{x + 5} عند x = -5.

* نطبق اختبار الاتصال:

1. h(-5) غير معرفة لأن المقام يصبح صفرًا.

* النتيجة: الدالة غير متصلة عند x = -5.

* نوع عدم الاتصال: قابل للإزالة. لأن: \lim_{x \to -5} h(x) = \lim_{x \to -5} \frac{(x-5)(x+5)}{x+5} = \lim_{x \to -5} (x-5) = -10 (النهاية موجودة ومحددة).

52. f(x) = |x^5|

* التحقق الجبري: f(-x) = |(-x)^5| = |-x^5| = |x^5| = f(x).

* النتيجة: الدالة زوجية لأن f(-x) = f(x).

* تماثل المنحنى: متماثل حول محور y.

53. f(x) = \frac{x+8}{x-4}

* التحقق الجبري: f(-x) = \frac{-x+8}{-x-4} = \frac{-(x-8)}{-(x+4)} = \frac{x-8}{x+4}.

* هذه النتيجة لا تساوي f(x) ولا تساوي -f(x).

* النتيجة: الدالة ليست زوجية ولا فردية.

54. g(x) = \frac{x^2}{x+3}

* التحقق الجبري: g(-x) = \frac{(-x)^2}{-x+3} = \frac{x^2}{3-x}.

* هذه النتيجة لا تساوي g(x) ولا تساوي -g(x).

* النتيجة: الدالة ليست زوجية ولا فردية.

مسائل مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة: مثل بيانيًّا الدالة (f(x في كل من السؤالين الآتيين.

42. متصلة متزايدة على (∞- ,4) ثابتة على [8 ,4] متناقصة على (∞ ,8) f(5) = 3

43. لها نقطة عدم اتصال لانهائي عند 2- = x متزايدة على (2- ,∞-) متزايدة على (∞ ,2-) f(-6) = -2

44. تبرير: f دالة متصلة لها قيمة صغرى محلية عند c = x ومتزايدة عندما c < x. صف سلوك الدالة عندما تزداد x لتقترب من c. وضح إجابتك.

45. تحد: إذا كانت g دالة متصلة، وكان 8 = (g(a و 4- = (g(b، فأعط وصفًا لقيمة (g(c حيث b < c < a. وبرر إجابتك.

46. تحد: استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة f(x) = x sin x بيانيًّا، ثم صف القيم القصوى المحلية للدالة.

47. تبرير: أوجد ميل القاطع المار بالنقطتين ((a, f(a)) و ((b, f(b))، إذا كانت (f(x ثابتة في الفترة (a, b). وضح إجابتك.

48. اكتب: صف متوسط معدل تغير الدالة إذا كانت متزايدة أو متناقصة أو ثابتة في فترة معينة.

أوجد مجال كل دالة مما يأتي: (الدرس 1-1)

f(x) = 3x / (x^2 - 5) (55)

g(x) = √(x^2 - 9) (56)

h(x) = (x + 2) / √(x^2 - 7) (57)

صف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: (الدرس 1-3)

f(x) = x^10 - x^9 + 5x^8 (58)

g(x) = (x^2 + 5) / (7 - 2x^2) (59)

h(x) = |(x - 3)^2 - 1| (60)

تدريب على اختبار

61) في الشكل أدناه، إذا كان n ≠ q ، فأوجد ميل القطعة المستقيمة CD.

62) يوجد للدالة 6 - 4x + 2x^2 + x^3 = y قيمة عظمى محلية، وقيمة صغرى محلية. أوجد قيم x التي تكون عندها هذه القيم.

مراجعة تراكمية

حدد ما إذا كانت كل دالة مما يأتي متصلة عند قيمة أو قيم x المعطاة معتمدًا على اختبار الاتصال. وإذا كانت الدالة غير متصلة، فبين نوع عدم الاتصال: لانهائي، قفزي، قابل للإزالة. (الدرس 1-3)

f(x) = √(x^2 - 2) , x = -3 (49)

f(x) = √(x + 1) , x = 3 (50)

h(x) = (x^2 - 25) / (x + 5) ; x = -5 (51)

مثل كل دالة مما يأتي بيانيًّا مستعملًا الحاسبة البيانية، ثم حدد ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية أم غير ذلك. وتحقق من إجابتك جبريًّا، و إذا كانت الدالة زوجية أو فردية فصف تماثل منحنى الدالة. (الدرس 1-2)

f(x) = |x^5| (52)

f(x) = (x + 8) / (x - 4) (53)

g(x) = x^2 / (x + 3) (54)

الفصل 1 تحليل الدوال

46

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447

--- SECTION: مسائل مهارات التفكير العليا --- مسائل مهارات التفكير العليا مسألة مفتوحة: مثل بيانيًّا الدالة (f(x في كل من السؤالين الآتيين. --- SECTION: 42 --- 42. متصلة متزايدة على (∞- ,4) ثابتة على [8 ,4] متناقصة على (∞ ,8) f(5) = 3 --- SECTION: 43 --- 43. لها نقطة عدم اتصال لانهائي عند 2- = x متزايدة على (2- ,∞-) متزايدة على (∞ ,2-) f(-6) = -2 --- SECTION: 44 --- 44. تبرير: f دالة متصلة لها قيمة صغرى محلية عند c = x ومتزايدة عندما c < x. صف سلوك الدالة عندما تزداد x لتقترب من c. وضح إجابتك. --- SECTION: 45 --- 45. تحد: إذا كانت g دالة متصلة، وكان 8 = (g(a و 4- = (g(b، فأعط وصفًا لقيمة (g(c حيث b < c < a. وبرر إجابتك. --- SECTION: 46 --- 46. تحد: استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة f(x) = x sin x بيانيًّا، ثم صف القيم القصوى المحلية للدالة. --- SECTION: 47 --- 47. تبرير: أوجد ميل القاطع المار بالنقطتين ((a, f(a)) و ((b, f(b))، إذا كانت (f(x ثابتة في الفترة (a, b). وضح إجابتك. --- SECTION: 48 --- 48. اكتب: صف متوسط معدل تغير الدالة إذا كانت متزايدة أو متناقصة أو ثابتة في فترة معينة. --- SECTION: أوجد مجال كل دالة مما يأتي: (الدرس 1-1) --- أوجد مجال كل دالة مما يأتي: (الدرس 1-1) --- SECTION: 55 --- f(x) = 3x / (x^2 - 5) (55) --- SECTION: 56 --- g(x) = √(x^2 - 9) (56) --- SECTION: 57 --- h(x) = (x + 2) / √(x^2 - 7) (57) --- SECTION: صف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: (الدرس 1-3) --- صف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: (الدرس 1-3) --- SECTION: 58 --- f(x) = x^10 - x^9 + 5x^8 (58) --- SECTION: 59 --- g(x) = (x^2 + 5) / (7 - 2x^2) (59) --- SECTION: 60 --- h(x) = |(x - 3)^2 - 1| (60) --- SECTION: تدريب على اختبار --- تدريب على اختبار --- SECTION: 61 --- 61) في الشكل أدناه، إذا كان n ≠ q ، فأوجد ميل القطعة المستقيمة CD. --- SECTION: 62 --- 62) يوجد للدالة 6 - 4x + 2x^2 + x^3 = y قيمة عظمى محلية، وقيمة صغرى محلية. أوجد قيم x التي تكون عندها هذه القيم. --- SECTION: مراجعة تراكمية --- مراجعة تراكمية حدد ما إذا كانت كل دالة مما يأتي متصلة عند قيمة أو قيم x المعطاة معتمدًا على اختبار الاتصال. وإذا كانت الدالة غير متصلة، فبين نوع عدم الاتصال: لانهائي، قفزي، قابل للإزالة. (الدرس 1-3) --- SECTION: 49 --- f(x) = √(x^2 - 2) , x = -3 (49) --- SECTION: 50 --- f(x) = √(x + 1) , x = 3 (50) --- SECTION: 51 --- h(x) = (x^2 - 25) / (x + 5) ; x = -5 (51) مثل كل دالة مما يأتي بيانيًّا مستعملًا الحاسبة البيانية، ثم حدد ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية أم غير ذلك. وتحقق من إجابتك جبريًّا، و إذا كانت الدالة زوجية أو فردية فصف تماثل منحنى الدالة. (الدرس 1-2) --- SECTION: 52 --- f(x) = |x^5| (52) --- SECTION: 53 --- f(x) = (x + 8) / (x - 4) (53) --- SECTION: 54 --- g(x) = x^2 / (x + 3) (54) --- SECTION: الفصل 1 تحليل الدوال --- الفصل 1 تحليل الدوال --- SECTION: 46 --- 46 --- SECTION: وزارة التعليم --- وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A Cartesian coordinate system with origin O. A line segment CD is drawn. Point D is at (n, n^2) and point C is at (q, q^2). The visual representation shows D at (1,1) and C at (3,9). X-axis: x Y-axis: y Data: A line segment connecting point D (1,1) to point C (3,9). Key Values: n=1, q=3 Context: This graph is used to calculate the slope of the line segment CD, which is (q^2 - n^2) / (q - n) = (9 - 1) / (3 - 1) = 8 / 2 = 4.