تركيب الانعكاسين - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تركيب الانعكاسين

المفاهيم الأساسية

تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين: تحويل هندسي يكافئ إزاحة.

تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين: تحويل هندسي يكافئ دوراناً.

خريطة المفاهيم

```markmap

تركيب التحويلات الهندسية

التحويل الهندسي المركب

تعريف

مثال: آثار الأقدام على الرمال

تركيب إزاحة انعكاس

خطوات التنفيذ

#### 1. إجراء الإزاحة

#### 2. إجراء الانعكاس حول مستقيم موازٍ لاتجاه الإزاحة

تمثيل بياني

تركيب انعكاسين

حول مستقيمين متوازيين

#### نظرية 7.2

##### يكافئ إزاحة

##### اتجاهها عمودي على المستقيمين

##### مقدارها = 2 × المسافة بين المستقيمين

حول مستقيمين متقاطعين

#### نظرية 7.3

##### يكافئ دوراناً

##### مركزه نقطة التقاطع

##### قياس زاويته = 2 × قياس زاوية تقاطع المستقيمين

نظرية تركيب تحويلات التطابق

نص النظرية

#### تركيب تحويلي تطابق هو تحويل تطابق

نتيجة النظرية

#### الصورة الناتجة عن تركيب تحويلات التطابق مطابقة للشكل الأصلي

تمثيل التركيب بيانياً

خطوات الحل

#### 1. تطبيق التحويل الأول وإيجاد الصورة الأولى

#### 2. تطبيق التحويل الثاني على الصورة الأولى

#### 3. تمثيل الشكل الأصلي والصور الناتجة

تنبيه

ترتيب التركيب

#### احرص على تركيب التحويلين الهندسيين بالترتيب المحدد في المسألة

```

نقاط مهمة

• تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين ينتج إزاحة.
• تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين ينتج دوراناً.
• برهان النظرية 7.2 موجود في السؤال 26.
• برهان النظرية 7.3 موجود في السؤال 27.
• ترتيب تطبيق التحويلات الهندسية في التركيب مهم ويجب اتباعه كما هو محدد.

---

حل مثال

مثال 3: رسم الصورة الناتجة عن انعكاسين حول مستقيمين

الجزء (أ):

* الخطوة 1: ارسم صورة الشكل A الناتجة عن انعكاس حول المستقيم m (ليكن الناتج A').

* الخطوة 2: ارسم صورة الشكل A' الناتجة عن انعكاس حول المستقيم p (ليكن الناتج A'').

* التحويل المكافئ: بناءً على نظرية 7.2، تركيب الانعكاسين حول المستقيمين المتوازيين m و p يكافئ إزاحة أفقية إلى اليمين مقدارها 3.5 سم (حيث 3.5 = 1.75 × 2).

الجزء (ب):

* الخطوة 1: ارسم صورة الشكل A الناتجة عن انعكاس حول المستقيم m (ليكن الناتج A').

* الخطوة 2: ارسم صورة الشكل A' الناتجة عن انعكاس حول المستقيم p (ليكن الناتج A'').

* التحويل المكافئ: بناءً على نظرية 7.3، تركيب الانعكاسين حول المستقيمين المتقاطعين m و p يكافئ دوراناً بزاوية مقدارها 120° (أي 2 × 60°) عكس اتجاه حركة عقارب الساعة، ومركزه هو نقطة تقاطع المستقيمين m و p.

تركيب الانعكاسين

تركيب الانعكاسين: إن تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين يكافئ إزاحة.

أضف إلى مطويتك

تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين يمكن وصف تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين بأنه إزاحة، ويكون: • اتجاهها عموديا على كل من المستقيمين. • مقدارها يساوي ضعف المسافة بين المستقيمين المتوازيين.

ستبرهن النظرية 7.2 في السؤال 26

إن تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين يكافئ دوراناً.

أضف إلى مطويتك

تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين يمكن وصف تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين بأنه دوران، ويكون: • مركزه هو نقطة تقاطع المستقيمين. • قياس زاويته يساوي ضعف قياس الزاوية التي يشكلها تقاطع هذين المستقيمين.

ستبرهن النظرية 7.3 في السؤال 27

ترتيب التركيب: احرص على تركيب التحويلين الهندسيين بالترتيب المحدد في المسألة.

رسم الصورة الناتجة عن انعكاسين حول مستقيمين ارسم صورة الشكل A الناتجة عن انعكاس حول المستقيم m ، ثم حول المستقيم p ، ثم صف تحويلاً هندسياً واحداً ينقل A إلى A'' في كل مما يأتي:

فيليكس كلاين (1849-1925) هو عالم رياضيات ألماني عرف الهندسة بأنها دراسة خصائص الفضاء التي تبقى دون تغيير تحت تأثير مجموعة من التحويلات الهندسية.

الدرس 4-7 تركيب التحويلات الهندسية 143

تركيب الانعكاسين تركيب الانعكاسين: إن تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين يكافئ إزاحة. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك --- SECTION: نظرية 7.2 --- تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين يمكن وصف تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين بأنه إزاحة، ويكون: • اتجاهها عموديا على كل من المستقيمين. • مقدارها يساوي ضعف المسافة بين المستقيمين المتوازيين. ستبرهن النظرية 7.2 في السؤال 26 إن تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين يكافئ دوراناً. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك --- SECTION: نظرية 7.3 --- تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين يمكن وصف تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين بأنه دوران، ويكون: • مركزه هو نقطة تقاطع المستقيمين. • قياس زاويته يساوي ضعف قياس الزاوية التي يشكلها تقاطع هذين المستقيمين. ستبرهن النظرية 7.3 في السؤال 27 --- SECTION: تنبيه! --- ترتيب التركيب: احرص على تركيب التحويلين الهندسيين بالترتيب المحدد في المسألة. --- SECTION: مثال 3 --- رسم الصورة الناتجة عن انعكاسين حول مستقيمين ارسم صورة الشكل A الناتجة عن انعكاس حول المستقيم m ، ثم حول المستقيم p ، ثم صف تحويلاً هندسياً واحداً ينقل A إلى A'' في كل مما يأتي: a. الخطوة 1: ارسم صورة الشكل A الناتجة عن انعكاس حول المستقيم m . الخطوة 2: ارسم صورة الشكل A' الناتجة عن انعكاس حول المستقيم p . بناءً على النظرية 7.2، فإن تركيب هذين الانعكاسين حول المستقيمين المتوازيين m , p يكافئ إزاحة أفقية إلى اليمين مقدارها 3.5 = 1.75 × 2 cm b. الخطوة 1: ارسم صورة الشكل A الناتجة عن انعكاس حول المستقيم m . الخطوة 2: ارسم صورة الشكل A' الناتجة عن انعكاس حول المستقيم p . بناءً على النظرية 7.3، فإن تركيب هذين الانعكاسين حول المستقيمين المتقاطعين m , p يكافئ دوراناً بزاوية تساوي 120° أي 2×60° عكس اتجاه حركة عقارب الساعة حول نقطة تقاطع المستقيمين m , p . --- SECTION: تاريخ الرياضيات --- فيليكس كلاين (1849-1925) هو عالم رياضيات ألماني عرف الهندسة بأنها دراسة خصائص الفضاء التي تبقى دون تغيير تحت تأثير مجموعة من التحويلات الهندسية. الدرس 4-7 تركيب التحويلات الهندسية 143 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين Description: A geometric diagram illustrating the composition of two reflections over parallel lines k and l. Triangle P is reflected over line k to form P'. P' is then reflected over line l to form P''. Lines k and l are parallel. The reflection is perpendicular to both lines k and l. The overall transformation from P to P'' is a translation. Data: The diagram shows the initial triangle P, an intermediate reflection P' across line k, and the final reflection P'' across line l. The distance between lines k and l is labeled 'd'. The total displacement from P to P'' is labeled '2d', indicating a translation. Key Values: Distance between parallel lines k and l: d, Total translation distance from P to P'': 2d Context: Illustrates Theorem 7.2, showing that two reflections over parallel lines result in a translation with a magnitude of twice the distance between the lines, perpendicular to the lines. **DIAGRAM**: تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين Description: A geometric diagram illustrating the composition of two reflections over intersecting lines l and k. Point A is reflected over line l to form A'. A' is then reflected over line k to form A''. The intersection point of l and k is labeled P. The overall transformation from A to A'' is a rotation. Data: The diagram shows the initial point A, an intermediate reflection A' across line l, and the final reflection A'' across line k. The angle between lines l and k is labeled 'x°'. The total rotation angle from A to A'' is labeled '2x°'. The center of rotation is P, the intersection of l and k. Key Values: Angle between intersecting lines l and k: x°, Total rotation angle from A to A'': 2x°, Center of rotation: P (intersection of l and k) Context: Illustrates Theorem 7.3, showing that two reflections over intersecting lines result in a rotation with an angle of twice the angle between the lines, centered at their intersection. **DIAGRAM**: رسم الصورة الناتجة عن انعكاسين حول مستقيمين (a) Description: A multi-step geometric diagram illustrating the composition of two reflections over parallel lines m and p for Example 3, part (a). The initial shape is a quadrilateral labeled A. Line m is a vertical line to the right of A. Line p is a vertical line to the right of m, parallel to m. The distance between m and p is 1.75 cm. Data: Step 1 shows quadrilateral A reflected across line m to form A'. Step 2 shows A' reflected across line p to form A''. The final result shows A'' as a translation of A to the right. The distance between m and p is explicitly labeled as 1.75 cm. The arrows indicate reflection across the lines. Key Values: Initial shape: Quadrilateral A, First reflection line: m (vertical), Second reflection line: p (vertical, parallel to m), Distance between m and p: 1.75 cm, Resulting transformation: Horizontal translation to the right, Magnitude of translation: 2 × 1.75 cm = 3.5 cm Context: Demonstrates the application of Theorem 7.2, showing that two reflections over parallel lines result in a translation. The problem requires drawing the reflections and describing the single equivalent transformation. **DIAGRAM**: رسم الصورة الناتجة عن انعكاسين حول مستقيمين (b) Description: A multi-step geometric diagram illustrating the composition of two reflections over intersecting lines m and p for Example 3, part (b). The initial shape is a triangle labeled A. Line m is an oblique line. Line p is another oblique line intersecting m. The angle between m and p is 60°. Data: Step 1 shows triangle A reflected across line m to form A'. Step 2 shows A' reflected across line p to form A''. The final result shows A'' as a rotation of A. The angle between lines m and p is explicitly labeled as 60°. The arrows indicate reflection across the lines and the rotation direction. Key Values: Initial shape: Triangle A, First reflection line: m (oblique), Second reflection line: p (oblique, intersecting m), Angle between m and p: 60°, Resulting transformation: Rotation, Magnitude of rotation: 2 × 60° = 120°, Direction of rotation: Counter-clockwise (عكس اتجاه حركة عقارب الساعة), Center of rotation: Intersection point of m and p Context: Demonstrates the application of Theorem 7.3, showing that two reflections over intersecting lines result in a rotation. The problem requires drawing the reflections and describing the single equivalent transformation. **IMAGE**: Untitled Description: A black and white portrait photograph of Felix Klein, a German mathematician. He has a beard and mustache and is wearing a suit with a bow tie. Context: Provides historical context for the study of geometry and transformations, linking to the work of Felix Klein.