العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

لاحظ أن قيم (x)f تزداد كلما زادت قيم x. ولذلك نقول: إن (x)f دالة متزايدة. يمكنك تمثيل الزيادة في قيمة ما بنسبة مئوية ثابتة في فترات زمنية متساوية باستعمال دالة النمو الأسي (A(t) = a(1 + r)^t)، حيث a القيمة الابتدائية، r النسبة المئوية للنمو في الفترة الزمنية الواحدة. لاحظ أن أساس العبارة الأسية هو (1 + r) ويُسمى عامل النمو. وتستعمل دوال النمو الأسي عادة لتمثيل النمو السكاني. --- SECTION: مثال 3 من واقع الحياة --- تمثيل دوال النمو الأسي بيانيًا --- SECTION: تعداد سكاني --- تعداد سكاني: بلغ المعدل السنوي للنمو السكاني في المملكة خلال الفترة 1431-1425هـ 3.2% تقريبًا. إذا كان عدد سكان المملكة 22678262 نسمة عام 1425هـ، فأوجد معادلة أسية تمثل النمو السكاني للمملكة خلال هذه الفترة، ثم مثلها بيانيًا باستعمال الحاسبة البيانية. أ) أوجد دالة النمو الأسي مستعملاً 0.032 = r و 22678262 = a. y = 22678262 (1.032)^x ب) مثل الدالة بيانيًا باستعمال الحاسبة البيانية nspire-TI لتحصل على الشكل المجاور. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3) ثقافة مالية --- 3) ثقافة مالية: يتوقع أن يزداد إنفاق عائلة بما نسبته 8.5% سنويًا، إذا كان إنفاق العائلة عام 1430هـ هو 80000 ريال، فأوجد معادلة أسية تمثل إنفاق العائلة منذ عام 1430هـ، ثم مثلها بيانيًا باستعمال الحاسبة البيانية. --- SECTION: الاضمحلال الأسي --- الاضمحلال الأسي: تُسمى الدالة الأسية f(x) = b^x، حيث 0 < b < 1 دالة الاضمحلال الأسي. فالدالة (1/2)^x الواردة في المثال 2 هي دالة اضمحلال أسي. --- SECTION: مفهوم أساسي --- الدالة الرئيسة (الأم) لدوال الاضمحلال الأسي النموذج: f(x) = b^x, 0 < b < 1 خصائص منحنى الدالة: متصل، متباين، متناقص المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية (R) المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة (R+) خط التقارب: المحور x مقطع المحور x: 1 يمكنك تمثيل دوال الاضمحلال الأسي بيانيًا بنفس طريقة تمثيل دوال النمو الأسي، ونلاحظ أن قيم (x)f تقل كلما زادت قيم x، ولذلك نقول: إن (x)f دالة متناقصة. وكما في النمو الأسي، فإنه يمكنك تمثيل النقص في قيمة ما بنسبة مئوية ثابتة في فترات زمنية متساوية باستعمال دالة الاضمحلال الأسي (A(t) = a(1 - r)^t)، حيث a القيمة الابتدائية، r النسبة المئوية للاضمحلال في الفترة الزمنية الواحدة. لاحظ أن أساس العبارة الأسية هو (1 - r) ويُسمى عامل الاضمحلال. وتستعمل دوال الاضمحلال الأسي عادة في التطبيقات المالية. --- SECTION: مثال 4 من واقع الحياة --- تمثيل دوال الاضمحلال الأسي بيانيًا --- SECTION: شاي --- شاي: يحتوي كوب من الشاي الأخضر على 35 mg من الكافيين، ويمكن للأشخاص اليافعين التخلص من 12.5% تقريبًا من كمية الكافيين من أجسامهم في الساعة. أ) أوجد دالة أسية تمثل كمية الكافيين المتبقية في جسم اليافعين بعد شرب كوب من الشاي الأخضر، ثم مثلها بيانيًا باستعمال الحاسبة البيانية. --- SECTION: الربط مع الحياة --- تعد الإحصاءات السكانية أحد أهم مصادر البيانات التي يتطلبها التخطيط التنموي في المجالات الاقتصادية والاجتماعية. وقد أجري أول تعداد سكاني في المملكة عام 1394هـ، وكان عدد سكان المملكة حينئذ 7 ملايين نسمة تقريبًا. --- SECTION: تنبيه! --- النسبة المئوية تذكر أن جميع أشكال النسب المئوية تتحول إلى كسور عشرية. فمثلاً: 12.5% = 0.125 --- SECTION: الربط مع الحياة --- بخلاف الشاي الأسود، وقد أثبتت بعض الدراسات العلمية والطبية أن الذين يشربون الشاي الأخضر أقل عرضة للإصابة بأمراض القلب وأنواع معينة من السرطان. 84 الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Exponential Growth for Population Description: A graph showing an exponential growth curve, representing population growth. The function f1(x)=22678262(1.032)^x is labeled on the graph. The curve starts at approximately 2.27 x 10^7 and increases rapidly. X-axis: Time (implied) Y-axis: Population (implied) Data: The curve shows a continuous increase, consistent with exponential growth, starting from an initial population and growing at a constant rate. Key Values: Initial value (y-intercept) is 22678262, Y-axis scale up to 5.55e+7, X-axis scale from 0 to 45 Context: Illustrates the exponential growth model for population as calculated in Example 3. **IMAGE**: Untitled Description: An illustration of a green palm tree with the emblem of Saudi Arabia (two crossed swords and a palm tree) in the background. Context: Visual accompaniment to the 'تعداد سكاني' example, representing Saudi Arabia. **GRAPH**: Parent Function of Exponential Decay Description: A graph showing a generic exponential decay curve, labeled f(x)=b^x, where 0<b<1. The curve passes through the points (0,1) and (1,b). The x-axis and f(x) (y-axis) are labeled. X-axis: x Y-axis: f(x) Data: The curve starts high on the y-axis and decreases as x increases, approaching the x-axis (asymptote). Key Values: Passes through (0,1), Passes through (1,b), Asymptote is the x-axis Context: Visual representation of the fundamental shape and properties of an exponential decay function, as described in the 'مفهوم أساسي' box. **IMAGE**: Untitled Description: A photograph of a white teacup with a tea bag inside, accompanied by some green tea leaves and a small flower. Context: Visual accompaniment to Example 4 about caffeine in green tea. **GRAPH**: Caffeine Decay in Body Description: A graph showing an exponential decay curve, representing the amount of caffeine remaining in the body over time. The function f1(x)=35(0.875)^x is labeled on the graph. The curve starts at 35 mg and decreases over time. X-axis: Time (implied) Y-axis: Caffeine amount (mg, implied) Data: The curve shows a continuous decrease, consistent with exponential decay, starting from an initial caffeine amount and decaying at a constant rate. Key Values: Initial value (y-intercept) is 35 mg, Y-axis scale up to 50, X-axis scale from 0 to 20 Context: Illustrates the exponential decay model for caffeine elimination from the body as calculated in Example 4.