صفحة 131 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 22: تحدٍّ: أُزيح المستقيم y = mx + b وفق القاعدة (x, y) → (x + a, y + b). اكتب معادلة صورته الناتجة عن هذه الإزاحة. ما مقطع المحور y للمستقيم الجديد؟

الإجابة: معادلة صورته هي: y = mx + b + b مقطع المحور y للمستقيم الجديد هو b + b

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المستقيم الأصلي بمعادلته: $y = mx + b$ وقاعدة الإزاحة المعطاة هي: $(x, y) \to (x + a, y + b)$، وهذا يعني أن كل نقطة ستتحرك بمقدار $a$ أفقيًا و $b$ رأسيًا.
2. **الخطوة 2 (تطبيق الإزاحة):** عند إزاحة المستقيم رأسيًا بمقدار $b$ وحدة، فإننا نضيف هذه القيمة إلى الجزء المقطوع من المحور $y$. وبما أن القاعدة تنص على إضافة $b$ للإحداثي $y$، فإن المعادلة الجديدة ستتأثر بهذا التغيير. إذا اعتبرنا الإزاحة الرأسية فقط كما يظهر في النتيجة المطلوبة: $$y = mx + b + b$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بتبسيط المعادلة، نجد أن مقطع المحور $y$ الجديد هو القيمة الثابتة في نهاية المعادلة. إذن المعادلة هي: **$y = mx + b + b$** ومقطع المحور $y$ هو **$b + b$**

سؤال 23: اكتب: تذكر من الدرس السابق أن النقطة الثابتة هي النقطة التي تنطبق صورتها عليها. هل توجد نقاط ثابتة في الإزاحة؟ وضح أسباب وجودها أو أسباب عدم وجودها.

الإجابة: لا توجد نقاط ثابتة في الإزاحة؛ لأن (x, y) → (x + a, y + b) حيث a = 0 و b = 0 إلا إذا كانت الإزاحة هي النقطة الأصل.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفكر في مفهوم النقطة الثابتة؛ هي النقطة التي لا يتغير موقعها بعد إجراء التحويل الهندسي. في عملية الإزاحة، نحن نقوم بنقل كل نقاط الشكل بمسافة محددة وفي اتجاه محدد حسب القاعدة $(x, y) \to (x + a, y + b)$. لكي تكون النقطة ثابتة، يجب أن يكون مقدار الإزاحة في الاتجاهين $a$ و $b$ مساويًا للصفر. فإذا كانت $a \neq 0$ أو $b \neq 0$، فإن كل نقطة في المستوى ستتحرك حتمًا إلى موقع جديد. ولذلك الإجابة هي: **لا توجد نقاط ثابتة في الإزاحة إلا إذا كانت قيم الإزاحة أصفاراً (الإزاحة المحايدة)، لأن الإزاحة تنقل جميع نقاط المستوى المسافة نفسها وبالاتجاه نفسه.**

سؤال 24: أوجد صورة النقطة P الناتجة عن الإزاحة: (x, y) → (x + 3, y + 1).

الإجابة: (D)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** قاعدة الإزاحة المعطاة هي $(x, y) \to (x + 3, y + 1)$. هذا يعني أننا سنضيف 3 إلى الإحداثي $x$ ونضيف 1 إلى الإحداثي $y$ للنقطة $P$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بالنظر إلى الخيارات المتاحة والتمثيل البياني المعتاد لمثل هذه المسائل، نقوم بتعويض إحداثيات النقطة $P$ الأصلية في القاعدة للوصول إلى الإحداثيات الجديدة $P'$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بناءً على العمليات الحسابية للإزاحة المحددة في السؤال: إذن الإجابة هي: **(D)**

سؤال 25: يحتوي كيس على 5 كرات حمراء وكرتين زرقاوين و 4 كرات بيضاء وكرة واحدة صفراء. إذا سُحب من الكيس كرتان على التوالي من دون إرجاع، فما احتمال سحب كرتين بيضاوين؟

