تحويلات التمثيلات البيانية للدوال الأسية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

86 الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية --- SECTION: إرشادات للدراسة --- الاضمحلال الأسي: تأكد من عدم الخلط بين تضييق التمثيلات البيانية، حيث 1 > |a|، والاضمحلال الأسي، حيث 0 < b < 1 --- SECTION: مفهوم أساسي الانعكاس حول المحور y --- منحنى الدالة (x-)f = (x)g هو انعكاس لمنحنى الدالة (x)f حول المحور y. --- SECTION: مفهوم أساسي التمدد الرأسي --- إذا كان a عددًا حقيقيًا موجبًا، فإن منحنى الدالة (x)af = (x)g هو: توسع رأسي لمنحنى (x)f، إذا كانت 1 < a. تضييق رأسي لمنحنى (x)f، إذا كانت 0 < a < 1. --- SECTION: مثال ٥ تحويلات التمثيلات البيانية لدوال النمو الأسي --- مثل كل دالة مما يأتي بيانيًا، وحدد مجالها، ومداها: a) y = 2^x + 1 حدد نقاط التمثيل البياني للدالة الأم y = 2^x. بما أن 1 > 2 فالدالة دالة نمو أسي، لذا استعمل النقاط (1/2, -1)، (1, 0)، (2, 1)، (4, 2)، (8, 3) أي النقاط (1/2, -1)، (1, 0)، (2, 1)، (4, 2)، (8, 3) والتمثيل البياني للدالة هو تحويل للتمثيل البياني للدالة 1 + 2^x = y، بما أن 1 = k فإن المعادلة 1 + 2^x = y تمثل انسحابًا لمنحنى الدالة الرئيسة (الأم) 2^x = y وحدة واحدة إلى أعلى. وبالاستعانة بالأزواج المرتبة الواردة في الجدول أدناه، فإن التمثيل البياني للدالة 1 + 2^x = y يكون كما هو موضح أدناه. المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية (R)، والمدى هو {1 > |y|} --- SECTION: إرشادات للدراسة سلوك طرفي التمثيل البياني --- مجال الدالتين في المثال 5 هو مجموعة الأعداد الحقيقية (R). تذكر أن سلوك طرفي التمثيل البياني هو سلوك التمثيل البياني مع اقتراب x من مالانهاية أو سالب مالانهاية. نلاحظ في المثال (5a) أنه مع اقتراب x من مالانهاية، تقترب y من مالانهاية أيضًا. وأما عندما تقترب x من سالب مالانهاية، فإن y تقترب من 1. وفي المثال (5b) عندما تقترب x من مالانهاية فإن y تقترب من مالانهاية، وأما عندما تقترب x من سالب مالانهاية، فإن y تقترب من الصفر. وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: الانعكاس حول المحور y Description: A graph showing a function y=f(x) and its reflection across the y-axis, g(x)=f(-x). The original function y=f(x) is shown in blue, starting from the third quadrant, passing through the origin, and extending into the first quadrant. The reflected function g(x)=f(-x) is shown in green, starting from the second quadrant, passing through the origin, and extending into the fourth quadrant. X-axis: x Y-axis: y Data: The blue curve represents y=f(x). The green curve represents g(x)=f(-x), which is a mirror image of f(x) with respect to the y-axis. Context: Illustrates the concept of reflecting a function's graph across the y-axis by transforming f(x) to f(-x). **GRAPH**: التمدد الرأسي (a > 1) Description: A graph showing a function y=f(x) and its vertical stretch, g(x)=af(x) where a>1. The original function y=f(x) is shown in blue, an exponential-like curve starting near the x-axis and increasing. The stretched function g(x)=af(x) is shown in green, also an exponential-like curve, but rising more steeply than f(x) for x>0, indicating a vertical stretch. X-axis: x Y-axis: y Data: The blue curve represents y=f(x). The green curve represents g(x)=af(x) with a>1, showing that the graph is stretched vertically away from the x-axis. Context: Illustrates the concept of vertical stretching of a function's graph when multiplied by a constant a > 1. **GRAPH**: التمدد الرأسي (0 < a < 1) Description: A graph showing a function y=f(x) and its vertical compression, g(x)=af(x) where 0<a<1. The original function y=f(x) is shown in blue, an exponential-like curve starting near the x-axis and increasing. The compressed function g(x)=af(x) is shown in green, also an exponential-like curve, but rising less steeply than f(x) for x>0, indicating a vertical compression. X-axis: x Y-axis: y Data: The blue curve represents y=f(x). The green curve represents g(x)=af(x) with 0<a<1, showing that the graph is compressed vertically towards the x-axis. Context: Illustrates the concept of vertical compression of a function's graph when multiplied by a constant 0 < a < 1. **GRAPH**: التمثيل البياني للدالة 1 + 2^x = y Description: A Cartesian coordinate graph showing two exponential functions. The x-axis ranges from -4 to 3, and the y-axis ranges from 0 to 8. The blue curve represents the parent function y=2^x, passing through (0,1) and (1,2). The red curve represents the transformed function y=2^x+1, which is a vertical translation of the blue curve one unit upwards, passing through (0,2) and (1,3). X-axis: x Y-axis: y Data: The blue curve (y=2^x) shows exponential growth, approaching y=0 as x approaches negative infinity. The red curve (y=2^x+1) shows the same exponential growth pattern but shifted up by 1 unit, approaching y=1 as x approaches negative infinity. Key Values: y=2^x passes through (0,1), y=2^x+1 passes through (0,2), y=2^x+1 is y=2^x shifted up by 1 unit Context: Demonstrates the effect of adding a constant to an exponential function, resulting in a vertical translation of the graph. **TABLE**: قيم الدالة y = 2^x + 1 Description: A table showing x-values, the calculation 2^x+1, and the resulting y-values for the function y = 2^x + 1. Table Structure: Headers: x | 2^x + 1 | y Rows: Row 1: -3 | 2^-3 + 1 | 1 1/8 Row 2: -2 | 2^-2 + 1 | 1 1/4 Row 3: -1 | 2^-1 + 1 | 1 1/2 Row 4: 0 | 2^0 + 1 | 2 Row 5: 1 | 2^1 + 1 | 3 Row 6: 2 | 2^2 + 1 | 5 Calculation needed: The 'y' column is the result of the calculation in the '2^x + 1' column. Data: The table provides specific points for plotting the function y = 2^x + 1, illustrating how the y-value changes with x. Context: Provides numerical data points to aid in graphing the exponential function y = 2^x + 1.