إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 15: اكتب قاعدة الإزاحة التي تنقل الشكل الأزرق إلى الشكل الأخضر في كل من السؤالين الآتيين. (15)

الإجابة: س15: $(x, y) \rightarrow (x + 3, y - 5)$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لإيجاد قاعدة الإزاحة، نحتاج إلى تحديد نقطة مرجعية على الشكل الأزرق وصورتها المقابلة على الشكل الأخضر. لنفترض أننا اخترنا نقطة معينة على الشكل الأزرق إحداثياتها $(x_1, y_1)$، وصورتها على الشكل الأخضر إحداثياتها $(x_2, y_2)$.
2. **الخطوة 2 (حساب التغير الأفقي والرأسي):** نحسب التغير في الإحداثي السيني ($\Delta x$) والتغير في الإحداثي الصادي ($\Delta y$). - التغير الأفقي ($\Delta x$) = الإحداثي السيني للنقطة النهائية - الإحداثي السيني للنقطة الأصلية = $x_2 - x_1$ - التغير الرأسي ($\Delta y$) = الإحداثي الصادي للنقطة النهائية - الإحداثي الصادي للنقطة الأصلية = $y_2 - y_1$ بناءً على الإجابة المعطاة، نفترض أن الشكل تحرك 3 وحدات إلى اليمين و 5 وحدات إلى الأسفل. إذن: $\\Delta x = +3$ (لليمين) و $\\Delta y = -5$ (للأسفل).
3. **الخطوة 3 (صياغة قاعدة الإزاحة):** قاعدة الإزاحة تعبر عن كيفية تغير إحداثيات أي نقطة $(x, y)$ بعد الإزاحة. نضيف التغير الأفقي إلى $x$ والتغير الرأسي إلى $y$. القاعدة هي: $(x, y) \rightarrow (x + \\Delta x, y + \\Delta y)$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالتعويض بقيم $\\Delta x$ و $\\Delta y$ التي استنتجناها: قاعدة الإزاحة هي: **$(x, y) \rightarrow (x + 3, y - 5)$**

سؤال 16: اكتب قاعدة الإزاحة التي تنقل الشكل الأزرق إلى الشكل الأخضر في كل من السؤالين الآتيين. (16)

الإجابة: س16: $(x, y) \rightarrow (x - 6, y + 4)$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** كما في السؤال السابق، نختار نقطة مرجعية على الشكل الأزرق إحداثياتها $(x_1, y_1)$ وصورتها المقابلة على الشكل الأخضر إحداثياتها $(x_2, y_2)$.
2. **الخطوة 2 (حساب التغير الأفقي والرأسي):** نحسب التغير في الإحداثي السيني ($\Delta x$) والتغير في الإحداثي الصادي ($\Delta y$). - التغير الأفقي ($\Delta x$) = $x_2 - x_1$ - التغير الرأسي ($\Delta y$) = $y_2 - y_1$ بناءً على الإجابة المعطاة، نفترض أن الشكل تحرك 6 وحدات إلى اليسار و 4 وحدات إلى الأعلى. إذن: $\\Delta x = -6$ (لليسار) و $\\Delta y = +4$ (للأعلى).
3. **الخطوة 3 (صياغة قاعدة الإزاحة):** نستخدم الصيغة العامة لقاعدة الإزاحة: $(x, y) \rightarrow (x + \\Delta x, y + \\Delta y)$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالتعويض بقيم $\\Delta x$ و $\\Delta y$ التي استنتجناها: قاعدة الإزاحة هي: **$(x, y) \rightarrow (x - 6, y + 4)$**

سؤال 17: جبر: مثل بيانياً صورة كل من الدالتين الآتيتين الناتجة عن الإزاحة المعطاة، ثم اكتب معادلة هذه الصورة. (17) $(x, y) \rightarrow (x + 4, y + 1)$ ، $y = x^2$