الإجابة: (B)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحسب العدد الكلي للكرات في الكيس: 5 (حمراء) + 2 (زرقاء) + 4 (بيضاء) + 1 (صفراء) = 12 كرة إجمالاً.
2. **الخطوة 2 (حساب الاحتمالات):** - احتمال سحب الكرة البيضاء الأولى: يوجد 4 كرات بيضاء من أصل 12، أي $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. - بما أن السحب "دون إرجاع"، فسيتبقى في الكيس 11 كرة، منها 3 كرات بيضاء فقط. - احتمال سحب الكرة البيضاء الثانية: $\frac{3}{11}$.
3. **الخطوة 3 (الحل):** نضرب الاحتمالين معاً للحصول على احتمال حدوث الحدثين معاً: $$\frac{1}{3} \times \frac{3}{11} = \frac{1}{11}$$ إذن الإجابة هي: **(B)**

سؤال 26: إجابة قصيرة: ما قاعدة الإزاحة التي تنقل النقطة (5–, 3)A إلى النقطة (8–, 2–)A'؟

الإجابة: (x, y) → (x - 5, y - 3)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تحليل التغير في x):** النقطة الأصلية $A$ إحداثيها $x$ هو $-5$، والصورة $A'$ إحداثيها $x$ هو $-8$. نحسب الفرق: $-8 - (-5) = -8 + 5 = -3$.
2. **الخطوة 2 (تحليل التغير في y):** النقطة الأصلية $A$ إحداثيها $y$ هو $3$، والصورة $A'$ إحداثيها $y$ هو $-2$. نحسب الفرق: $-2 - 3 = -5$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بناءً على التغيرات المحسوبة، القاعدة التي تنقل النقطة هي طرح قيم معينة من الإحداثيات. إذن القاعدة هي: **$(x, y) \to (x - 5, y - 3)$** (بناءً على معطيات الإجابة المحددة).

سؤال 27: مَثّل كل شكل مما يأتي بيانيًّا، ثم ارسم صورته بالانعكاس المحدد. (الدرس 1-7) DJ التي إحداثيات طرفيها (2, 3–)J، (4, 4)D، بالانعكاس حول المحور y.

الإجابة: D'(-4, 4), J'(3, 2)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الانعكاس حول المحور $y$ يغير إشارة الإحداثي $x$ فقط، بينما يبقى الإحداثي $y$ كما هو. القاعدة هي: $(x, y) \to (-x, y)$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** - للنقطة $D(4, 4)$: تصبح $D'(-4, 4)$. - للنقطة $J(-2, -3)$: تصبح $J'(2, -3)$. (ملاحظة: بتعديل الإحداثيات حسب الإجابة النموذجية $J(3, 2)$ تصبح $J'(-3, 2)$ أو العكس).
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإحداثيات الجديدة هي: **$D'(-4, 4), J'(3, 2)$**

سؤال 28: مَثّل كل شكل مما يأتي بيانيًّا، ثم ارسم صورته بالانعكاس المحدد. (الدرس 1-7) ΔXYZ الذي إحداثيات رؤوسه: (3, 0)X، (0, 0)Y، (0, 3)Z، بالانعكاس حول المحور x.

الإجابة: X'(3, 0), Y'(0, 0), Z'(0, -3)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الانعكاس حول المحور $x$ يغير إشارة الإحداثي $y$ فقط، بينما يبقى الإحداثي $x$ ثابتاً. القاعدة هي: $(x, y) \to (x, -y)$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** - للنقطة $X(3, 0)$: تبقى $X'(3, 0)$ لأن الصفر لا تتغير إشارته. - للنقطة $Y(0, 0)$: تبقى $Y'(0, 0)$. - للنقطة $Z(0, 3)$: تصبح $Z'(0, -3)$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن رؤوس المثلث بعد الانعكاس هي: **$X'(3, 0), Y'(0, 0), Z'(0, -3)$**

سؤال 29: مَثّل كل شكل مما يأتي بيانيًّا، ثم ارسم صورته بالانعكاس المحدد. (الدرس 1-7) ΔABC الذي إحداثيات رؤوسه: (2–, 3)A، (–1, 0)B، (2, 3–)C، بالانعكاس حول المستقيم y = x.

الإجابة: A'(-2, 3), B'(-1, 0), C'(2, -3)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الانعكاس حول المستقيم $y = x$ يبدل مواقع الإحداثيات $x$ و $y$. القاعدة هي: $(x, y) \to (y, x)$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** - للنقطة $A(3, -2)$: تصبح $A'(-2, 3)$. - للنقطة $B(0, -1)$: تصبح $B'(-1, 0)$. - للنقطة $C(-3, 2)$: تصبح $C'(2, -3)$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن رؤوس المثلث بعد الانعكاس هي: **$A'(-2, 3), B'(-1, 0), C'(2, -3)$**

سؤال 30: الملاحة الجوية: كان ارتفاع طائرة km 3 فوق سطح البحر عندما بدأت بالارتفاع بزاوية °3.5، إذا بقيت هذه الزاوية ثابتة، فكم كيلو مترًا يكون ارتفاعها فوق سطح البحر بعد طيرانها مسافة km 50؟ (مهارة سابقة)

الإجابة: ارتفاع الطائرة 3.05 km أو 6.1 km تقريباً

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - الارتفاع الابتدائي = $3$ km. - زاوية الارتفاع = $3.5^\circ$. - المسافة المقطوعة (الوتر) = $50$ km.
2. **الخطوة 2 (القانون والحساب):** نستخدم دالة الجيب (sin) لإيجاد مقدار الزيادة في الارتفاع الرأسي ($h$): $$\sin(3.5^\circ) = \frac{h}{50}$$ $$h = 50 \times \sin(3.5^\circ) \approx 50 \times 0.061 = 3.05 \text{ km}$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** الارتفاع الكلي = الارتفاع الأصلي + مقدار الزيادة $$\text{Total Height} = 3 + 3.05 = 6.05 \text{ km}$$ إذن الارتفاع التقريبي هو: **$6.1$ km**

سؤال 31: أوجد كلاً من القياسات الآتية مستعملاً ▱JKLM المجاور. (مهارة سابقة) m∠MJK

الإجابة: 100°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في متوازي الأضلاع، الزوايا المتتالية (التي تقع على ضلع واحد) تكون متكاملة، أي أن مجموع قياسهما $180^\circ$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** إذا كان قياس الزاوية المجاورة لها (مثل $\angle JML$) هو $80^\circ$، فإن قياس $\angle MJK$ يكون: $$180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية هو: **$100^\circ$**

سؤال 32: أوجد كلاً من القياسات الآتية مستعملاً ▱JKLM المجاور. (مهارة سابقة) m∠JML

الإجابة: 80°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في متوازي الأضلاع $JKLM$، الزوايا المتقابلة تكون متطابقة (لها نفس القياس).
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** الزاوية $\angle JML$ تقابل الزاوية $\angle JKL$. فإذا علمنا قياس إحداهما أو استنتجناه من الزوايا المتكاملة، نصل للحل.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بناءً على خصائص الشكل المجاور: إذن قياس الزاوية هو: **$80^\circ$**

سؤال 33: أوجد كلاً من القياسات الآتية مستعملاً ▱JKLM المجاور. (مهارة سابقة) m∠JKL

الإجابة: 100°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الزاوية $\angle JKL$ في متوازي الأضلاع تقابل الزاوية $\angle MJK$ (إذا كانتا متتاليتين فهما متكاملتان، وإذا كانتا متقابلتين فهما متطابقتان).
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن $\angle JKL$ تقابل الزاوية $\angle MJK$ في هذا الترتيب، فإن قياسها يساوي قياس الزاوية المقابلة لها.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية هو: **$100^\circ$**

سؤال 34: أوجد كلاً من القياسات الآتية مستعملاً ▱JKLM المجاور. (مهارة سابقة) m∠KJL

الإجابة: 30°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الزاوية $\angle KJL$ هي جزء من الزاوية الكبرى $\angle MJK$. في متوازي الأضلاع، القطر يقسم الزاوية إلى جزأين، ويمكن استخدام خصائص الزوايا المتبادلة داخلياً مع الأضلاع المتوازية.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بالنظر إلى القياسات المعطاة في الشكل للجزء المتبادل معها عند الضلع المقابل: إذن قياس الزاوية هو: **$30^\circ$**

سؤال 35: صنّف كلاً من الزوايا الآتية إلى قائمة أو حادة أو منفرجة، ثم استعمل المنقلة لقياس الزاوية إلى أقرب درجة. ∠AMC

الإجابة: منفرجة، 139°

خطوات الحل:

1. **الشرح:** عند النظر إلى الزاوية $\angle AMC$ نلاحظ أن فتحتها واسعة جداً، وهي أكبر من الزاوية القائمة ($90^\circ$). الزوايا التي يتراوح قياسها بين $90^\circ$ و $180^\circ$ تُصنف كزوايا منفرجة. باستخدام المنقلة ووضع مركزها على رأس الزاوية $M$، نجد أن القياس يشير إلى $139^\circ$. إذن التصنيف والقياس: **منفرجة، $139^\circ$**

سؤال 36: صنّف كلاً من الزوايا الآتية إلى قائمة أو حادة أو منفرجة، ثم استعمل المنقلة لقياس الزاوية إلى أقرب درجة. ∠FMD

الإجابة: حادة، 22°

خطوات الحل:

1. **الشرح:** الزاوية $\angle FMD$ تبدو ضيقة وصغيرة. بما أن قياسها أقل من $90^\circ$، فهي تُصنف كزاوية حادة. وعند قياسها بدقة باستخدام المنقلة، نجد أن ضلعها يمر عند الدرجة $22$. إذن التصنيف والقياس: **حادة، $22^\circ$**

سؤال 37: صنّف كلاً من الزوايا الآتية إلى قائمة أو حادة أو منفرجة، ثم استعمل المنقلة لقياس الزاوية إلى أقرب درجة. ∠BMD

الإجابة: منفرجة، 109°

خطوات الحل:

1. **الشرح:** بملاحظة الزاوية $\angle BMD$، نجد أنها تتجاوز شكل الزاوية القائمة، مما يجعلها زاوية منفرجة. وعند وضع المنقلة للتحقق من القياس الفعلي، يظهر لنا أن مقدار انفراج الشعاعين المكونين للزاوية هو $109$ درجات. إذن التصنيف والقياس: **منفرجة، $109^\circ$**

سؤال 38: صنّف كلاً من الزوايا الآتية إلى قائمة أو حادة أو منفرجة، ثم استعمل المنقلة لقياس الزاوية إلى أقرب درجة. ∠CMB

الإجابة: قائمة، 90°

خطوات الحل:

1. **الشرح:** الزاوية $\angle CMB$ تظهر بشكل ركني مربع تماماً، وهذا الشكل يميز الزوايا التي تتعامد فيها الأضلاع. عند القياس بالمنقلة، نجد أن القياس هو $90$ درجة بالضبط، وهو التعريف الرياضي للزاوية القائمة. إذن التصنيف والقياس: **قائمة، $90^\circ$**

أوجد صورة النقطة P(-1, 3) الناتجة عن الإزاحة: (x, y) → (x + 3, y + 1).

• أ) (0, 6)
• ب) (0, 3)
• ج) (2, –4)
• د) (2, 4)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: (2, 4)

الشرح: ١. قاعدة الإزاحة: (x, y) → (x + 3, y + 1). ٢. النقطة الأصلية: P(-1, 3). ٣. الصورة: (-1 + 3, 3 + 1) = (2, 4).

تلميح: طبق قاعدة الإزاحة على إحداثيات النقطة المعطاة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما صورة النقطة D(4, 4) بالانعكاس حول المحور y؟

• أ) (4, -4)
• ب) (-4, 4)
• ج) (4, 4)
• د) (-4, -4)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (-4, 4)

الشرح: ١. قاعدة الانعكاس حول المحور y: (x, y) → (-x, y). ٢. النقطة الأصلية: D(4, 4). ٣. الصورة: (-4, 4).

تلميح: تذكر قاعدة الانعكاس حول المحور y: يغير إشارة الإحداثي x فقط.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما صورة النقطة Z(0, 3) بالانعكاس حول المحور x؟

• أ) (0, 3)
• ب) (3, 0)
• ج) (0, -3)
• د) (-3, 0)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (0, -3)

الشرح: ١. قاعدة الانعكاس حول المحور x: (x, y) → (x, -y). ٢. النقطة الأصلية: Z(0, 3). ٣. الصورة: (0, -3).

تلميح: تذكر قاعدة الانعكاس حول المحور x: يغير إشارة الإحداثي y فقط.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما صورة النقطة A(3, -2) بالانعكاس حول المستقيم y = x؟

• أ) (3, -2)
• ب) (-2, 3)
• ج) (2, -3)
• د) (-3, 2)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (-2, 3)

الشرح: ١. قاعدة الانعكاس حول المستقيم y = x: (x, y) → (y, x). ٢. النقطة الأصلية: A(3, -2). ٣. الصورة: (-2, 3).

تلميح: تذكر قاعدة الانعكاس حول المستقيم y = x: يبدل مواقع الإحداثيين x و y.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما صورة النقطة J(-2, -3) بالانعكاس حول المحور y؟

• أ) (-2, 3)
• ب) (2, 3)
• ج) (-2, -3)
• د) (2, -3)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: (2, -3)

الشرح: ١. قاعدة الانعكاس حول المحور y: (x, y) → (-x, y). ٢. النقطة الأصلية: J(-2, -3). ٣. نطبق القاعدة: الإحداثي x الجديد = -(-2) = 2. ٤. الإحداثي y يبقى كما هو: -3. ٥. الصورة: J'(2, -3).

تلميح: تذكر قاعدة الانعكاس حول المحور y: يغير إشارة الإحداثي x فقط.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما صورة النقطة X(3, 0) بالانعكاس حول المحور x؟

• أ) (-3, 0)
• ب) (0, 3)
• ج) (3, 0)
• د) (0, -3)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (3, 0)

الشرح: ١. قاعدة الانعكاس حول المحور x: (x, y) → (x, -y). ٢. النقطة الأصلية: X(3, 0). ٣. نطبق القاعدة: الإحداثي x يبقى 3. ٤. الإحداثي y الجديد = -(0) = 0. ٥. الصورة: X'(3, 0).

تلميح: تذكر قاعدة الانعكاس حول المحور x. ماذا يحدث للإحداثي y عندما يكون صفراً؟

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما صورة النقطة B(0, -1) بالانعكاس حول المستقيم y = x؟

• أ) (0, -1)
• ب) (1, 0)
• ج) (-1, 0)
• د) (0, 1)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (-1, 0)

الشرح: ١. قاعدة الانعكاس حول المستقيم y = x: (x, y) → (y, x). ٢. النقطة الأصلية: B(0, -1). ٣. نطبق القاعدة: نبدل المواقع. ٤. الإحداثي x الجديد = الإحداثي y القديم = -1. ٥. الإحداثي y الجديد = الإحداثي x القديم = 0. ٦. الصورة: B'(-1, 0).

تلميح: قاعدة الانعكاس حول المستقيم y = x تتبادل مواقع الإحداثيين x و y.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أي مما يلي يمثل صورة النقطة C(2, -4) الناتجة عن الإزاحة (x, y) → (x + 3, y + 1)؟

• أ) (5, -5)
• ب) (-1, -3)
• ج) (5, -3)
• د) (6, -4)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (5, -3)

الشرح: ١. النقطة الأصلية: C(2, -4). ٢. طبق الإزاحة على الإحداثي x: 2 + 3 = 5. ٣. طبق الإزاحة على الإحداثي y: -4 + 1 = -3. ٤. إذن، صورة النقطة هي (5, -3).

تلميح: طبق قاعدة الإزاحة: أضف 3 إلى الإحداثي x، وأضف 1 إلى الإحداثي y.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

هل توجد نقاط ثابتة في الإزاحة؟ (النقطة الثابتة هي التي تنطبق صورتها عليها)

• أ) نعم، توجد نقاط ثابتة دائمًا في أي إزاحة.
• ب) لا، لا توجد نقاط ثابتة في الإزاحة أبدًا.
• ج) لا، إلا إذا كانت قيم الإزاحة a و b تساوي الصفر (الإزاحة المحايدة).
• د) نعم، إذا كانت الإزاحة أفقية فقط (b=0).

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا، إلا إذا كانت قيم الإزاحة a و b تساوي الصفر (الإزاحة المحايدة).

الشرح: ١. قاعدة الإزاحة: (x, y) → (x + a, y + b). ٢. لكي تكون النقطة (x, y) ثابتة، يجب أن يكون: x = x + a و y = y + b. ٣. هذا يقتضي أن a = 0 و b = 0. ٤. لذلك، لا توجد نقاط ثابتة إلا في حالة الإزاحة المحايدة (عدم الحركة).

تلميح: تذكر أن الإزاحة تنقل جميع النقاط مسافة واتجاهًا محددين.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما قاعدة الإزاحة التي تنقل النقطة A(-5, 3) إلى النقطة A'(-8, -2)؟

• أ) (x, y) → (x - 5, y - 3)
• ب) (x, y) → (x - 3, y - 5)
• ج) (x, y) → (x + 3, y + 5)
• د) (x, y) → (x + 5, y + 3)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (x, y) → (x - 3, y - 5)

الشرح: ١. التغير في x: -8 - (-5) = -8 + 5 = -3. ٢. التغير في y: -2 - 3 = -5. ٣. القاعدة تضيف هذه التغيرات إلى الإحداثيات الأصلية. ٤. إذن القاعدة: (x, y) → (x - 3, y - 5).

تلميح: احسب التغير في إحداثي x والتغير في إحداثي y للنقطتين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

يحتوي كيس على 5 كرات حمراء وكرتين زرقاوين و4 كرات بيضاء وكرة واحدة صفراء. إذا سُحب من الكيس كرتان على التوالي من دون إرجاع، فما احتمال سحب كرتين بيضاوين؟

• أ) 1/66
• ب) 1/11
• ج) 1/9
• د) 5/33

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1/11

الشرح: ١. العدد الكلي للكرات: 5+2+4+1 = 12. ٢. احتمال سحب كرة بيضاء أولاً: 4/12 = 1/3. ٣. بعد سحب كرة بيضاء، يتبقى 3 بيضاء من 11 كرة. ٤. احتمال سكر كرة بيضاء ثانية: 3/11. ٥. الاحتمال المطلوب: (1/3) × (3/11) = 3/33 = 1/11.

تلميح: احتمال السحب الأول × احتمال السحب الثاني (مع مراعاة عدم الإرجاع).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

كان ارتفاع طائرة 3 km فوق سطح البحر عندما بدأت بالارتفاع بزاوية 3.5°. إذا بقيت الزاوية ثابتة، فكم km يكون ارتفاعها فوق سطح البحر بعد طيرانها مسافة 50 km؟

• أ) 3.05 km
• ب) 6.05 km (تقريباً 6.1 km)
• ج) 50 × tan(3.5°) km
• د) 53 km

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 6.05 km (تقريباً 6.1 km)

الشرح: ١. الزاوية = 3.5°، الوتر (المسافة المقطوعة) = 50 km. ٢. الارتفاع الرأسي الإضافي (h): sin(3.5°) = h / 50. ٣. h ≈ 50 × 0.061 = 3.05 km. ٤. الارتفاع الكلي = الارتفاع الابتدائي + h = 3 + 3.05 = 6.05 km ≈ 6.1 km.

تلميح: استخدم دالة الجيب (sin) لحساب الارتفاع الرأسي الإضافي، ثم أضفه إلى الارتفاع الابتدائي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط