📄 النص الكامل للصفحة
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك
--- SECTION: أوجد (g o f)(x) و (f o g)(x) في كل مما يأتي: ---
أوجد (g o f)(x) و (f o g)(x) في كل مما يأتي:
(2A) f(x) = 3x + 1, g(x) = 5 - x²
(2B) f(x) = 6x² - 4, g(x) = x + 2
بما أن مجال كل من f, g هو مجموعة الأعداد الحقيقية، فإن مجال g o f في المثال 2 هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
عند وجود قيود على مجال f أو مجال g فإن مجال g o f يكون مقيدًا بكل قيم x في مجال g التي تكون صورها (g(x موجودة في مجال f.
--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
تحديد مجالي الدالتين:
من المهم تعرف مجالي الدالتين قبل تركيبهما؛ لأن القيود على مجالات الدوال قد لا تكون واضحة بعد إجراء عملية التركيب وتبسيطها.
--- SECTION: مثال 3 إيجاد دالة التركيب بوجود قيود على المجال ---
مثال 3 إيجاد دالة التركيب بوجود قيود على المجال
حدد مجال الدالة g o f متضمنًا القيود الضرورية، ثم أوجد g o f في كل من الحالتين الآتيتين:
--- SECTION: (a) f(x) = 1/(x+1), g(x) = x² - 9 ---
(a) f(x) = 1/(x+1), g(x) = x² - 9
لإيجاد مجال g o f فإننا نجد قيم g(x) لجميع الأعداد الحقيقية، ثم نجد قيم x التي تجعل f(x) = 1/(x+1) معرفة.
بما أن g(x) = x² - 9، فإننا نستثني من المجال جميع قيم x التي يمكن حسابها عندما 1- ≠ (g(x، وهي x² - 9 ≠ -1.
إذن x² ≠ 8، وعليه x ≠ ±√8 = ±2√2.
وعليه يكون مجال g هو {x | x ∈ R, x ≠ ±2√2}.
نجد الآن (f o g)(x):
[f o g](x) = f[g(x)] (تعريف g o f)
= f(x² - 9) (عوض (9 - x²) بدلاً من x في f(x))
= 1/((x² - 9) + 1)
= 1/(x² - 8)
لاحظ أن 1/(x² - 8) غير معرفة عندما 0 = x² - 8، أو عندما x = ±2√2.
ومن ثم يمكن كتابة g o f على الصورة 1/(x² - 8) ومجالها {x | x ∈ R, x ≠ ±2√2}.
--- SECTION: (b) f(x) = x² - 2, g(x) = √(x - 3) ---
(b) f(x) = x² - 2, g(x) = √(x - 3)
لإيجاد مجال g o f فإننا نجد قيم g(x) لجميع قيم x حيث 3 ≥ x. ثم نربع كل قيمة من قيم (g(x، ونطرح منها 2.
لذا فإن مجال g o f هو {x | x ∈ R, x ≥ 3}.
نجد الآن (f o g)(x):
[f o g](x) = f[g(x)] (تعريف g o f)
= f(√(x - 3)) (عوض 3 - x√ بدلاً من x في f(x))
= (√(x - 3))² - 2
بسط
= x - 3 - 2 = x - 5
لاحظ أن مجال الدالة 5 - x هو مجموعة الأعداد الحقيقية، إلا أن مجال g o f في مثالنا مقيد بالشرط 3 ≥ x؛ لذا فإن دالة التركيب هي 5 - x = (g o f)(x) ومجالها {x | x ∈ R, x ≥ 3}.
وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447
الفصل 1 تحليل الدوال 60
--- VISUAL CONTEXT ---
**IMAGE**: شعار وزارة التعليم
Description: شعار وزارة التعليم السعودية يتضمن اسم الوزارة باللغتين العربية والإنجليزية وتاريخ 2025 - 1447.
Context: شعار الجهة الناشرة للكتاب.