الإجابة: س17: الصورة: $y = (x - 4)^2 + 1$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم قاعدة الإزاحة):** قاعدة الإزاحة المعطاة هي $(x, y) \rightarrow (x + 4, y + 1)$. هذا يعني أن كل نقطة $(x, y)$ على الدالة الأصلية ستنتقل إلى نقطة جديدة $(x', y')$ حيث: $x' = x + 4$ (إزاحة أفقية 4 وحدات لليمين) $y' = y + 1$ (إزاحة رأسية 1 وحدة للأعلى)
2. **الخطوة 2 (إيجاد $x$ و $y$ بدلالة $x'$ و $y'$):** لإيجاد معادلة الصورة، نحتاج إلى التعبير عن $x$ و $y$ الأصليتين بدلالة الإحداثيات الجديدة $x'$ و $y'$. من $x' = x + 4$، نستنتج أن $x = x' - 4$. من $y' = y + 1$، نستنتج أن $y = y' - 1$.
3. **الخطوة 3 (التعويض في الدالة الأصلية):** الدالة الأصلية هي $y = x^2$. الآن نعوض بقيم $x$ و $y$ التي وجدناها في الخطوة السابقة: $(y' - 1) = (x' - 4)^2$
4. **الخطوة 4 (كتابة معادلة الصورة):** للحصول على معادلة الصورة النهائية، نعيد ترتيب المعادلة لجعل $y'$ في طرف بمفردها، ثم نستبدل $x'$ و $y'$ بـ $x$ و $y$ لتمثيل الدالة الجديدة: $y' = (x' - 4)^2 + 1$ إذن معادلة الصورة هي: **$y = (x - 4)^2 + 1$**

سؤال 18: جبر: مثل بيانياً صورة كل من الدالتين الآتيتين الناتجة عن الإزاحة المعطاة، ثم اكتب معادلة هذه الصورة. (18) $(x, y) \rightarrow (x - 2, y)$ ، $y = -x^3$

الإجابة: س18: الصورة: $y = -(x + 2)^3$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم قاعدة الإزاحة):** قاعدة الإزاحة المعطاة هي $(x, y) \rightarrow (x - 2, y)$. هذا يعني أن كل نقطة $(x, y)$ على الدالة الأصلية ستنتقل إلى نقطة جديدة $(x', y')$ حيث: $x' = x - 2$ (إزاحة أفقية 2 وحدة لليسار) $y' = y$ (لا توجد إزاحة رأسية)
2. **الخطوة 2 (إيجاد $x$ و $y$ بدلالة $x'$ و $y'$):** لإيجاد معادلة الصورة، نحتاج إلى التعبير عن $x$ و $y$ الأصليتين بدلالة الإحداثيات الجديدة $x'$ و $y'$. من $x' = x - 2$، نستنتج أن $x = x' + 2$. من $y' = y$، نستنتج أن $y = y'$.
3. **الخطوة 3 (التعويض في الدالة الأصلية):** الدالة الأصلية هي $y = -x^3$. الآن نعوض بقيم $x$ و $y$ التي وجدناها في الخطوة السابقة: $y' = -(x' + 2)^3$
4. **الخطوة 4 (كتابة معادلة الصورة):** للحصول على معادلة الصورة النهائية، نستبدل $x'$ و $y'$ بـ $x$ و $y$ لتمثيل الدالة الجديدة: إذن معادلة الصورة هي: **$y = -(x + 2)^3$**

سؤال 19: تضاريس: طول منحدر تلة من قمتها حتى أسفلها 125 m، وقياس الزاوية التي يصنعها مع المستقيم الرأسي 53°، إذا كان موقع منصور عند قمة التلة (x, y)، فاكتب قاعدة الإزاحة التي تمثل انتقاله إلى أسفل التلة.

الإجابة: س19: أفقياً 100m يساراً، رأسياً 75m أسفل $(x, y) \rightarrow (x - 100, y - 75)$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تحليل المعطيات ورسم الموقف):** لدينا منحدر تلة بطول 125 m. هذا يمثل الوتر في مثلث قائم الزاوية. الزاوية التي يصنعها المنحدر مع المستقيم الرأسي هي 53°. موقع منصور عند قمة التلة هو $(x, y)$. نريد إيجاد قاعدة الإزاحة لانتقاله إلى أسفل التلة. يمكننا تخيل مثلث قائم الزاوية حيث: - الوتر = طول المنحدر = 125 m - الضلع المقابل للزاوية 53° يمثل الإزاحة الأفقية ($\\Delta x$). - الضلع المجاور للزاوية 53° يمثل الإزاحة الرأسية ($\\Delta y$).
2. **الخطوة 2 (حساب الإزاحة الأفقية والرأسية باستخدام الدوال المثلثية):** نستخدم دالتي الجيب (sin) وجيب التمام (cos) لإيجاد مركبتي الإزاحة: - الإزاحة الأفقية ($\\Delta x$) = الوتر $\times \\sin(الزاوية)$ $\\Delta x = 125 \times \\sin(53^\\circ)$ $\\Delta x \\approx 125 \times 0.7986 \\approx 99.825$ m - الإزاحة الرأسية ($\\Delta y$) = الوتر $\times \\cos(الزاوية)$ $\\Delta y = 125 \times \\cos(53^\\circ)$ $\\Delta y \\approx 125 \times 0.6018 \\approx 75.225$ m
3. **الخطوة 3 (تحديد الاتجاهات وتقريب القيم):** بما أن منصور ينتقل من قمة التلة إلى أسفلها، فإن: - الإزاحة الأفقية ستكون إلى اليسار (نحو قيم $x$ الأقل)، لذا تكون سالبة. نقرب 99.825 إلى 100. - الإزاحة الرأسية ستكون إلى الأسفل (نحو قيم $y$ الأقل)، لذا تكون سالبة. نقرب 75.225 إلى 75. إذن: $\\Delta x \\approx -100$ m و $\\Delta y \\approx -75$ m.
4. **الخطوة 4 (كتابة قاعدة الإزاحة):** قاعدة الإزاحة هي $(x, y) \rightarrow (x + \\Delta x, y + \\Delta y)$. بالتعويض بالقيم التي حصلنا عليها: قاعدة الإزاحة هي: **$(x, y) \rightarrow (x - 100, y - 75)$**

سؤال 21: تبرير: أجريت إزاحة لشكل ما، وفقاً للقاعدة: $(x, y) \rightarrow (x - 3, y + 8)$، ثم إزاحة أخرى للصورة الناتجة وفقاً للقاعدة: $(x, y) \rightarrow (x + 3, y - 8)$. من دون استعمال الرسم، حدّد مكان الشكل النهائي وبرّر إجابتك.

الإجابة: س21: يعود الشكل لمكانه الأصلي لأن: $(-3, 8) + (3, -8) = (0, 0)$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم الإزاحة الأولى):** الإزاحة الأولى هي $(x, y) \rightarrow (x - 3, y + 8)$. هذا يعني أن أي نقطة تتحرك 3 وحدات إلى اليسار (نقصان في $x$) و 8 وحدات إلى الأعلى (زيادة في $y$).
2. **الخطوة 2 (فهم الإزاحة الثانية على الصورة الناتجة):** الإزاحة الثانية هي $(x, y) \rightarrow (x + 3, y - 8)$. هذه الإزاحة تطبق على النقطة الناتجة عن الإزاحة الأولى. هذا يعني أن النقطة تتحرك 3 وحدات إلى اليمين (زيادة في $x$) و 8 وحدات إلى الأسفل (نقصان في $y$).
3. **الخطوة 3 (تحديد التأثير الكلي للإزاحتين):** لننظر إلى التغير الكلي في الإحداثي السيني والتغير الكلي في الإحداثي الصادي: - التغير الكلي في $x$: $(-3) + (+3) = 0$ - التغير الكلي في $y$: $(+8) + (-8) = 0$ بما أن صافي التغير في كلا الإحداثيين هو صفر، فإن الشكل يعود إلى موقعه الأصلي.
4. **الخطوة 4 (النتيجة والتبرير):** يعود الشكل لمكانه الأصلي لأن الإزاحتين متعاكستان تماماً وتلغيان تأثير بعضهما البعض. يمكن تمثيل الإزاحتين كمتجهين، وعند جمع هذين المتجهين نحصل على المتجه الصفري $(0, 0)$. إذن، يعود الشكل لمكانه الأصلي لأن: **$(-3, 8) + (3, -8) = (0, 0)$**

أجريت إزاحة لشكل ما، وفقاً للقاعدة: (x, y) → (x - 3, y + 8)، ثم إزاحة أخرى للصورة الناتجة وفقاً للقاعدة: (x, y) → (x + 3, y - 8). من دون استعمال الرسم، حدّد مكان الشكل النهائي وبرّر إجابتك.

• أ) يتحرك الشكل 6 وحدات لليمين.
• ب) يتحرك الشكل 16 وحدة للأعلى.
• ج) يعود الشكل لمكانه الأصلي.
• د) يتحرك الشكل 5 وحدات لليسار و 8 وحدات للأسفل.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يعود الشكل لمكانه الأصلي.

الشرح: ١. الإزاحة الأولى: (Δx₁, Δy₁) = (-3, +8). ٢. الإزاحة الثانية: (Δx₂, Δy₂) = (+3, -8). ٣. التغير الكلي: (Δx₁ + Δx₂, Δy₁ + Δy₂) = (-3+3, 8-8) = (0, 0). ٤. بما أن صافي التغير صفر، فإن الشكل يعود إلى موقعه الأصلي.

تلميح: احسب التغير الكلي في كل من الإحداثي السيني والصادي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

جبر: مثل بيانياً صورة الدالة y = x² الناتجة عن الإزاحة (x, y) → (x + 4, y + 1)، ثم اكتب معادلة هذه الصورة.

• أ) y = (x + 4)² + 1
• ب) y = (x - 4)² + 1
• ج) y = x² + 5
• د) y = (x + 4)² - 1

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: y = (x - 4)² + 1

الشرح: ١. قاعدة الإزاحة: x' = x + 4 → x = x' - 4. و y' = y + 1 → y = y' - 1. ٢. عوض في الدالة الأصلية y = x²: (y' - 1) = (x' - 4)². ٣. أعد الترتيب لتصبح معادلة الصورة: y' = (x' - 4)² + 1. ٤. استبدل x', y' بـ x, y: y = (x - 4)² + 1.

تلميح: لإيجاد معادلة الصورة، عبر عن x و y الأصليتين بدلالة الإحداثيات الجديدة x' و y'، ثم عوض في المعادلة الأصلية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

جبر: مثل بيانياً صورة الدالة y = -x³ الناتجة عن الإزاحة (x, y) → (x - 2, y)، ثم اكتب معادلة هذه الصورة.

• أ) y = -(x - 2)³
• ب) y = -x³ - 2
• ج) y = -(x + 2)³
• د) y = (-x - 2)³

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: y = -(x + 2)³

الشرح: ١. قاعدة الإزاحة: x' = x - 2 → x = x' + 2. و y' = y. ٢. عوض في الدالة الأصلية y = -x³: y' = -(x' + 2)³. ٣. معادلة الصورة هي: y = -(x + 2)³.

تلميح: لاحظ أن الإزاحة أفقية فقط (لليسار). عبر عن x الأصلية بدلالة x' الجديدة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

تضاريس: طول منحدر تلة من قمتها حتى أسفلها 125 m، وقياس الزاوية التي يصنعها مع المستقيم الرأسي 53°. إذا كان موقع منصور عند قمة التلة (x, y)، فاكتب قاعدة الإزاحة التي تمثل انتقاله إلى أسفل التلة.

• أ) (x, y) → (x + 75, y - 100)
• ب) (x, y) → (x - 100, y - 75)
• ج) (x, y) → (x - 75, y + 100)
• د) (x, y) → (x + 100, y + 75)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (x, y) → (x - 100, y - 75)

الشرح: ١. طول المنحدر (الوتر) = 125 m، الزاوية مع الرأسي = 53°. ٢. الإزاحة الأفقية (Δx) = 125 × sin(53°) ≈ 125 × 0.7986 ≈ 99.8 ≈ -100 m (لليسار). ٣. الإزاحة الرأسية (Δy) = 125 × cos(53°) ≈ 125 × 0.6018 ≈ 75.2 ≈ -75 m (للأسفل). ٤. قاعدة الإزاحة: (x, y) → (x + Δx, y + Δy) = (x - 100, y - 75).

تلميح: استخدم الدوال المثلثية (جيب، جيب التمام) لإيجاد مركبتي الإزاحة الأفقية والرأسية. تذكر أن الانتقال إلى أسفل التلة يعني إزاحة سالبة في الاتجاه الرأسي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

ما هي الصيغة العامة لقاعدة الإزاحة في المستوى الإحداثي؟

• أ) (x, y) → (x - Δx, y - Δy)
• ب) (x, y) → (x + Δx, y + Δy)
• ج) (x, y) → (Δx, Δy)
• د) (x, y) → (x * Δx, y * Δy)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (x, y) → (x + Δx, y + Δy)

الشرح: ١. قاعدة الإزاحة تصف كيفية تغير إحداثيات أي نقطة (x, y). ٢. Δx هو مقدار التغير الأفقي (موجب لليمين، سالب لليسار). ٣. Δy هو مقدار التغير الرأسي (موجب للأعلى، سالب للأسفل). ٤. الصيغة العامة هي: (x, y) → (x + Δx, y + Δy).

تلميح: تتغير إحداثيات النقطة بإضافة مقدارين: أحدهما أفقي والآخر رأسي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

عند تطبيق إزاحة على دالة متصلة، ماذا يحدث لشكل منحنى الدالة؟

• أ) يتغير شكله تماماً.
• ب) يبقى محافظاً على شكله كما هو.
• ج) ينكسر ويصبح غير متصل.
• د) يتغير حجمه فقط.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يبقى محافظاً على شكله كما هو.

الشرح: ١. الإزاحة هي أحد تحويلات التطابق. ٢. تحويلات التطابق (كالانسحاب، الدوران، الانعكاس) تحافظ على شكل وحجم الشكل. ٣. لذلك، عند إجراء إزاحة على دالة متصلة، ينتقل منحنى الدالة ككل دون تغيير في شكله.

تلميح: فكر في تحويلات التطابق الهندسية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

إذا كانت قاعدة إزاحة هي (x, y) → (x + 4, y + 1) والدالة الأصلية هي y = x²، فما معادلة الدالة بعد الإزاحة؟

• أ) y = (x + 4)² + 1
• ب) y = (x - 4)² + 1
• ج) y = x² + 5
• د) y = (x + 4)² - 1

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: y = (x - 4)² + 1

الشرح: ١. من القاعدة: x' = x + 4 → x = x' - 4. ٢. من القاعدة: y' = y + 1 → y = y' - 1. ٣. عوض x و y في y = x²: (y' - 1) = (x' - 4)². ٤. أعد الترتيب: y' = (x' - 4)² + 1. ٥. إذن معادلة الصورة: y = (x - 4)² + 1.

تلميح: لإيجاد معادلة الصورة، عبر عن x و y الأصليتين بدلالة الإحداثيات الجديدة x' و y'، ثم عوض في المعادلة الأصلية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كانت قاعدة إزاحة هي (x, y) → (x - 2, y) والدالة الأصلية هي y = -x³، فما معادلة الدالة بعد الإزاحة؟

• أ) y = -(x - 2)³
• ب) y = -x³ - 2
• ج) y = -(x + 2)³
• د) y = (-x - 2)³

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: y = -(x + 2)³

الشرح: ١. من القاعدة: x' = x - 2 → x = x' + 2. ٢. من القاعدة: y' = y → y = y'. ٣. عوض x و y في y = -x³: y' = -(x' + 2)³. ٤. إذن معادلة الصورة: y = -(x + 2)³.

تلميح: لاحظ أن الإزاحة أفقية فقط (y لم تتغير). عبر عن x الأصلية بدلالة x' الجديدة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما نتيجة تطبيق انعكاسين متعاقبين حول مستقيمين رأسيين مختلفين على شكل ما؟

• أ) دوران.
• ب) إزاحة أفقية.
• ج) انعكاس حول نقطة.
• د) لا يتغير مكان الشكل.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إزاحة أفقية.

الشرح: ١. الانعكاس حول مستقيم رأسي يقلب الشكل أفقياً. ٢. الانعكاس الأول حول المستقيم l ينقل الشكل إلى الجانب الآخر منه. ٣. الانعكاس الثاني حول المستقيم m (الذي يوازي l) ينقل الصورة الناتجة مرة أخرى. ٤. التأثير الكلي لهذين الانعكاسين المتعاقبين حول مستقيمين رأسيين متوازيين هو إزاحة أفقية للشكل الأصلي.

تلميح: فكر في تأثير قلب الورقة (انعكاس) حول خط رأسي ثم حول خط رأسي آخر.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب