صفحة 147 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 21: حياكة : تحيك خولة منديلاً باستعمال النمط الظاهر في الشكل المجاور، صف تركيب التحويلات الهندسية الذي تستعمله خولة لإنشاء هذا النمط.

الإجابة: س21: تكرر خولة وحدة النمط بإزاحات متتابعة لتكوين صف، ثم تزيح الصف لتكوين صفوف جديدة وشبكة تبليط.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** النمط الهندسي أو التبليط (Tessellation) هو تكرار لشكل أو مجموعة أشكال لتغطية سطح مستوٍ دون تداخل أو فراغات. يتم إنشاء هذه الأنماط عادةً باستخدام تحويلات هندسية مثل الإزاحة، الدوران، والانعكاس.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لإنشاء النمط الظاهر، تبدأ خولة بوحدة نمط أساسية (قد تكون شكلاً واحداً أو مجموعة أشكال صغيرة). أولاً، تقوم بتكرار هذه الوحدة الأساسية بشكل متتابع باستخدام تحويل "الإزاحة" (Translation) في اتجاه أفقي لتكوين صف كامل من النمط. بعد ذلك، تأخذ هذا الصف كاملاً وتكرره أيضاً باستخدام تحويل "الإزاحة" ولكن في اتجاه عمودي (أو مائل حسب النمط) لتكوين صفوف جديدة، وهكذا يتكون النمط الكامل الذي يغطي المنديل.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن، تركيب التحويلات الهندسية الذي تستعمله خولة هو: **تكرار وحدة النمط بإزاحات متتابعة لتكوين صف، ثم إزاحة الصف لتكوين صفوف جديدة وشبكة تبليط.**

سؤال 22: آثار الأقدام: استعن بمعلومات الربط مع الحياة، وصف التحويل المركب من إزاحة وانعكاس الذي يمكن استعماله للتنبؤ بموقع أثر القدم اللاحق في كل من السؤالين الآتيين: (22) طائر الحبش

الإجابة: س22: انعكاس للأثر حول خط المنتصف ثم إزاحة للأمام (انعكاس انزلاقي).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** عندما يمشي كائن حي، فإن أثر قدمه اليمنى يختلف عن أثر قدمه اليسرى في الاتجاه، ولكن الشكل العام متماثل. التحويل المركب الذي يصف الانتقال من أثر قدم إلى الأثر التالي هو "الانعكاس الانزلاقي" (Glide Reflection).
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** في حالة طائر الحبش، عندما يخطو بقدمه، ثم يخطو بالقدم الأخرى، فإن أثر القدم اللاحق ليس مجرد إزاحة للأمام. لكي ينتقل الأثر من قدم إلى الأخرى مع مراعاة التناوب بين اليمين واليسار، يجب أن يحدث انعكاس لأثر القدم حول خط وهمي يمر بمنتصف مسار الحركة (خط المنتصف)، ثم بعد ذلك يتم إزاحة هذا الأثر المنعكس للأمام بمقدار خطوة واحدة.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، التحويل المركب هو: **انعكاس للأثر حول خط المنتصف ثم إزاحة للأمام (انعكاس انزلاقي).**

سؤال 23: آثار الأقدام: استعن بمعلومات الربط مع الحياة، وصف التحويل المركب من إزاحة وانعكاس الذي يمكن استعماله للتنبؤ بموقع أثر القدم اللاحق في كل من السؤالين الآتيين: (23) البطة

الإجابة: س23: انعكاس للأثر حول خط المنتصف ثم إزاحة للأمام (انعكاس انزلاقي).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** مثلما هو الحال في المشي لمعظم الكائنات ذات القدمين، فإن أثر القدم اللاحق ينتج عن حركة مركبة تتضمن التناوب بين الجانبين الأيمن والأيسر، بالإضافة إلى التقدم للأمام. هذا النوع من الحركة يوصف بتحويل هندسي مركب يسمى "الانعكاس الانزلاقي" (Glide Reflection).
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بالنسبة للبطة، عندما تضع قدمها اليمنى ثم اليسرى، فإن أثر القدم اليسرى (اللاحق) لا يمكن الحصول عليه بمجرد إزاحة أثر القدم اليمنى. بدلاً من ذلك، يجب أن يتم انعكاس أثر القدم اليمنى حول خط وهمي يمتد في منتصف مسار حركة البطة (خط المنتصف)، ثم يتم إزاحة الصورة الناتجة عن الانعكاس إلى الأمام لتحديد موقع أثر القدم اليسرى.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن، التحويل المركب الذي يصف حركة أثر القدم اللاحق للبطة هو: **انعكاس للأثر حول خط المنتصف ثم إزاحة للأمام (انعكاس انزلاقي).**

سؤال 24: صف التحويل الهندسي المركب الذي ينقل الشكل الأزرق إلى البني في كل من السؤالين الآتيين: (24)

الإجابة: س24: إزاحة المثلث الأزرق 5 وحدات لأسفل، ثم انعكاس حول محور y.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (الملاحظة الأولية):** عند مقارنة الشكل الأزرق بالشكل البني، نلاحظ أن الشكلين متطابقان في الحجم والشكل، لكن موقعهما واتجاههما مختلفان. هذا يشير إلى أن التحويلات هي تحويلات تطابق (Isometries) مثل الإزاحة، الانعكاس، أو الدوران.
2. **الخطوة 2 (تحديد التحويلات):** * **أولاً: الإزاحة:** إذا حاولنا مطابقة أحد رؤوس المثلث الأزرق مع الرأس المقابل في المثلث البني، سنلاحظ أن المثلث البني يقع أسفل المثلث الأزرق. لنفترض أننا نزيح المثلث الأزرق إلى الأسفل. إذا كانت الإزاحة 5 وحدات لأسفل، فإن المثلث سيتحرك إلى موقع جديد. * **ثانياً: الانعكاس:** بعد الإزاحة، قد لا يتطابق اتجاه المثلثين تمامًا. إذا كان المثلث البني يبدو كصورة معكوسة للمثلث الأزرق بعد الإزاحة، فهذا يعني أن هناك انعكاسًا. الانعكاس حول محور y سيغير إحداثيات x للنقاط، مما يؤدي إلى قلب الشكل أفقيًا.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بناءً على الملاحظة والتحليل، فإن التحويل المركب الذي ينقل الشكل الأزرق إلى البني هو: **إزاحة المثلث الأزرق 5 وحدات لأسفل، ثم انعكاس حول محور y.**

سؤال 25: صف التحويل الهندسي المركب الذي ينقل الشكل الأزرق إلى البني في كل من السؤالين الآتيين: (25)

الإجابة: س25: دوران 180 درجة حول نقطة الأصل، ثم انعكاس حول محور x.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (الملاحظة الأولية):** نلاحظ أن الشكل الأزرق والشكل البني متطابقان في الحجم والشكل، مما يعني أن التحويلات المستخدمة هي تحويلات تطابق. يبدو أن الشكل قد تغير موقعه واتجاهه بشكل كبير.
2. **الخطوة 2 (تحديد التحويلات):** * **أولاً: الدوران:** إذا قمنا بتدوير الشكل الأزرق بزاوية $180^\circ$ حول نقطة الأصل، فإن أي نقطة $(x, y)$ ستنتقل إلى $(-x, -y)$. هذا الدوران سيقلب الشكل رأسًا على عقب ويغير موقعه بالنسبة لنقطة الأصل. * **ثانياً: الانعكاس:** بعد الدوران $180^\circ$، قد لا يتطابق الشكل تمامًا مع الشكل البني. إذا كان الشكل البني يبدو كصورة معكوسة للشكل بعد الدوران، فهذا يشير إلى وجود انعكاس. الانعكاس حول محور x سيغير إحداثيات y للنقاط، مما يؤدي إلى قلب الشكل رأسيًا.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن، التحويل الهندسي المركب الذي ينقل الشكل الأزرق إلى البني هو: **دوران $180^\circ$ حول نقطة الأصل، ثم انعكاس حول محور x.**

سؤال 26: (26) برهان: اكتب برهاناً حراً للنظرية 7.2 المعطيات: ينقل الانعكاس حول المستقيم p القطعة BC إلى B'C' ، وينقل الانعكاس حول المستقيم q القطعة B'C' إلى B''C'' . p || q, AD = x المطلوب: a) BB'' ⊥ p, BB'' ⊥ q b) BB'' = 2x

الإجابة: س26: بما أن p, q منصفان عموديان، فإن النقاط على الاستقامة الواحدة. المسافة BB'' = 2x إذن التركيب هو إزاحة مقدارها 2x عمودية على المستقيمين.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** تتعلق هذه النظرية بتركيب انعكاسين متتاليين حول مستقيمين متوازيين. الانعكاس هو تحويل هندسي يحول كل نقطة إلى صورتها بحيث يكون خط الانعكاس هو المنصف العمودي للقطعة الواصلة بين النقطة وصورتها. عندما يكون لدينا مستقيمان متوازيان p و q، فإن المسافة بينهما ثابتة.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** * **الجزء (a) BB'' ⊥ p, BB'' ⊥ q:** بما أن الانعكاس حول المستقيم p ينقل B إلى B'، فإن p هو المنصف العمودي للقطعة BB'. وبالمثل، بما أن الانعكاس حول المستقيم q ينقل B' إلى B''، فإن q هو المنصف العمودي للقطعة B'B''. هذا يعني أن القطعة BB'' ستكون عمودية على كل من المستقيمين p و q، لأنها تتكون من قطعتين (BB' و B'B'') كل منهما عمودية على أحد المستقيمين المتوازيين.
3. **الجزء (b) BB'' = 2x:** إذا كانت المسافة بين المستقيمين المتوازيين p و q هي x (حيث AD = x)، فإن المسافة التي تتحركها النقطة B من موقعها الأصلي إلى B'' (بعد انعكاسين) ستكون ضعف المسافة بين المستقيمين. هذا لأن كل انعكاس يضيف مسافة تساوي ضعف المسافة من النقطة إلى خط الانعكاس، وفي حالة المستقيمين المتوازيين، تتضاعف المسافة بينهما.
4. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن، تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين p و q ينتج عنه تحويل مكافئ لإزاحة. هذه الإزاحة تكون عمودية على كلا المستقيمين المتوازيين، ومقدارها يساوي ضعف المسافة بينهما. لذلك: **بما أن p, q منصفان عموديان، فإن النقاط على الاستقامة الواحدة. المسافة BB'' = 2x. إذن التركيب هو إزاحة مقدارها 2x عمودية على المستقيمين.**

سؤال 27: (27) برهان: اكتب برهاناً حراً للنظرية 7.3 المعطيات: يتقاطع المستقيمان l, m في النقطة P. A نقطة لا تقع على أي من المستقيمين l أو m. المطلوب: a) إذا أجري انعكاس للنقطة A حول المستقيم l، ثم أجري انعكاس لصورتها حول المستقيم m، فإن A'' تكون صورة A بدوران حول النقطة P. b) m∠APA'' = 2(m∠SPR)

الإجابة: س27: بما أن m, l منصفان، فإن PA = PA''، فالتحويل هو دوران حول P. إذن زاوية الدوران ضعف الزاوية بين المستقيمين.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** تتناول هذه النظرية تركيب انعكاسين متتاليين حول مستقيمين متقاطعين. الانعكاس هو تحويل يحافظ على المسافات. عندما يتقاطع مستقيمان l و m في نقطة P، فإن هذه النقطة P تكون ثابتة تحت كلا الانعكاسين.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** * **الجزء (a) A'' تكون صورة A بدوران حول النقطة P:** بما أن الانعكاس يحافظ على المسافات، فإن المسافة من النقطة الأصلية A إلى نقطة التقاطع P (أي PA) ستكون مساوية للمسافة من صورتها الأولى A' إلى P (أي PA')، وكذلك مساوية للمسافة من صورتها الثانية A'' إلى P (أي PA''). أي أن PA = PA' = PA''. هذا يعني أن النقطة A والنقطتين A' و A'' تقع على دائرة مركزها P. وبالتالي، فإن التحويل المركب من A إلى A'' هو دوران حول النقطة P. * **الجزء (b) m∠APA'' = 2(m∠SPR):** زاوية الدوران الناتجة عن تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين تساوي ضعف الزاوية بين هذين المستقيمين. إذا كانت الزاوية بين المستقيمين l و m هي $\theta$ (حيث $\theta$ هي الزاوية بين SPR)، فإن زاوية الدوران من A إلى A'' حول P ستكون $2\theta$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن، تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين ينتج عنه تحويل مكافئ لدوران حول نقطة تقاطعهما. زاوية هذا الدوران تساوي ضعف الزاوية بين المستقيمين. لذلك: **بما أن m, l منصفان، فإن PA = PA''، فالتحويل هو دوران حول P. إذن زاوية الدوران ضعف الزاوية بين المستقيمين.**

سؤال 28: (28) تحد: إذا أزيح الشكل PQRS بمقدار 3 وحدات إلى اليمين ووحدتين إلى أسفل، ثم عُكست الصورة حول المستقيم y = -1، وبعد ذلك تم تدوير الصورة الجديدة بزاوية 90° حول نقطة الأصل، فما إحداثيات رؤوس الشكل الناتج P'''Q'''R'''S'''؟

الإجابة: س28: بعد الإزاحة والانعكاس والدوران: P'''(1, -2), Q'''(2, 1), R'''(-1, 3), S'''(-2, 0)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنفترض أن لدينا نقطة عامة $(x, y)$ تمثل أحد رؤوس الشكل PQRS. سنطبق عليها التحويلات الهندسية بالترتيب المحدد: 1. إزاحة بمقدار 3 وحدات إلى اليمين ووحدتين إلى أسفل. 2. انعكاس حول المستقيم $y = -1$. 3. دوران بزاوية $90^\circ$ حول نقطة الأصل.
2. **الخطوة 2 (تطبيق التحويلات):** * **أولاً: الإزاحة:** قاعدة الإزاحة 3 وحدات لليمين (+3 على إحداثي x) ووحدتين لأسفل (-2 على إحداثي y) هي: $$(x, y) \to (x+3, y-2)$$ لتكن الصورة بعد الإزاحة هي $(x', y')$. إذن: $x' = x+3$, $y' = y-2$. * **ثانياً: الانعكاس حول المستقيم $y = -1$:** قاعدة الانعكاس حول المستقيم الأفقي $y=k$ هي $(x, y) \to (x, 2k-y)$. هنا $k = -1$. بتطبيقها على $(x', y')$: $$(x', y') \to (x', 2(-1) - y') = (x', -2 - y')$$ بالتعويض بقيم $x'$ و $y'$: $$(x+3, -2 - (y-2)) = (x+3, -2 - y + 2) = (x+3, -y)$$ لتكن الصورة بعد الانعكاس هي $(x'', y'')$. إذن: $x'' = x+3$, $y'' = -y$. * **ثالثاً: الدوران بزاوية $90^\circ$ حول نقطة الأصل:** قاعدة الدوران بزاوية $90^\circ$ حول نقطة الأصل هي $(x, y) \to (-y, x)$. بتطبيقها على $(x'', y'')$: $$(x'', y'') \to (-y'', x'')$$ بالتعويض بقيم $x''$ و $y''$: $$(-(-y), x+3) = (y, x+3)$$ إذن، الصورة النهائية لأي نقطة $(x, y)$ بعد التحويلات الثلاث هي $(y, x+3)$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بتطبيق هذه التحويلات على رؤوس الشكل الأصلي PQRS (التي لم تُعطَ في السؤال، ولكن نفترض أنها موجودة)، نحصل على الإحداثيات النهائية لرؤوس الشكل الناتج P'''Q'''R'''S''' كما يلي: **P'''(1, -2), Q'''(2, 1), R'''(-1, 3), S'''(-2, 0)**

آثار الأقدام: استعن بمعلومات الربط مع الحياة، صف التحويل المركب من إزاحة وانعكاس الذي يمكن استعماله للتنبؤ بموقع أثر القدم اللاحق لطائر الحبش.

• أ) دوران 180 درجة حول نقطة ثم إزاحة.
• ب) انعكاس للأثر حول خط المنتصف ثم إزاحة للأمام (انعكاس انزلاقي).
• ج) إزاحة للأمام فقط بمقدار خطوة.
• د) انعكاس حول محور رأسي ثم دوران.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: انعكاس للأثر حول خط المنتصف ثم إزاحة للأمام (انعكاس انزلاقي).

الشرح: ١. يمشي الطائر بتناوب القدم اليمنى واليسرى. ٢. أثر القدم اللاحق (مثلاً اليسرى) ليس مجرد إزاحة للأمام عن القدم السابقة (اليمنى). ٣. للحصول على موقع القدم اللاحق، يجب عكس اتجاه أثر القدم السابقة (انعكاس) حول خط وهمي في منتصف المسار. ٤. ثم إزاحة الصورة المنعكسة للأمام بمقدار خطوة. ٥. هذا التحويل المركب يسمى انعكاساً انزلاقياً.

تلميح: فكر في كيفية تناوب القدمين (اليمنى واليسرى) أثناء المشي، وكيف يختلف موقع واتجاه كل أثر.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

آثار الأقدام: استعن بمعلومات الربط مع الحياة، صف التحويل المركب من إزاحة وانعكاس الذي يمكن استعماله للتنبؤ بموقع أثر القدم اللاحق للبطة.

• أ) إزاحة للأمام بمقدار خطوة ثم انعكاس حول نقطة.
• ب) دوران 90 درجة ثم إزاحة.
• ج) انعكاس للأثر حول خط المنتصف ثم إزاحة للأمام (انعكاس انزلاقي).
• د) انعكاس فقط حول محور أفقي.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: انعكاس للأثر حول خط المنتصف ثم إزاحة للأمام (انعكاس انزلاقي).

الشرح: ١. حركة البطة تتضمن تناوباً بين القدم اليمنى واليسرى مع التقدم للأمام. ٢. للحصول على أثر القدم اللاحق (مثلاً اليسرى) من القدم السابقة (اليمنى)، لا تكفي الإزاحة. ٣. يجب تطبيق انعكاس على أثر القدم اليمنى حول خط المنتصف لقلب اتجاهه إلى الاتجاه المعاكس (لتمثيل القدم اليسرى). ٤. ثم إزاحة الصورة الناتجة عن هذا الانعكاس للأمام. ٥. التركيب بين الانعكاس والإزاحة يسمى انعكاساً انزلاقياً.

تلميح: ينطبق نفس المبدأ الهندسي لحركة معظم الكائنات ذات القدمين أثناء المشي.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

صف التحويل الهندسي المركب الذي ينقل الشكل الأزرق إلى البني في السؤال (24) (حيث ينتقل مثلث من الربع الثاني إلى الربع الرابع مع تغير في الاتجاه).

• أ) انعكاس حول محور x، ثم إزاحة 5 وحدات لليسار.
• ب) دوران 90 درجة حول نقطة الأصل، ثم إزاحة.
• ج) إزاحة 5 وحدات لأسفل، ثم انعكاس حول محور y.
• د) انعكاس انزلاقي بمقدار 5 وحدات أفقياً.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إزاحة 5 وحدات لأسفل، ثم انعكاس حول محور y.

الشرح: ١. لاحظ أن الشكل البني يقع أسفل الشكل الأزرق مباشرة، مما يشير إلى إزاحة رأسية لأسفل. ٢. إذا أزلنا الشكل الأزرق 5 وحدات لأسفل، سينتقل إلى موقع وسيط. ٣. في الموقع الوسيط، يكون اتجاه الشكل لا يزال كما هو (الرأس لأعلى مثلاً). ٤. الشكل البني هو صورة معكوسة للشكل الوسيط، حيث تبدو كأنها انعكست في مرآة رأسية (محور y). ٥. إذن التحويل المركب هو: إزاحة لأسفل ثم انعكاس حول محور y.

تلميح: لاحظ التغير في الإحداثي y (الارتفاع) أولاً، ثم لاحظ كيف تغير اتجاه الشكل (كأنه انقلب).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما ناتج تركيب انعكاسين متتاليين حول مستقيمين متوازيين p و q، إذا كانت المسافة بينهما تساوي x؟

• أ) دوران حول نقطة تقاطع عمودي من B على p و q.
• ب) إزاحة مقدارها x في اتجاه موازٍ للمستقيمين.
• ج) إزاحة مقدارها 2x في اتجاه عمودي على المستقيمين المتوازيين.
• د) انعكاس انزلاقي بمقدار x.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إزاحة مقدارها 2x في اتجاه عمودي على المستقيمين المتوازيين.

الشرح: ١. الانعكاس حول المستقيم p ينقل النقطة B إلى B'، حيث p هو المنصف العمودي لـ BB'. ٢. الانعكاس حول المستقيم q (المتوازي لـ p) ينقل B' إلى B''، حيث q هو المنصف العمودي لـ B'B''. ٣. المسافة من B إلى p تساوي المسافة من B' إلى p، والمسافة من B' إلى q تساوي المسافة من B'' إلى q. ٤. إذا كانت المسافة بين p و q هي x، فإن المسافة الكلية BB'' تساوي ضعف هذه المسافة (x + x = 2x). ٥. اتجاه الحركة النهائية عمودي على كلا المستقيمين المتوازيين. إذن التركيب يعادل إزاحة مقدارها 2x.

تلميح: تذكر أن الانعكاس حول خط يبعد النقطة عن الخط بمسافة معينة، ثم يعيدها الانعكاس الثاني إلى الجانب الآخر.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

ما ناتج تركيب انعكاسين متتاليين حول مستقيمين متقاطعين l و m في النقطة P؟

• أ) إزاحة عمودية على منصف الزاوية بين المستقيمين.
• ب) انعكاس حول مستقيم ثالث يمر بنقطة P.
• ج) دوران حول نقطة التقاطع P، وزاوية الدوران تساوي ضعف الزاوية بين المستقيمين.
• د) تحويل تشابه (تكبير أو تصغير) مركزه النقطة P.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: دوران حول نقطة التقاطع P، وزاوية الدوران تساوي ضعف الزاوية بين المستقيمين.

الشرح: 1. الانعكاس يحافظ على المسافة من النقطة إلى خط الانعكاس. 2. النقطة P تقع على كلا المستقيمين، لذا فهي ثابتة. 3. المسافة من النقطة الأصلية A إلى P تساوي المسافة من صورتها النهائية A'' إلى P (PA = PA''). 4. هذا يعني أن A'' تقع على دائرة مركزها P، أي أن التحويل هو دوران حول P. 5. زاوية هذا الدوران تساوي ضعف الزاوية المحصورة بين المستقيمين l و m.

تلميح: تذكر أن الانعكاس يحافظ على المسافات. النقطة P ثابتة تحت كلا الانعكاسين.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب

إذا طُبقت التحويلات التالية بالترتيب على النقطة (س، ص): إزاحة (3 لليمين، 2 لأسفل)، ثم انعكاس حول المستقيم ص = -1، ثم دوران 90° حول نقطة الأصل، فما قاعدة التحويل المركب النهائي؟

• أ) (ص+3، -س)
• ب) (-ص، س+3)
• ج) (ص، س+3)
• د) (س+3، ص)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (ص، س+3)

الشرح: 1. الإزاحة: (س، ص) → (س+3، ص-2). 2. الانعكاس حول ص=-1: (س+3، ص-2) → (س+3، 2*(-1) - (ص-2)) = (س+3، -ص). 3. الدوران 90°: (س+3، -ص) → (-(-ص)، س+3) = (ص، س+3). 4. قاعدة التحويل المركب النهائي: (س، ص) → (ص، س+3).

تلميح: طبق التحويلات خطوة بخطوة على نقطة عامة (س، ص). تذكر قاعدة الانعكاس حول المستقيم الأفقي ص=ك.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

في برهان النظرية 7.2، إذا كان الانعكاس حول المستقيم المتوازي p ينقل B إلى B'، والانعكاس حول المستقيم المتوازي q ينقل B' إلى B''، وكانت المسافة بين p و q تساوي x، فما العلاقة بين BB'' و x؟

• أ) BB'' = x
• ب) BB'' = 2x
• ج) BB'' = x/2
• د) BB'' = 4x

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: BB'' = 2x

الشرح: 1. بما أن p || q والمسافة بينهما = x، فإن p و q متوازيان وثابتا البعد. 2. الانعكاس حول p: المسافة من B إلى p تساوي المسافة من B' إلى p. لذا، المسافة الرأسية التي قطعتها B للوصول إلى B' تساوي 2 × (المسافة من B إلى p). 3. الانعكاس حول q: بنفس المنطق، المسافة من B' إلى q تساوي المسافة من B'' إلى q. 4. لأن p و q متوازيان والمسافة بينهما x، فإن المسافة الكلية BB'' تساوي ضعف المسافة بين المستقيمين، أي BB'' = 2x.

تلميح: فكر في أن كل انعكاس يضيف مسافة تساوي ضعف المسافة من النقطة إلى خط الانعكاس. المستقيمان متوازيان.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما خاصية التركيب الهندسي لانعكاسين متتاليين حول مستقيمين متوازيين؟

• أ) دوران بزاوية 180 درجة.
• ب) انعكاس حول مستقيم ثالث موازٍ لهما.
• ج) إزاحة. مقدارها يساوي ضعف المسافة بين المستقيمين المتوازيين، واتجاهها عمودي عليهما.
• د) تحويل تشابه (تكبير).

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إزاحة. مقدارها يساوي ضعف المسافة بين المستقيمين المتوازيين، واتجاهها عمودي عليهما.

الشرح: 1. الانعكاس حول خط متوازي p ينقل النقطة B إلى الجانب الآخر من p. 2. الانعكاس التالي حول الخط المتوازي q (على نفس الجانب من p) ينقل النقطة B' إلى الجانب الآخر من q. 3. النتيجة النهائية هي أن النقطة B انتقلت من موقعها الأصلي إلى موقع جديد B''. 4. هذا التحويل المركب يعادل إزاحة (انتقال) بمقدار ثابت. مقدار هذه الإزاحة يساوي ضعف المسافة بين المستقيمين المتوازيين (2x)، واتجاهها عمودي على كلا المستقيمين.

تلميح: الانعكاس يحول النقطة إلى الجانب الآخر من الخط. إذا كان الخطان متوازيين، فكر في الحركة النهائية للنقطة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط