تحقق من فهمك - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تركيب التحويلات الهندسية (تطبيقات وأنماط)

المفاهيم الأساسية

التحويل الهندسي المركب: تركيب تحويلين هندسيين أو أكثر.

الأنماط في الحياة الواقعية: يتم إنشاء كثير من الأنماط باستعمال تركيب التحويلات الهندسية.

خريطة المفاهيم

```markmap

تركيب التحويلات الهندسية

التحويل الهندسي المركب

تعريف

مثال: آثار الأقدام على الرمال

تركيب إزاحة انعكاس

خطوات التنفيذ

#### 1. إجراء الإزاحة

#### 2. إجراء الانعكاس حول مستقيم موازٍ لاتجاه الإزاحة

تمثيل بياني

تركيب انعكاسين

حول مستقيمين متوازيين

#### نظرية 7.2

##### يكافئ إزاحة

##### اتجاهها عمودي على المستقيمين

##### مقدارها = 2 × المسافة بين المستقيمين

حول مستقيمين متقاطعين

#### نظرية 7.3

##### يكافئ دوراناً

##### مركزه نقطة التقاطع

##### قياس زاويته = 2 × قياس زاوية تقاطع المستقيمين

نظرية تركيب تحويلات التطابق

نص النظرية

#### تركيب تحويلي تطابق هو تحويل تطابق

نتيجة النظرية

#### الصورة الناتجة عن تركيب تحويلات التطابق مطابقة للشكل الأصلي

تمثيل التركيب بيانياً

خطوات الحل

#### 1. تطبيق التحويل الأول وإيجاد الصورة الأولى

#### 2. تطبيق التحويل الثاني على الصورة الأولى

#### 3. تمثيل الشكل الأصلي والصور الناتجة

تطبيقات عملية

تكوين الأنماط

#### انعكاس ثم إزاحة

#### إزاحة ثم انعكاس

الربط مع الحياة

#### تصميم السجاد

#### أنماط البلاط

تنبيه

ترتيب التركيب

#### احرص على تركيب التحويلين الهندسيين بالترتيب المحدد في المسألة

```

نقاط مهمة

• تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين يكافئ إزاحة مقدارها ضعف المسافة بين المستقيمين.
• تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين يكافئ دوراناً مركزه نقطة التقاطع وقياس زاويته ضعف زاوية التقاطع.
• يمكن تكوين أنماط معقدة باستخدام تركيب تحويلات بسيطة مثل الإزاحة والانعكاس.
• تستعمل تحويلات هندسية مركبة في تصميم أشياء عملية مثل السجاد والبلاط.

---

تحقق من فهمك

السؤال 3:

* (A) - الشكل الناتج عن انعكاس المثلث B حول المستقيم n ثم حول المستقيم q (المتوازيين والمسافة بينهما 3/8 إنش) سيكون إزاحة للمثلث الأصلي. التحويل الهندسي الواحد الذي ينقل B إلى صورته النهائية هو إزاحة.

* (B) - الشكل الناتج عن انعكاس الرباعي B حول المستقيم n ثم حول المستقيم q (المتقاطعين بزاوية 25°) سيكون دوراناً للشكل الأصلي. التحويل الهندسي الواحد الذي ينقل B إلى صورته النهائية هو دوران مركزه نقطة تقاطع n و q، وقياس زاويته 50° (ضعف زاوية التقاطع).

السؤال 4 (سجاد):

* (A) - النمط المكون من مستطيلات زرقاء وبيج مرتبة في صفوف متداخلة (مثل القرميد) يمكن تكوينه باستخدام إزاحة أفقية أو رأسية متبوعة أو مسبوقة بانعكاس.

* (B) - النمط المربعات المتقاطعة (الشطرنجي) الأحمر والأبيض يمكن تكوينه باستخدام إزاحتين متعامدتين (أفقية ورأسية) متكررة.

---

حل مثال

مثال 4 (أنماط):

* (a) - يمكن تكوين النمط (الأسهم المتعاكسة) بتركيب انعكاس حول المستقيم m (الذي يمر بمنتصف وحدة النمط) ثم إزاحة إلى اليمين موازية للمستقيم m.

* (b) - يمكن تكوين النمط (الأوراق) بتركيب إزاحة إلى اليمين موازية للمستقيم n تنقل A إلى B، متبوعة بانعكاس حول المستقيم n.

تحقق من فهمك

ارسم صورة الشكل B الناتجة عن انعكاس حول المستقيم n ثم حول المستقيم q ، ثم صف تحويلاً هندسياً واحداً ينقل B إلى "B.

تستعمل تحويلات هندسية مركبة عند تصميم السجاد. لاحظ تكرار الجزء نفسه في إطار السجادة أعلاه.

يتم إنشاء كثير من الأنماط في الحياة الواقعية باستعمال تركيب التحويلات الهندسية.

مثال 4 من واقع الحياة

وصف التحويلات الهندسية

أنماط: صف تحويلاً هندسياً مركباً يمكن استعماله لتكوين النمط في كل مما يأتي:

تحقق من فهمك

سجاد: صف تحويلاً هندسياً مركباً يمكن استعماله لتكوين النمط في كل مما يأتي:

Ministry of Education 2025 - 1447

144

الفصل 7 التحويلات الهندسية والتماثل

--- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3 --- ارسم صورة الشكل B الناتجة عن انعكاس حول المستقيم n ثم حول المستقيم q ، ثم صف تحويلاً هندسياً واحداً ينقل B إلى "B. A. Diagram showing a triangle B, two parallel lines n and q, with the distance between them labeled as 3/8 in. The lines have arrows indicating they extend infinitely. The transformation involves reflection over n then over q. B. Diagram showing a quadrilateral B, two intersecting lines n and q. The angle between lines n and q is labeled as 25°. The lines have arrows indicating they extend infinitely. The transformation involves reflection over n then over q. --- SECTION: الربط مع الحياة --- تستعمل تحويلات هندسية مركبة عند تصميم السجاد. لاحظ تكرار الجزء نفسه في إطار السجادة أعلاه. يتم إنشاء كثير من الأنماط في الحياة الواقعية باستعمال تركيب التحويلات الهندسية. --- SECTION: مثال 4 من واقع الحياة --- مثال 4 من واقع الحياة --- SECTION: وصف التحويلات الهندسية --- وصف التحويلات الهندسية --- SECTION: أنماط --- أنماط: صف تحويلاً هندسياً مركباً يمكن استعماله لتكوين النمط في كل مما يأتي: a. يمكن تكوين هذا النمط بتركيب انعكاس وإزاحة الشكلين المتقابلين (وحدة النمط)، بتركيب انعكاس حول المستقيم m ، ثم إزاحة إلى اليمين موازية للمستقيم m كما في الشكل أدناه. لاحظ أن المستقيم m يمر في منتصف الشكل الأصلي (وحدة النمط). b. تم تكوين هذا النمط بتركيب إزاحة وانعكاس؛ أي أنه يمكن تكوينه بتركيب إزاحة إلى اليمين موازية للمستقيم n تنقل A إلى B متبوعة بانعكاس حول المستقيم n كما في الشكل الآتي. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- سجاد: صف تحويلاً هندسياً مركباً يمكن استعماله لتكوين النمط في كل مما يأتي: A. Diagram showing a tiled pattern with alternating blue and tan rectangular shapes, arranged in a staggered grid. B. Diagram showing a checkered pattern with alternating red and white squares. Ministry of Education 2025 - 1447 144 الفصل 7 التحويلات الهندسية والتماثل --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: A rectangular rug with intricate, symmetrical patterns in shades of red, blue, and beige. The pattern features a central medallion and repeating floral and geometric motifs, demonstrating complex geometric transformations. Context: Illustrates real-life application of composite geometric transformations in design, specifically carpet patterns. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing a small triangle labeled 'B' positioned above two parallel horizontal lines, 'n' and 'q'. Line 'n' is above line 'q'. The perpendicular distance between lines 'n' and 'q' is indicated as 3/8 inches. Both lines extend infinitely with arrows. The diagram illustrates a scenario for composite reflections over parallel lines. Key Values: distance between n and q = 3/8 in Context: Used to demonstrate the effect of two successive reflections over parallel lines, which is equivalent to a translation. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing a small quadrilateral labeled 'B' positioned near two intersecting lines, 'n' and 'q'. Line 'n' is drawn from bottom-left to top-right, and line 'q' is drawn from bottom-right to top-left, intersecting 'n'. The acute angle between lines 'n' and 'q' is labeled as 25°. Both lines extend infinitely with arrows. The diagram illustrates a scenario for composite reflections over intersecting lines. Key Values: angle between n and q = 25° Context: Used to demonstrate the effect of two successive reflections over intersecting lines, which is equivalent to a rotation. **DIAGRAM**: Untitled Description: A repeating pattern composed of yellow and black arrow-like shapes. Each unit consists of a yellow arrow pointing right and a black arrow pointing left, joined at their bases. These units are arranged horizontally, with each subsequent unit being a transformed version of the previous one, creating a continuous band. Context: Illustrates a pattern formed by a composite transformation of reflection and translation. **DIAGRAM**: Untitled Description: A sequence of three diagrams illustrating the transformation of a yellow and black arrow-like shape. The first diagram shows the original shape. The second diagram shows the shape reflected over a horizontal line 'm' passing through its center. The third diagram shows the reflected shape translated to the right, with a curved arrow indicating the translation. This demonstrates how a reflection followed by a translation creates the repeating pattern. Context: Provides a visual step-by-step explanation of how a reflection and translation combine to form a repeating pattern. **DIAGRAM**: Untitled Description: A repeating pattern composed of red, stylized leaf-like shapes. Each leaf has multiple points radiating outwards. The leaves are arranged horizontally, with each subsequent leaf being a transformed version of the previous one, creating a continuous band. Context: Illustrates a pattern formed by a composite transformation of translation and reflection. **DIAGRAM**: Untitled Description: A sequence of three diagrams illustrating the transformation of a leaf-like shape. The first diagram shows a blue leaf labeled 'A' on a horizontal line 'n'. The second diagram shows leaf 'A' translated to the right to become a green leaf labeled 'B' along line 'n', with an arrow indicating the translation. The third diagram shows leaf 'B' reflected over line 'n', with a curved arrow indicating the reflection. This demonstrates how a translation followed by a reflection creates the repeating pattern. Context: Provides a visual step-by-step explanation of how a translation and reflection combine to form a repeating pattern. **DIAGRAM**: Untitled Description: A tiled pattern consisting of alternating blue and tan rectangular shapes. The rectangles are arranged in a staggered grid, where each row is shifted horizontally relative to the row above it, creating a brick-like or basketweave effect. Context: An exercise to identify the composite geometric transformation that creates this tiled pattern. **DIAGRAM**: Untitled Description: A checkered pattern composed of alternating red and white squares arranged in a grid. The pattern is a simple two-color checkerboard. Context: An exercise to identify the composite geometric transformation that creates this checkered pattern.