مثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 زوايا المضلع (الدرس 1-5)

المفاهيم الأساسية

الزاوية الخارجية: زاوية محصورة بين أحد أضلاع المضلع المحدب وامتداد ضلع آخر.

مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع: مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع المحدب (بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس) يساوي °360.

خريطة المفاهيم

```markmap

تهيئة الفصل 5: تشخيص الاستعداد

الهندسة

خواص المثلثات

#### مجموع زوايا المثلث = 180°

#### نظرية الزاوية الخارجية

#### المثلث المتساوي الساقين (الأضلاع المتساوية)

المضلعات

#### زوايا المضلع

##### مجموع قياسات الزوايا الداخلية

###### النظرية: S = (n - 2) \cdot 180°

###### الاستنتاج من المثلثات

##### مجموع قياسات الزوايا الخارجية

###### النظرية: مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع المحدب (بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس) = °360

###### مثال توضيحي: رباعي، خماسي، مثلث

##### إيجاد عدد الأضلاع في المضلع المنتظم

###### باستخدام قياس الزاوية الداخلية: \text{قياس الزاوية} \times n = (n - 2) \cdot 180°

#### المضلع المحدب

##### التعريف: جميع الزوايا الداخلية < 180°

##### امتداد الأضلاع لا يقطع أضلاع المضلع

##### المضلع في هذا الفصل = المضلع المحدب

#### المضلع المنتظم

##### التعريف: مضلع محدب، جميع أضلاعه متطابقة، وجميع زواياه متطابقة

##### قياس الزاوية الداخلية

###### الصيغة: \frac{(n - 2) \cdot 180°}{n}

###### مثال: السداسي المنتظم (n=6) → \frac{(6-2) \cdot 180°}{6} = 120°

##### قياس الزاوية الخارجية

###### الصيغة: \frac{360°}{n}

الهندسة الإحداثية

ميل المستقيم

#### المستقيمان المتوازيان (الميلان متساويان)

#### المستقيمان المتعامدان (حاصل ضرب ميليهما = -1)

المسافة بين نقطتين

نقطة منتصف قطعة مستقيمة

```

نقاط مهمة

• يمكن استخدام نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية S = (n - 2) \cdot 180° لإيجاد عدد أضلاع مضلع منتظم إذا علم قياس زاويته الداخلية.
• مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب (بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس) هو دائماً °360، بغض النظر عن عدد أضلاعه.
• في المضلع المنتظم، قياس الزاوية الخارجية = \frac{360°}{n} .

---

حل مثال

مثال 3: إيجاد عدد الأضلاع إذا علم قياس زاوية داخلية

* المعطى: قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم = 135°.

* المطلوب: إيجاد عدد أضلاعه (n).

* الحل:

1. مجموع الزوايا الداخلية = قياس الزاوية × عدد الأضلاع = 135° × n.

2. مجموع الزوايا الداخلية (من النظرية) = (n - 2) × 180°.

3. نكتب المعادلة: 135n = (n - 2) \cdot 180

4. نحل المعادلة:

* 135n = 180n - 360

* 135n - 180n = -360

* -45n = -360

* n = 8

* النتيجة: عدد أضلاع المضلع = 8 (مثمن منتظم).

---

تحقق من فهمك

3) إذا كان قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم يساوي °144، فأوجد عدد أضلاعه.

* الحل:

1. مجموع الزوايا الداخلية = 144° × n.

2. مجموع الزوايا الداخلية (من النظرية) = (n - 2) × 180°.

3. المعادلة: 144n = (n - 2) \cdot 180

4. الحل:

* 144n = 180n - 360

* 144n - 180n = -360

* -36n = -360

* n = 10

* النتيجة: عدد أضلاع المضلع = 10 (عشاري منتظم).

يمكنك أيضًا استعمال نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع لإيجاد عدد أضلاع مضلع منتظم إذا علم قياس زاوية داخلية له.

مثال 3

إيجاد عدد الأضلاع إذا علم قياس زاوية داخلية

إذا كان قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم يساوي 135°، فأوجد عدد أضلاعه. افترض أن عدد أضلاع المضلع يساوي n. وبذلك يكون مجموع قياسات الزوايا الداخلية 135n ؛ لأن جميع الزوايا الداخلية للمضلع المنتظم متطابقة. وبناءً على نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية يمكن التعبير أيضًا عن مجموع قياسات الزوايا الداخلية بالعبارة °180 . (2 – n) = S .

كتابة معادلة 135°n = (n - 2) • 180° خاصية التوزيع 135°n = 180°n - 360° بطرح 180n من كلا الطرفين -45°n = -360° بقسمة كلا الطرفين على 45- n = 8 إذن للمضلع 8 أضلاع.

تحقق من فهمك

3) إذا كان قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم يساوي °144، فأوجد عدد أضلاعه.

مراجعة المفردات الزاوية الخارجية: الزاوية الخارجية لمضلع محدب هي زاوية محصورة بين أحد أضلاعه وامتداد ضلع آخر.

مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع: هل توجد علاقة بين عدد أضلاع مضلع محدب ومجموع قياسات زواياه الخارجية؟ انظر المضلعات أدناه التي أعطي في كل منها قياس زاوية خارجية عند كل رأس.

105° + 110° + 105° + 40° = 360°

65° + 98° + 36° + 50° + 111° = 360°

120° + 100° + 140° = 360°

لاحظ أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس في كل حالة يساوي °360. وتقودنا هذه الملاحظة إلى النظرية الآتية:

إرشادات للدراسة قياس الزاوية الخارجية: قياس الزاوية الخارجية لمضلع منتظم عدد أضلاعه n يساوي 360° — n

نظرية 5.2

مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع: مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع المحدب بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس يساوي °360.

مثال: m∠1 + m∠2 + m∠3 + m∠4 + m∠5 + m∠6 = 360°

أضف إلى مطويتك

ستبرهن نظرية 5.2 في السؤال 39

وزارة التعليم الدرس 1-5 زوايا المضلع 15 MI ©ry of Education 2025 - 1447

يمكنك أيضًا استعمال نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع لإيجاد عدد أضلاع مضلع منتظم إذا علم قياس زاوية داخلية له. --- SECTION: مثال 3 --- مثال 3 --- SECTION: إيجاد عدد الأضلاع إذا علم قياس زاوية داخلية --- إيجاد عدد الأضلاع إذا علم قياس زاوية داخلية إذا كان قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم يساوي 135°، فأوجد عدد أضلاعه. افترض أن عدد أضلاع المضلع يساوي n. وبذلك يكون مجموع قياسات الزوايا الداخلية 135n ؛ لأن جميع الزوايا الداخلية للمضلع المنتظم متطابقة. وبناءً على نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية يمكن التعبير أيضًا عن مجموع قياسات الزوايا الداخلية بالعبارة °180 . (2 – n) = S . كتابة معادلة 135°n = (n - 2) • 180° خاصية التوزيع 135°n = 180°n - 360° بطرح 180n من كلا الطرفين -45°n = -360° بقسمة كلا الطرفين على 45- n = 8 إذن للمضلع 8 أضلاع. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك 3) إذا كان قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم يساوي °144، فأوجد عدد أضلاعه. --- SECTION: مراجعة المفردات --- مراجعة المفردات الزاوية الخارجية: الزاوية الخارجية لمضلع محدب هي زاوية محصورة بين أحد أضلاعه وامتداد ضلع آخر. --- SECTION: مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع --- مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع: هل توجد علاقة بين عدد أضلاع مضلع محدب ومجموع قياسات زواياه الخارجية؟ انظر المضلعات أدناه التي أعطي في كل منها قياس زاوية خارجية عند كل رأس. 105° + 110° + 105° + 40° = 360° 65° + 98° + 36° + 50° + 111° = 360° 120° + 100° + 140° = 360° لاحظ أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس في كل حالة يساوي °360. وتقودنا هذه الملاحظة إلى النظرية الآتية: --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة قياس الزاوية الخارجية: قياس الزاوية الخارجية لمضلع منتظم عدد أضلاعه n يساوي 360° — n --- SECTION: نظرية 5.2 --- نظرية 5.2 --- SECTION: مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع --- مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع: مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع المحدب بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس يساوي °360. مثال: m∠1 + m∠2 + m∠3 + m∠4 + m∠5 + m∠6 = 360° --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك ستبرهن نظرية 5.2 في السؤال 39 وزارة التعليم الدرس 1-5 زوايا المضلع 15 MI ©ry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A concave quadrilateral with one exterior angle labeled x°. The exterior angle is formed by extending one side and the adjacent side. This diagram illustrates the definition of an exterior angle. The question_number '8' is a proxy for the section order it illustrates, as no explicit question number is associated. Key Values: x° Context: Illustrates the definition of an exterior angle of a polygon. **DIAGRAM**: Untitled Description: A convex quadrilateral with four exterior angles shown. The angles are 105°, 110°, 105°, and 40°. The sum of these angles is explicitly stated as 360°. The question_number '9' is a proxy for the section order it illustrates, as no explicit question number is associated. Key Values: 105°, 110°, 105°, 40°, Sum = 360° Context: Demonstrates the theorem that the sum of exterior angles of a convex polygon is 360°. **DIAGRAM**: Untitled Description: A convex pentagon with five exterior angles shown. The angles are 65°, 98°, 36°, 50°, and 111°. The sum of these angles is explicitly stated as 360°. The question_number '9' is a proxy for the section order it illustrates, as no explicit question number is associated. Key Values: 65°, 98°, 36°, 50°, 111°, Sum = 360° Context: Further demonstrates the theorem that the sum of exterior angles of a convex polygon is 360°. **DIAGRAM**: Untitled Description: A convex triangle with three exterior angles shown. The angles are 120°, 100°, and 140°. The sum of these angles is explicitly stated as 360°. The question_number '9' is a proxy for the section order it illustrates, as no explicit question number is associated. Key Values: 120°, 100°, 140°, Sum = 360° Context: Further demonstrates the theorem that the sum of exterior angles of a convex polygon is 360°. **DIAGRAM**: Untitled Description: A convex hexagon with its six exterior angles labeled m∠1, m∠2, m∠3, m∠4, m∠5, and m∠6. Arrows indicate the direction of the angles. The sum of these angles is stated as m∠1 + m∠2 + m∠3 + m∠4 + m∠5 + m∠6 = 360°. The question_number '15' is a proxy for the section order it illustrates, as no explicit question number is associated. Key Values: m∠1, m∠2, m∠3, m∠4, m∠5, m∠6, Sum = 360° Context: Illustrates Theorem 5.2, showing that the sum of the exterior angles of a hexagon is 360°.