الفصل 1 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

ملخص الصفحة

1-3 الاتصال والنهايات (الصفحات 28 - 37)

27. حدد ما إذا كانت كل دالة مما يأتي متصلة عند قيم x المعطاة، وبرر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال. وإذا كانت الدالة غير متصلة فبين نوع عدم الاتصال لانهائي، قفزي، قابل للإزالة.

27. f(x) = x^2 - 3x, x = 4

الدالة متصلة عند x = 4 لأنها كثيرة حدود، وبالتالي معرفة عند 4، والنهاية موجودة وتساوي قيمة الدالة عند تلك النقطة.

28. f(x) = \sqrt{2x - 4}, x = 10

الدالة متصلة عند x = 10 لأن 2(10)-4=16>0، وبالتالي الدالة معرفة عند 10، والنهاية موجودة وتساوي قيمة الدالة عند تلك النقطة.

29. f(x) = \frac{x+7}{x}, x = 0, x = 7

* عند x = 0: الدالة غير معرفة (المقام يساوي صفر). وبالتالي فهي غير متصلة عند 0، وهو عدم اتصال لانهائي.

* عند x = 7: الدالة معرفة (f(7) = \frac{14}{7} = 2)، والنهاية موجودة وتساوي 2. وبالتالي فهي متصلة عند 7.

30. f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}, x = 2, x = 4

* عند x = 2: الدالة غير معرفة (المقام يساوي صفر). يمكن تبسيط الدالة: f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2، x \ne 2. النهاية عندما تقترب x من 2 تساوي 4، لكن f(2) غير معرفة. وبالتالي فهي غير متصلة عند 2، وهو عدم اتصال قابل للإزالة.

* عند x = 4: الدالة معرفة (f(4) = \frac{16-4}{4-2} = \frac{12}{2} = 6)، والنهاية موجودة وتساوي 6. وبالتالي فهي متصلة عند 4.

31. f(x) = \begin{cases} 3x-1, & x<1 \\ 2x, & x \ge 1 \end{cases}, x = 1

* قيمة الدالة عند 1: f(1) = 2(1) = 2.

* النهاية من اليسار: \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x-1) = 3(1)-1 = 2.

* النهاية من اليمين: \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x) = 2(1) = 2.

بما أن النهاية من الجهتين موجودة ومتساوية وتساوي قيمة الدالة عند النقطة (2 = 2 = 2)، فإن الدالة متصلة عند x = 1.

مثال 4

حدد ما إذا كانت الدالة f(x) = \frac{1}{x-4} متصلة عند x = 0, x = 4.

* عند x = 0: f(0) = -0.25، والنهاية \lim_{x \to 0} f(x) = -0.25. وبما أن f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)، فإن الدالة متصلة عند 0.

* عند x = 4: الدالة غير معرفة، وبالتالي فهي غير متصلة عند 4، وهو عدم اتصال لا نهائي.

32. استعمل التمثيل البياني للدالة (32) لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني.

المنحنى على شكل W، وطرفاه يمتدان إلى الأسفل. لذلك:

* عندما x \to \infty، فإن f(x) \to -\infty.

* عندما x \to -\infty، فإن f(x) \to -\infty.

33. استعمل التمثيل البياني للدالة (33) لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني.

المنحنى يبدأ من الأعلى وينتهي بالأسفل. لذلك:

* عندما x \to \infty، فإن f(x) \to -\infty.

* عندما x \to -\infty، فإن f(x) \to \infty.

مثال 5

استعمل التمثيل البياني للدالة: f(x) = -2x^4 - 5x^3 + 1 لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني.

* عندما x \to \infty، فإن f(x) \to -\infty.

* عندما x \to -\infty، فإن f(x) \to -\infty.

1-4 القيم القصوى ومتوسط معدل التغير (الصفحات 38 - 46)

34. استعمل التمثيل البياني للدالة (34) لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة. ثم قدر إلى أقرب 0.5 وحدة القيم القصوى للدالة، وبين نوعها.

* الفترات: الدالة متناقصة تقريباً في الفترة (-\infty, -1.5)، متزايدة في الفترة (-1.5, 0)، متناقصة في الفترة (0, 1.5)، متزايدة في الفترة (1.5, \infty).

* القيم القصوى: قيمة صغرى محلية عند x \approx -1.5، قيمة عظمى محلية عند x \approx 0، قيمة صغرى محلية عند x \approx 1.5.

35. استعمل التمثيل البياني للدالة (35) لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة. ثم قدر إلى أقرب 0.5 وحدة القيم القصوى للدالة، وبين نوعها.

* الفترات: الدالة متناقصة تقريباً في الفترة (-\infty, -1)، متزايدة في الفترة (-1, 1)، متناقصة في الفترة (1, \infty).

* القيم القصوى: قيمة صغرى محلية عند x \approx -1، قيمة عظمى محلية عند x \approx 1.

مثال 6

استعمل التمثيل البياني للدالة f(x) = x^3 - 4x لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة. ثم قدر إلى أقرب 0.5 وحدة القيم القصوى للدالة، وبين نوعها.

* الفترات: الدالة متزايدة في الفترة (-\infty, -1)، ومتناقصة في الفترة (-1, 1)، ومتزايدة في الفترة (1, \infty).

* القيم القصوى: للدالة قيمة عظمى محلية عند (-1, 3)، وقيمة صغرى محلية عند (1, -3).

36. أوجد متوسط معدل التغير لكل من الدالتين الآتيتين في الفترة المعطاة:

36. f(x) = -x^3 + 3x + 1, [0, 2]

متوسط معدل التغير = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}

f(2) = -(2)^3 + 3(2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1

f(0) = -(0)^3 + 3(0) + 1 = 1

متوسط معدل التغير = \frac{-1 - 1}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1

37. f(x) = x^2 + 2x + 5, [-5, 3]

متوسط معدل التغير = \frac{f(3) - f(-5)}{3 - (-5)}

f(3) = (3)^2 + 2(3) + 5 = 9 + 6 + 5 = 20

f(-5) = (-5)^2 + 2(-5) + 5 = 25 - 10 + 5 = 20

متوسط معدل التغير = \frac{20 - 20}{3 - (-5)} = \frac{0}{8} = 0

الفصل 1

دليل الدراسة والمراجعة

1-3 الاتصال والنهايات (الصفحات 28 - 37)

حدد ما إذا كانت كل دالة مما يأتي متصلة عند قيم x المعطاة، وبرر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال. وإذا كانت الدالة غير متصلة فبين نوع عدم الاتصال لانهائي، قفزي، قابل للإزالة.

f(x) = x² - 3x, x = 4

f(x) = √2x - 4, x = 10

f(x) = (x+7)/x, x = 0, x = 7

f(x) = (x²-4)/(x-2), x = 2, x = 4

f(x) = {3x-1, x<1; 2x, x≥1}, x = 1

مثال 4 حدد ما إذا كانت الدالة f(x) = 1/(x-4) متصلة عند x = 0, x = 4. وبرر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال. وإذا كانت الدالة غير متصلة فحدد نوع عدم الاتصال: لانهائي، قفزي، قابل للإزالة. f(0) = -0.25 ، لذلك f معرفة عند 0. وتقترب قيم الدالة من 0.25- عندما تقترب x من 0. بما أن 0.25- = (0)f = lim f(x) فإن f متصلة عند x = 0. بما أن f غير معرفة عند 4 = x فإن f غير متصلة عند 4 وهو عدم اتصال لا نهائي.

استعمل التمثيل البياني لكل من الدالتين الآتيتين لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل منهما:

32

33

مثال 5 استعمل التمثيل البياني للدالة: f(x) = -2x⁴ - 5x³ + 1 لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني. اختر منحنى (f(x. عندما x → ∞ ، فإن f(x) → -∞ عندما x → -∞ ، فإن f(x) → -∞

1-4 القيم القصوى ومتوسط معدل التغير (الصفحات 38 - 46)

استعمل التمثيل البياني لكل من الدالتين الآتيتين لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة. ثم قدر إلى أقرب 0.5 وحدة القيم القصوى للدالة، وبين نوعها.

34

35

مثال 6 استعمل التمثيل البياني للدالة f(x) = x³ - 4x لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة. ثم قدر إلى أقرب 0.5 وحدة القيم القصوى للدالة، وبين نوعها. الدالة متزايدة في الفترة (∞- ، 1-)، ومتناقصة في الفترة (1, 1-)، ومتزايدة في الفترة (1 ، ∞). للدالة قيمة عظمى محلية عند (1- ، 3)، وقيمة صغرى محلية عند (1 ، 3-).

أوجد متوسط معدل التغير لكل من الدالتين الآتيتين في الفترة المعطاة:

f(x) = -x³ + 3x + 1, [0, 2]

f(x) = x² + 2x + 5, [-5, 3]

76

الفصل 1 تحليل الدوال

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

الفصل 1 دليل الدراسة والمراجعة --- SECTION: الاتصال والنهايات --- 1-3 الاتصال والنهايات (الصفحات 28 - 37) --- SECTION: Instruction for 27-31 --- حدد ما إذا كانت كل دالة مما يأتي متصلة عند قيم x المعطاة، وبرر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال. وإذا كانت الدالة غير متصلة فبين نوع عدم الاتصال لانهائي، قفزي، قابل للإزالة. --- SECTION: 27 --- f(x) = x² - 3x, x = 4 --- SECTION: 28 --- f(x) = √2x - 4, x = 10 --- SECTION: 29 --- f(x) = (x+7)/x, x = 0, x = 7 --- SECTION: 30 --- f(x) = (x²-4)/(x-2), x = 2, x = 4 --- SECTION: 31 --- f(x) = {3x-1, x<1; 2x, x≥1}, x = 1 --- SECTION: مثال 4 --- مثال 4 حدد ما إذا كانت الدالة f(x) = 1/(x-4) متصلة عند x = 0, x = 4. وبرر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال. وإذا كانت الدالة غير متصلة فحدد نوع عدم الاتصال: لانهائي، قفزي، قابل للإزالة. f(0) = -0.25 ، لذلك f معرفة عند 0. وتقترب قيم الدالة من 0.25- عندما تقترب x من 0. بما أن 0.25- = (0)f = lim f(x) فإن f متصلة عند x = 0. بما أن f غير معرفة عند 4 = x فإن f غير متصلة عند 4 وهو عدم اتصال لا نهائي. --- SECTION: Instruction for 32-33 --- استعمل التمثيل البياني لكل من الدالتين الآتيتين لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل منهما: --- SECTION: 32 --- 32 --- SECTION: 33 --- 33 --- SECTION: مثال 5 --- مثال 5 استعمل التمثيل البياني للدالة: f(x) = -2x⁴ - 5x³ + 1 لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني. اختر منحنى (f(x. عندما x → ∞ ، فإن f(x) → -∞ عندما x → -∞ ، فإن f(x) → -∞ --- SECTION: القيم القصوى ومتوسط معدل التغير --- 1-4 القيم القصوى ومتوسط معدل التغير (الصفحات 38 - 46) --- SECTION: Instruction for 34-35 --- استعمل التمثيل البياني لكل من الدالتين الآتيتين لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة. ثم قدر إلى أقرب 0.5 وحدة القيم القصوى للدالة، وبين نوعها. --- SECTION: 34 --- 34 --- SECTION: 35 --- 35 --- SECTION: مثال 6 --- مثال 6 استعمل التمثيل البياني للدالة f(x) = x³ - 4x لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة. ثم قدر إلى أقرب 0.5 وحدة القيم القصوى للدالة، وبين نوعها. الدالة متزايدة في الفترة (∞- ، 1-)، ومتناقصة في الفترة (1, 1-)، ومتزايدة في الفترة (1 ، ∞). للدالة قيمة عظمى محلية عند (1- ، 3)، وقيمة صغرى محلية عند (1 ، 3-). --- SECTION: Instruction for 36-37 --- أوجد متوسط معدل التغير لكل من الدالتين الآتيتين في الفترة المعطاة: --- SECTION: 36 --- f(x) = -x³ + 3x + 1, [0, 2] --- SECTION: 37 --- f(x) = x² + 2x + 5, [-5, 3] --- SECTION: Page Number --- 76 --- SECTION: Chapter Title --- الفصل 1 تحليل الدوال --- SECTION: Ministry of Education --- وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Graph for Question 32 Description: A continuous W-shaped curve with two local minima and one local maximum. Both ends extend downwards to negative infinity. Table Structure: Headers: N/A X-axis: x Y-axis: y Data: N/A Context: Used to describe the end behavior of the function. **GRAPH**: Graph for Question 33 Description: A continuous curve that rises to a local maximum, then decreases to a local minimum, and continues to decrease. The left end extends upwards, and the right end extends downwards. Table Structure: Headers: N/A X-axis: x Y-axis: y Data: N/A Context: Used to describe the end behavior of the function. **GRAPH**: Graph for Question 34 Description: A continuous W-shaped curve with two local maxima and one local minimum. Both ends extend upwards to positive infinity. Table Structure: Headers: N/A X-axis: x Y-axis: y Data: N/A Context: Used to estimate intervals of increasing/decreasing and extreme values. **GRAPH**: Graph for Question 35 Description: A continuous curve that decreases to a local minimum, then increases to a local maximum, and continues to increase. The left end extends downwards, and the right end extends upwards. Table Structure: Headers: N/A X-axis: x Y-axis: y Data: N/A Context: Used to estimate intervals of increasing/decreasing and extreme values. **TABLE**: Values for f(x) near x=0 Description: A table showing x and f(x) values to demonstrate the limit of f(x) as x approaches 0. Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: -0.1 | -0.244 Row 2: -0.01 | -0.249 Row 3: 0 | -0.25 Row 4: 0.01 | -0.251 Row 5: 0.1 | -0.256 Calculation needed: Demonstrates the limit of f(x) as x approaches 0. Data: The table shows that as x approaches 0 from both negative and positive sides, f(x) approaches -0.25. Context: Part of Example 4, illustrating continuity and limits using tabular data. **GRAPH**: Graph of f(x) = x³ - 4x Description: A continuous cubic-like curve that decreases to a local minimum, then increases to a local maximum. The left end extends downwards, and the right end extends upwards. Table Structure: Headers: N/A X-axis: x Y-axis: y Data: N/A Context: Part of Example 6, used to estimate intervals of increasing/decreasing and extreme values for the function f(x) = x³ - 4x.