إيجاد قياسات الزوايا الخارجية للمضلع - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 4A: 4A) أوجد قيمة x في الشكل المجاور.

الإجابة: 13

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنفترض أن الشكل المجاور هو مثلث قائم الزاوية، وأن الضلعين القائمين هما 5 و 12، وأن x هو طول الوتر. هذه هي الحالة الشائعة التي تؤدي إلى الإجابة المعطاة.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم نظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية، والتي تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين: $$a^2 + b^2 = c^2$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيم الضلعين القائمين (5 و 12) في نظرية فيثاغورس، حيث c هي x: $$5^2 + 12^2 = x^2$$ $$25 + 144 = x^2$$ $$169 = x^2$$ لإيجاد قيمة x، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $$x = \sqrt{169}$$ $$x = 13$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x = **13**

سؤال 4B: 4B) أوجد قياس الزاوية الخارجية لمضلع منتظم ذي 12 ضلعًا.

الإجابة: 30°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مضلع منتظم عدد أضلاعه (n) = 12 ضلعًا.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب هو 360 درجة. وبما أن المضلع منتظم، فإن جميع زواياه الخارجية متساوية في القياس. إذن، قياس الزاوية الخارجية الواحدة لمضلع منتظم يساوي مجموع الزوايا الخارجية مقسومًا على عدد الأضلاع: $$\text{قياس الزاوية الخارجية} = \frac{360°}{n}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة n = 12 في القانون: $$\text{قياس الزاوية الخارجية} = \frac{360°}{12}$$ $$\text{قياس الزاوية الخارجية} = 30°$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية الخارجية لمضلع منتظم ذي 12 ضلعًا هو **30°**

سؤال 1: أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لكل من المضلعين المحدبين الآتيين: 1) العشاري

الإجابة: 180(10-2)=1440°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المضلع هو عشاري، أي أن عدد أضلاعه (n) = 10.
2. **الخطوة 2 (القانون):** مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مضلع محدب يُعطى بالقانون التالي: $$S = (n - 2) \times 180°$$ حيث S هو مجموع قياسات الزوايا الداخلية، و n هو عدد الأضلاع.
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة n = 10 في القانون: $$S = (10 - 2) \times 180°$$ $$S = 8 \times 180°$$ $$S = 1440°$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع العشاري هو **1440°**

سؤال 2: أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لكل من المضلعين المحدبين الآتيين: 2) الخماسي

الإجابة: 180(5-2)=540°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المضلع هو خماسي، أي أن عدد أضلاعه (n) = 5.
2. **الخطوة 2 (القانون):** مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مضلع محدب يُعطى بالقانون التالي: $$S = (n - 2) \times 180°$$ حيث S هو مجموع قياسات الزوايا الداخلية، و n هو عدد الأضلاع.
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة n = 5 في القانون: $$S = (5 - 2) \times 180°$$ $$S = 3 \times 180°$$ $$S = 540°$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الخماسي هو **540°**

سؤال 3: أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين: 3)

الإجابة: x+2x+3x+4x=360° 10x=360° x=36° angle X=36°, angle Y=72° angle Z=144°, angle W=108°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنفترض أن المضلع المذكور هو رباعي الأضلاع (بما أن هناك 4 زوايا معطاة بدلالة x: x, 2x, 3x, 4x).
2. **الخطوة 2 (القانون):** مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الرباعي هو 360 درجة. إذن، مجموع قياسات الزوايا المعطاة يجب أن يساوي 360 درجة: $$x + 2x + 3x + 4x = 360°$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** نجمع الحدود المتشابهة في الطرف الأيسر من المعادلة: $$10x = 360°$$ لإيجاد قيمة x، نقسم الطرفين على 10: $$x = \frac{360°}{10}$$ $$x = 36°$$ الآن، نعوض بقيمة x في تعبير كل زاوية لإيجاد قياسها: - الزاوية الأولى (X) = x = 36° - الزاوية الثانية (Y) = 2x = 2 \times 36° = 72° - الزاوية الثالثة (W) = 3x = 3 \times 36° = 108° - الزاوية الرابعة (Z) = 4x = 4 \times 36° = 144°
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياسات الزوايا الداخلية هي: الزاوية X = **36°** الزاوية Y = **72°** الزاوية W = **108°** الزاوية Z = **144°**

سؤال 4: أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين: 4)

الإجابة: (x+2)+(x-8)+(x+7)+(x-3)+(x+6)+(x-4)= 720° 6x=720° x=120° angle A=122°, angle B=112° angle C=127°, angle D=117° angle E=126°, angle F=116°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنفترض أن المضلع المذكور هو سداسي الأضلاع (بما أن هناك 6 زوايا معطاة بدلالة x: (x+2), (x-8), (x+7), (x-3), (x+6), (x-4)).
2. **الخطوة 2 (القانون):** مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع السداسي يُعطى بالقانون $$(n-2) \times 180°$$. بما أن n=6: $$S = (6 - 2) \times 180° = 4 \times 180° = 720°$$ إذن، مجموع قياسات الزوايا المعطاة يجب أن يساوي 720 درجة: $$(x+2) + (x-8) + (x+7) + (x-3) + (x+6) + (x-4) = 720°$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** نجمع الحدود المتشابهة (حدود x والأعداد الثابتة) في الطرف الأيسر من المعادلة: $$(x+x+x+x+x+x) + (2-8+7-3+6-4) = 720°$$ $$6x + (15 - 15) = 720°$$ $$6x + 0 = 720°$$ $$6x = 720°$$ لإيجاد قيمة x، نقسم الطرفين على 6: $$x = \frac{720°}{6}$$ $$x = 120°$$ الآن، نعوض بقيمة x في تعبير كل زاوية لإيجاد قياسها: - الزاوية A = (x+2) = 120° + 2° = 122° - الزاوية B = (x-8) = 120° - 8° = 112° - الزاوية C = (x+7) = 120° + 7° = 127° - الزاوية D = (x-3) = 120° - 3° = 117° - الزاوية E = (x+6) = 120° + 6° = 126° - الزاوية F = (x-4) = 120° - 4° = 116°
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياسات الزوايا الداخلية هي: الزاوية A = **122°** الزاوية B = **112°** الزاوية C = **127°** الزاوية D = **117°** الزاوية E = **126°** الزاوية F = **116°**

سؤال 5: 5) عجلة دوارة: العجلة الدوارة في الصورة المجاورة على شكل مضلع منتظم عدد أضلاعه 15 ضلعًا. أوجد قياس الزاوية الداخلية له.

الإجابة: $\frac{180(15-2)}{15}=156°$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مضلع منتظم عدد أضلاعه (n) = 15 ضلعًا.
2. **الخطوة 2 (القانون):** قياس الزاوية الداخلية الواحدة لمضلع منتظم يُعطى بالقانون التالي: $$\text{قياس الزاوية الداخلية} = \frac{(n - 2) \times 180°}{n}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة n = 15 في القانون: $$\text{قياس الزاوية الداخلية} = \frac{(15 - 2) \times 180°}{15}$$ $$\text{قياس الزاوية الداخلية} = \frac{13 \times 180°}{15}$$ $$\text{قياس الزاوية الداخلية} = \frac{2340°}{15}$$ $$\text{قياس الزاوية الداخلية} = 156°$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية الداخلية للمضلع المنتظم ذي 15 ضلعًا هو **156°**

سؤال 6: إذا كان قياس إحدى الزوايا الداخلية لمضلع منتظم معطى، فأوجد عدد الأضلاع في كل مما يأتي: 6) 150°

الإجابة: n=$\frac{360}{180-150}$ n=12

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** قياس إحدى الزوايا الداخلية لمضلع منتظم = 150°.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نعلم أن قياس الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية المتجاورة لها في أي مضلع يشكلان زاوية مستقيمة (180°). إذن، قياس الزاوية الخارجية = 180° - قياس الزاوية الداخلية. كما نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع هو 360 درجة. وبما أن المضلع منتظم، فإن جميع زواياه الخارجية متساوية. عدد الأضلاع (n) = \frac{\text{مجموع الزوايا الخارجية}}{\text{قياس الزاوية الخارجية الواحدة}} = \frac{360°}{\text{قياس الزاوية الخارجية}}
3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نحسب قياس الزاوية الخارجية: $$\text{قياس الزاوية الخارجية} = 180° - 150° = 30°$$ ثانياً، نحسب عدد الأضلاع (n): $$n = \frac{360°}{30°}$$ $$n = 12$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن عدد أضلاع المضلع المنتظم الذي قياس إحدى زواياه الداخلية 150° هو **12 ضلعًا**

سؤال 7: إذا كان قياس إحدى الزوايا الداخلية لمضلع منتظم معطى، فأوجد عدد الأضلاع في كل مما يأتي: 7) 170°

الإجابة: n=$\frac{360}{180-170}$ n=36

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** قياس إحدى الزوايا الداخلية لمضلع منتظم = 170°.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نعلم أن قياس الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية المتجاورة لها في أي مضلع يشكلان زاوية مستقيمة (180°). إذن، قياس الزاوية الخارجية = 180° - قياس الزاوية الداخلية. كما نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع هو 360 درجة. وبما أن المضلع منتظم، فإن جميع زواياه الخارجية متساوية. عدد الأضلاع (n) = \frac{\text{مجموع الزوايا الخارجية}}{\text{قياس الزاوية الخارجية الواحدة}} = \frac{360°}{\text{قياس الزاوية الخارجية}}
3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نحسب قياس الزاوية الخارجية: $$\text{قياس الزاوية الخارجية} = 180° - 170° = 10°$$ ثانياً، نحسب عدد الأضلاع (n): $$n = \frac{360°}{10°}$$ $$n = 36$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن عدد أضلاع المضلع المنتظم الذي قياس إحدى زواياه الداخلية 170° هو **36 ضلعًا**

ما النظرية المستخدمة لإيجاد قيمة متغير في معادلة تتضمن قياسات زوايا خارجية لمضلع؟

• أ) نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع، والتي تعتمد على عدد الأضلاع.
• ب) نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع، والتي تنص على أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب هو 360 درجة.
• ج) نظرية فيثاغورس للمثلثات القائمة.
• د) قانون جيب التمام لحساب أطوال الأضلاع.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع، والتي تنص على أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب هو 360 درجة.

الشرح: 1. النظرية: مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب = 360°. 2. تُكتب المعادلة بجمع تعبيرات الزوايا الخارجية ومساواتها بـ 360°. 3. تُحل المعادلة لإيجاد قيمة المتغير.

تلميح: فكر في القيمة الثابتة لمجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

كيف يمكن إيجاد قياس الزاوية الخارجية الواحدة لمضلع منتظم؟

• أ) بضرب 180 درجة في (عدد الأضلاع - 2).
• ب) بقسمة 180 درجة على عدد أضلاع المضلع.
• ج) بقسمة 360 درجة على عدد أضلاع المضلع (n).
• د) بطرح قياس الزاوية الداخلية من 90 درجة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: بقسمة 360 درجة على عدد أضلاع المضلع (n).

الشرح: 1. مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع = 360°. 2. في المضلع المنتظم، جميع الزوايا الخارجية متساوية. 3. قياس الزاوية الخارجية الواحدة = 360° ÷ عدد الأضلاع (n).

تلميح: تذكر أن مجموع الزوايا الخارجية ثابت، وفي المضلع المنتظم تكون جميع الزوايا الخارجية متساوية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الطريقة البديلة لإيجاد قياس زاوية خارجية لمضلع منتظم دون استخدام نظرية المجموع مباشرة؟

• أ) جمع قياسات جميع الزوايا الداخلية وقسمتها على عدد الأضلاع.
• ب) إيجاد قياس الزاوية الداخلية أولاً، ثم طرح هذا القياس من 180° لأن الزاويتين متكاملتان.
• ج) ضرب عدد الأضلاع في 180 درجة.
• د) قسمة 360 درجة على (عدد الأضلاع - 2).

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إيجاد قياس الزاوية الداخلية أولاً، ثم طرح هذا القياس من 180° لأن الزاويتين متكاملتان.

الشرح: 1. الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية عند نفس الرأس متكاملتان (مجموعهما 180°). 2. في المضلع المنتظم، قياس الزاوية الداخلية = [(n-2)×180°] / n. 3. قياس الزاوية الخارجية = 180° - قياس الزاوية الداخلية.

تلميح: تذكر العلاقة بين الزاوية الداخلية والخارجية عند رأس واحد في المضلع.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما قياس الزاوية الخارجية الواحدة لمضلع منتظم ذي 12 ضلعًا (الثنائي عشري المنتظم)؟

• أ) 15°
• ب) 30°
• ج) 36°
• د) 150°

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 30°

الشرح: 1. مجموع قياسات الزوايا الخارجية = 360°. 2. عدد الأضلاع (n) = 12. 3. قياس الزاوية الخارجية الواحدة = 360° ÷ 12 = 30°.

تلميح: استخدم العلاقة المباشرة بين مجموع الزوايا الخارجية الثابت وعدد الأضلاع في المضلع المنتظم.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل