الدوال الأسية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: فيما سبق: --- درست دوال كثيرات الحدود وتمثيلها بيانيًا. (الدرس 1-1) --- SECTION: والآن: --- أتعرف الدالة الأسية. أمثل الدالة الأسية. أمثل دوال النمو الأسي بيانيًا. أمثل دوال الاضمحلال الأسي بيانيًا. --- SECTION: المفردات: --- exponential function الدالة الأسية exponential growth النمو الأسي growth factor عامل النمو exponential decay الاضمحلال الأسي decay factor عامل الاضمحلال 2-1 Exponential Functions --- SECTION: لماذا؟ --- قد تبدو عناكب الرتيلاء (Tarantulas) مخيفة بأجسامها الكبيرة المغطاة بالشعر وأرجلها الكبيرة، ولكنها غير مؤذية للإنسان، وتبين التمثيل المجاور الزيادة في أعدادها عبر الزمن. لاحظ أن هذا التمثيل ليس خطيًا، وليس تربيعيًا أيضًا، وإنما يمثل الدالة y = 2(3)^x، والتي هي مثال على الدالة الأسية. --- SECTION: تمثيل الدوال الأسية --- الدالة الأسية هي دالة مكتوبة على الصورة y = ab^x؛ حيث 1 ≠ b > 0, a ≠ 0. لاحظ أن الأساس في الدالة الأسية ثابت، وأن الأس هو المتغير المستقل. --- SECTION: مفهوم أساسي الدالة الأسية --- التعبير اللفظي: الدالة الأسية هي دالة يمكن وصفها بمعادلة على الصورة y = ab^x, a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1 أمثلة: y = 2(3)^x y = 4^x y = (1/2)^x --- SECTION: تمثيل الدالة الأسية عندما b > 1 و a > 0 --- تمثيل الدالة الأسية عندما b > 1 و a > 0 --- SECTION: مثال 1 --- a) مثل الدالة y = 3^x بيانيًا، وأوجد مقطع المحور y، وحدد مجال الدالة ومداها. عين الأزواج المرتبة الواردة في الجدول، ثم صل بينها بمنحنى. لاحظ أن التمثيل البياني للدالة يقطع المحور y عندما 1 = y، وهذا يعني أن منحنى الدالة يمر بالنقطة (0, 1)، لذا فمقطع المحور y هو 1، ومجال الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية، ومداها جميع الأعداد الحقيقية الموجبة. b) استعمل التمثيل البياني لتقدير قيمة 3^0.7 إلى أقرب جزء من عشرة. يظهر التمثيل البياني جميع القيم الحقيقية للمتغير x والقيم المرتبطة بها للمتغير y، لذا فإذا كانت y = 2.2 فإن x = 0.7 (استعمل الآلة الحاسبة للتحقق من أن 3^0.7 ≈ 2.157669). --- SECTION: إرشادات للدراسة --- الدالة y = ab^x: تكون الدالة الأسية y = ab^x معرفة لجميع قيم x التي تحقق الشروط: a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1 وذلك لأنه: • إذا كانت 0 < b < 1 فإن x = ab^x تكون غير معرفة عند بعض القيم، فمثلاً تكون غير معرفة عند x = 1/2. • إذا كانت 1 = b فإن الدالة تصبح على الصورة a = y وهذه هي الدالة الثابتة. --- SECTION: رابط الدرس الرقمي --- www.ien.edu.sa وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- SECTION: تحقق من فهمك --- 1A) مثل الدالة y = 7^x بيانيًا، وأوجد مقطع المحور y، وحدد مجال الدالة ومداها. 1B) استعمل التمثيل البياني لتقدير قيمة 7^0.5 إلى أقرب جزء من عشرة، واستعمل الآلة الحاسبة للتحقق من ذلك. يتضح من المثال (1) أعلاه أنه كلما ازدادت قيم x بمقدار ثابت (قيمته 1)، فإن قيم y تزداد أيضًا بنسبة ثابتة (قيمتها 3). أي أن y = 2(3)^x تمثل 3 أمثال القيمة السابقة لها مباشرة، لذا فالدالة متزايدة، كما أن المحور x هو خط تقارب أفقي لها. 82 الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: عدد العناكب (بالمئات) Description: A line graph showing the increase in spider population (in hundreds) over years since 2010. The x-axis represents 'السنوات منذ 2010' (Years since 2010) from 0 to 6. The y-axis represents 'عدد العناكب (بالمئات)' (Number of spiders (in hundreds)) from 0 to 35. The curve starts near (0, 2) and increases exponentially, passing through (1, 6), (2, 18). The graph is labeled 'السنوات منذ 2010'. X-axis: السنوات منذ 2010 Y-axis: عدد العناكب (بالمئات) Data: The graph shows an exponential increase in spider population over time. The curve starts at approximately 2 hundred spiders at year 0 (2010) and rapidly increases. At year 1, it's around 6 hundred, at year 2, it's around 18 hundred. The curve continues to rise steeply. Key Values: (0, 2), (1, 6), (2, 18) Context: Illustrates an exponential function (y = 2(3)^x) in a real-world context of population growth. (Note: Some details are estimated) **TABLE**: Table of values for y = 3^x Description: A table showing x values, corresponding 3^x values, and y values for the function y = 3^x. Table Structure: Headers: x | 3^x | y Rows: Row 1: -2 | 3^-2 | 1/9 Row 2: -1 | 3^-1 | 1/3 Row 3: 0 | 3^0 | 1 Row 4: 1 | 3^1 | 3 Row 5: 2 | 3^2 | 9 Calculation needed: The table provides calculated y values for given x values using the function y = 3^x. Context: Provides numerical data points to plot the exponential function y = 3^x. **GRAPH**: Graph of y = 3^x Description: A graph of the exponential function y = 3^x. The x-axis ranges from approximately -3 to 3. The y-axis ranges from approximately 0 to 10. The curve passes through (0, 1), (1, 3), (2, 9) and approaches the x-axis as x decreases. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows an exponential growth curve. It passes through (0, 1), (1, 3), (2, 9). As x decreases, the y-values approach 0 but never reach it, indicating a horizontal asymptote at y=0. As x increases, y-values increase rapidly. Key Values: (0, 1), (1, 3), (2, 9) Context: Visual representation of the exponential function y = 3^x, demonstrating its shape, y-intercept, domain, and range.