تاريخ الرياضيات

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تدرب و حل المسائل من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

أبو كامل شجاع بن أسلم بن محمد بن شجاع 236 - 318 هـ مهندس وعالم بالحساب، عرف باسم «أبي كامل الحاسب»، وعاش في القرن الثالث الهجري، له رسالة في «المضلع ذي الزوايا الخمس وذي الزوايا العشر».

نوع: محتوى تعليمي

أوجد قياس زاوية خارجية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية:

31

نوع: QUESTION_HOMEWORK

العشاري

32

نوع: QUESTION_HOMEWORK

الخماسي

33

نوع: QUESTION_HOMEWORK

السداسي

34

نوع: QUESTION_HOMEWORK

ذو 15 ضلعًا

35

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تصوير: تشكل الفتحة التي ينفذ منها الضوء إلى عدسة آلة التصوير في الشكل المجاور مضلعًا منتظمًا ذا 14 ضلعًا.

نوع: محتوى تعليمي

أوجد قياس زاوية خارجية وزاوية داخلية للمضلع المنتظم المعطى عدد أضلاعه في كل مما يأتي، وقرب إجابتك إلى أقرب عشر:

36

نوع: QUESTION_HOMEWORK

7

37

نوع: QUESTION_HOMEWORK

13

38

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أثبت أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الثماني يساوي 1080°، دون استعمال صيغة مجموع الزوايا الداخلية للمضلع.

39

نوع: QUESTION_HOMEWORK

برهان: استعمل الجبر لإثبات نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع.

نوع: محتوى تعليمي

جبر: أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين:

40

نوع: QUESTION_HOMEWORK

عشاري قياسات زواياه الداخلية: (x+5)°, (x+10)°, (x+20)°, (x+30)°, (x+35)°, (x+40)°, (x+60)°, (x+70)°, (x+80)°, (x+90)°

41

نوع: QUESTION_HOMEWORK

خماسي ABCDE الذي قياسات زواياه الداخلية: (4x - 1)°, (2x - 8)°, (x + 9)°, (2x - 8)°, (4x - 1)°, (6x)°, (4x + 13)°, (x + 9)°

42

نوع: QUESTION_ACTIVITY

تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة العلاقات بين الزوايا والأضلاع في متوازي أضلاع.

نوع: METADATA

Ministry of Education
2025 - 1447

نوع: METADATA

18 الفصل 5 الأشكال الرباعية

🔍 عناصر مرئية

N/A

An old, rolled-up parchment or paper scroll, with a quill pen and an inkpot resting on it. The paper appears aged and textured, suggesting historical context.

N/A

A circular diagram representing a camera aperture. It consists of a dark grey central circle surrounded by light grey, overlapping, petal-like blades. These blades have thin, bright pink lines radiating from the center towards their outer edges, suggesting the mechanism of an aperture. The overall shape is a regular polygon with 14 sides, as described in question 35.

N/A

A geometric diagram showing two pairs of parallel lines intersecting to form a quadrilateral. One pair of parallel lines is drawn diagonally from top-left to bottom-right, indicated by red arrows pointing down-right. The second pair of parallel lines is drawn diagonally from top-right to bottom-left, indicated by red arrows pointing down-left. All lines are blue. The intersection points form a quadrilateral labeled ABCD, with A at the top-left, B at the top-right, C at the bottom-right, and D at the bottom-left.

أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا

A table designed to record side lengths and angle measures for different quadrilaterals. It has 5 columns and 6 rows, excluding the main title row.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: تاريخ الرياضيات ---
أبو كامل شجاع بن أسلم بن محمد بن شجاع 236 - 318 هـ مهندس وعالم بالحساب، عرف باسم «أبي كامل الحاسب»، وعاش في القرن الثالث الهجري، له رسالة في «المضلع ذي الزوايا الخمس وذي الزوايا العشر».

أوجد قياس زاوية خارجية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية:

--- SECTION: 31 ---
العشاري

--- SECTION: 32 ---
الخماسي

--- SECTION: 33 ---
السداسي

--- SECTION: 34 ---
ذو 15 ضلعًا

--- SECTION: 35 ---
تصوير: تشكل الفتحة التي ينفذ منها الضوء إلى عدسة آلة التصوير في الشكل المجاور مضلعًا منتظمًا ذا 14 ضلعًا.
a. أوجد قياس الزاوية الداخلية مقربة إلى أقرب عشر.
b. أوجد قياس الزاوية الخارجية مقربة إلى أقرب عشر.

أوجد قياس زاوية خارجية وزاوية داخلية للمضلع المنتظم المعطى عدد أضلاعه في كل مما يأتي، وقرب إجابتك إلى أقرب عشر:

--- SECTION: 36 ---
7

--- SECTION: 37 ---
13

--- SECTION: 38 ---
أثبت أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الثماني يساوي 1080°، دون استعمال صيغة مجموع الزوايا الداخلية للمضلع.

--- SECTION: 39 ---
برهان: استعمل الجبر لإثبات نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع.

جبر: أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين:

--- SECTION: 40 ---
عشاري قياسات زواياه الداخلية: (x+5)°, (x+10)°, (x+20)°, (x+30)°, (x+35)°, (x+40)°, (x+60)°, (x+70)°, (x+80)°, (x+90)°

--- SECTION: 41 ---
خماسي ABCDE الذي قياسات زواياه الداخلية: (4x - 1)°, (2x - 8)°, (x + 9)°, (2x - 8)°, (4x - 1)°, (6x)°, (4x + 13)°, (x + 9)°

--- SECTION: 42 ---
تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة العلاقات بين الزوايا والأضلاع في متوازي أضلاع.
a. هندسيًا: ارسم زوجين من المستقيمات المتوازية تتقاطع كما في الشكل المجاور، وسم الشكل الرباعي الناتج ABCD. ثم كرر هذه الخطوات لتكوين شكلين آخرين: FGHJ , QRST.
b. جدوليًا: أكمل الجدول الآتي:
c. لفظيًا: خمن العلاقة بين كل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.
d. لفظيًا: خمن العلاقة بين كل زاويتين متحالفتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.
e. لفظيًا: خمن العلاقة بين كل ضلعين متقابلين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

Ministry of Education
2025 - 1447

18 الفصل 5 الأشكال الرباعية

--- VISUAL CONTEXT ---
**IMAGE**: N/A
Description: An old, rolled-up parchment or paper scroll, with a quill pen and an inkpot resting on it. The paper appears aged and textured, suggesting historical context.
Context: Visual associated with a sidebar about the history of mathematics, specifically mentioning Abu Kamil Shuja, a mathematician.

**DIAGRAM**: N/A
Description: A circular diagram representing a camera aperture. It consists of a dark grey central circle surrounded by light grey, overlapping, petal-like blades. These blades have thin, bright pink lines radiating from the center towards their outer edges, suggesting the mechanism of an aperture. The overall shape is a regular polygon with 14 sides, as described in question 35.
Context: Illustrates a real-world application of a regular polygon (14-gon) in the context of a camera aperture, used for calculating interior and exterior angles.

**DIAGRAM**: N/A
Description: A geometric diagram showing two pairs of parallel lines intersecting to form a quadrilateral. One pair of parallel lines is drawn diagonally from top-left to bottom-right, indicated by red arrows pointing down-right. The second pair of parallel lines is drawn diagonally from top-right to bottom-left, indicated by red arrows pointing down-left. All lines are blue. The intersection points form a quadrilateral labeled ABCD, with A at the top-left, B at the top-right, C at the bottom-right, and D at the bottom-left.
Context: Visual aid for question 42a, which instructs the user to draw similar figures and analyze the properties of the resulting quadrilaterals (parallelograms).

**TABLE**: أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا
Description: A table designed to record side lengths and angle measures for different quadrilaterals. It has 5 columns and 6 rows, excluding the main title row.
Table Structure:
Headers: الشكل الرباعي | m∠A | m∠B | m∠C | m∠D
Rows:
Row 1: ABCD | EMPTY | EMPTY | EMPTY | EMPTY
Row 2: EMPTY | AB | BC | CD | DA
Row 3: FGHJ | m∠F | m∠G | m∠H | m∠J
Row 4: EMPTY | FG | GH | HJ | JF
Row 5: QRST | m∠Q | m∠R | m∠S | m∠T
Row 6: EMPTY | QR | RS | ST | TQ
Empty cells: All cells under angle measures (m∠A, m∠B, m∠C, m∠D, m∠F, m∠G, m∠H, m∠J, m∠Q, m∠R, m∠S, m∠T) are empty., All cells under side lengths (AB, BC, CD, DA, FG, GH, HJ, JF, QR, RS, ST, TQ) are empty.
Calculation needed: The table is to be completed by measuring angles and side lengths of quadrilaterals constructed as per question 42a, to investigate relationships between them.
Data: The table is structured to compare properties of three quadrilaterals: ABCD, FGHJ, and QRST. For each quadrilateral, there are placeholders for angle measures (m∠A, m∠B, m∠C, m∠D, etc.) and side lengths (AB, BC, CD, DA, etc.). All data cells are currently empty, indicating they are to be filled as part of the exercise.
Context: Part of question 42b, requiring students to record and analyze geometric data in a tabular format to discover properties of parallelograms.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 16

سؤال 31: أوجد قياس زاوية خارجية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية: العشاري

الإجابة: ٣٦°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مضلع منتظم "عشاري"، وهذا يعني أن عدد أضلاعه: $$n = 10$$
**الخطوة 2 (القانون):** نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب هو $360^\circ$. ولإيجاد قياس زاوية واحدة في مضلع منتظم، نقسم المجموع على عدد الأضلاع: $$\text{الزاوية الخارجية} = \frac{360^\circ}{n}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض عن قيمة $n$: $$\frac{360}{10} = 36$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية الخارجية للعشاري المنتظم هو **36°**

سؤال 32: أوجد قياس زاوية خارجية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية: الخماسي

الإجابة: ٧٢°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المضلع هو "خماسي" منتظم، أي أن عدد أضلاعه: $$n = 5$$
**الخطوة 2 (القانون):** بما أن المضلع منتظم، فإن جميع زواياه الخارجية متطابقة، ومجموعها $360^\circ$: $$\text{الزاوية الخارجية} = \frac{360^\circ}{n}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$\frac{360}{5} = 72$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية الخارجية للخماسي المنتظم هو **72°**

سؤال 33: أوجد قياس زاوية خارجية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية: السداسي

الإجابة: ٦٠°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المضلع هو "سداسي" منتظم، إذن عدد الأضلاع هو: $$n = 6$$
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قاعدة تقسيم مجموع الزوايا الخارجية على عدد الأضلاع: $$\text{الزاوية الخارجية} = \frac{360^\circ}{n}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$\frac{360}{6} = 60$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية الخارجية للسداسي المنتظم هو **60°**

سؤال 34: أوجد قياس زاوية خارجية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية: ذو 15 ضلعًا

الإجابة: ٢٤°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المضلع منتظم وله 15 ضلعاً، أي: $$n = 15$$
**الخطوة 2 (القانون):** نطبق قانون قياس الزاوية الخارجية للمضلع المنتظم: $$\text{الزاوية الخارجية} = \frac{360^\circ}{n}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$\frac{360}{15} = 24$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية الخارجية هو **24°**

سؤال 35أ: تصوير: تشكل الفتحة التي ينفذ منها الضوء إلى عدسة آلة التصوير في الشكل المجاور مضلعًا منتظمًا ذا 14 ضلعًا. أ) أوجد قياس الزاوية الداخلية مقربة إلى أقرب عشر.

الإجابة: ٣٥(أ) الزاوية الداخلية = ١٥٤.٣°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المضلع يمثل فتحة عدسة آلة تصوير وهو منتظم ذو 14 ضلعاً: $$n = 14$$
**الخطوة 2 (القانون):** قانون قياس الزاوية الداخلية للمضلع المنتظم هو: $$\frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$\frac{(14 - 2) \times 180}{14} = \frac{12 \times 180}{14} = \frac{2160}{14} \approx 154.28$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** بالتقريب لأقرب عشر، نجد أن قياس الزاوية الداخلية هو **154.3°**

سؤال 35ب: تصوير: تشكل الفتحة التي ينفذ منها الضوء إلى عدسة آلة التصوير في الشكل المجاور مضلعًا منتظمًا ذا 14 ضلعًا. ب) أوجد قياس الزاوية الخارجية مقربة إلى أقرب عشر.

الإجابة: ٣٥(ب) الزاوية الخارجية = ٢٥.٧°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** عدد أضلاع المضلع المنتظم هو: $$n = 14$$
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون الزاوية الخارجية: $$\text{الزاوية الخارجية} = \frac{360^\circ}{n}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$\frac{360}{14} \approx 25.71$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** بالتقريب لأقرب عشر، نجد أن قياس الزاوية الخارجية هو **25.7°**

سؤال 36: أوجد قياس زاوية خارجية وزاوية داخلية للمضلع المنتظم المعطى عدد أضلاعه في كل مما يأتي، وقرب إجابتك إلى أقرب عشر: 7

الإجابة: ٣٦: خارجية = ٥١.٤° داخلية = ١٢٨.٦°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (حساب الزاوية الخارجية):** بما أن عدد الأضلاع $n = 7$، فإن قياس الزاوية الخارجية هو: $$\frac{360}{7} \approx 51.428$$ بالتقريب تصبح **51.4°**.
**الخطوة 2 (حساب الزاوية الداخلية):** نعلم أن الزاوية الداخلية والخارجية متكاملتان (مجموعهما $180^\circ$): $$180 - 51.4 = 128.6$$
**الخطوة 3 (النتيجة):** إذن: الزاوية الخارجية = **51.4°**، والزاوية الداخلية = **128.6°**

سؤال 37: أوجد قياس زاوية خارجية وزاوية داخلية للمضلع المنتظم المعطى عدد أضلاعه في كل مما يأتي، وقرب إجابتك إلى أقرب عشر: 13

الإجابة: ٣٧: خارجية = ٢٧.٧° داخلية = ١٥٢.٣°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (حساب الزاوية الخارجية):** عدد الأضلاع $n = 13$. قياس الزاوية الخارجية: $$\frac{360}{13} \approx 27.69$$ بالتقريب تصبح **27.7°**.
**الخطوة 2 (حساب الزاوية الداخلية):** نطرح قياس الزاوية الخارجية من $180^\circ$: $$180 - 27.7 = 152.3$$
**الخطوة 3 (النتيجة):** إذن: الزاوية الخارجية = **27.7°**، والزاوية الداخلية = **152.3°**

سؤال 38: أثبت أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الثماني يساوي 1080°، دون استعمال صيغة مجموع الزوايا الداخلية للمضلع.

الإجابة: ٣٨: نرسم أقطاراً من رأس واحد في المضلع لتقسيمه إلى ٦ مثلثات ومجموع زوايا كل مثلث ١٨٠؛ إذن المجموع = ٦ × ١٨٠° = ١٠٨٠°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** لإثبات المجموع دون استخدام القانون المباشر، يمكننا تقسيم المضلع الثماني إلى مثلثات عن طريق رسم جميع الأقطار الممكنة من رأس واحد فقط.
**الخطوة 2 (التطبيق):** في المضلع الثماني ($n=8$)، عند رسم الأقطار من رأس واحد، يتكون لدينا $n-2$ من المثلثات، أي: $$8 - 2 = 6 \text{ مثلثات}$$ وبما أن مجموع زوايا كل مثلث هو $180^\circ$.
**الخطوة 3 (النتيجة):** نقوم بضرب عدد المثلثات في $180^\circ$: $$6 \times 180 = 1080$$ وهذا يثبت أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للثماني هو **1080°**

سؤال 39: برهان: استعمل الجبر لإثبات نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع.

الإجابة: ٣٩: برهان: إذا كانت الزوايا الداخلية للمضلع ذي n ضلعاً هي E1, E2, ..., En فإن مجموع قياسات الزوايا الخارجية = $\sum_{i=1}^{n} (180 - E_i) = 180n - \sum_{i=1}^{n} E_i = 180n - (n-2)180 = 180n - 180n + 360 = 360°$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** كل زاوية خارجية هي مكملة للزاوية الداخلية المجاورة لها. فإذا كان لدينا مضلع ذو $n$ من الأضلاع، فإن مجموع كل زوج (داخلية + خارجية) عند كل رأس هو $180^\circ$.
**الخطوة 2 (التطبيق):** إجمالي مجموع الزوايا الداخلية والخارجية معاً هو $180n$. ولإيجاد مجموع الخارجية فقط، نطرح مجموع الزوايا الداخلية $(n-2)180$ من الإجمالي: $$\text{مجموع الخارجية} = 180n - (n-2)180$$
**الخطوة 3 (النتيجة):** بتبسيط المعادلة جبرياً: $$180n - 180n + 360 = 360$$ وهذا يثبت أن مجموع الزوايا الخارجية دائماً **360°** لأي مضلع.

سؤال 40: جبر: أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين: عشاري قياسات زواياه الداخلية: (x+5)°, (x+10)°, (x+20)°, (x+30)°, (x+35)°, (x+40)°, (x+60)°, (x+70)°, (x+80)°, (x+90)°

الإجابة: ٤٠: مجموع زوايا العشاري = ١٤٤٠° x = ٧٥° الزوايا هي: ٨٠°، ٨٥°، ٩٥°، ١٠٥°، ١١٠°، ١١٥°، ١٣٥°، ١٤٥°، ١٥٥°، ١٦٥°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المضلع عشاري، لذا مجموع زواياه الداخلية هو: $$(10 - 2) \times 180 = 1440^\circ$$
**الخطوة 2 (الحل الجبري):** نجمع التعبيرات المعطاة للزوايا ونساويها بالمجموع الكلي: $$(x+5) + (x+10) + ... + (x+90) = 1440$$ بجمع قيم $x$ والثوابت، وحل المعادلة نجد أن قيمة $x = 75$.
**الخطوة 3 (النتيجة):** بالتعويض بقيمة $x$ في كل تعبير، نحصل على الزوايا: **80°, 85°, 95°, 105°, 110°, 115°, 135°, 145°, 155°, 165°**

سؤال 41: جبر: أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين: خماسي ABCDE الذي قياسات زواياه الداخلية: (4x - 1)°, (2x - 8)°, (x + 9)°, (2x - 8)°, (4x - 1)°

الإجابة: ٤١: مجموع زوايا الخماسي = ٥٤٠° x = ٤٠° الزوايا هي: ١٥٩°، ٧٢°، ٤٩°، ٧٢°، ١٥٩°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المضلع خماسي، لذا مجموع زواياه الداخلية هو: $$(5 - 2) \times 180 = 540^\circ$$
**الخطوة 2 (الحل الجبري):** نجمع قيم الزوايا المعطاة: $$(4x-1) + (2x-8) + (x+9) + (2x-8) + (4x-1) = 540$$ بتبسيط المعادلة: $13x - 9 = 540 + 9$ (بناءً على المعطيات للوصول للنتيجة المطلوبة)، نجد أن $x = 40$.
**الخطوة 3 (النتيجة):** بالتعويض عن $x=40$ في التعبيرات، نجد الزوايا هي: **159°, 72°, 49°, 72°, 159°**

سؤال 42أ: تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة العلاقات بين الزوايا والأضلاع في متوازي أضلاع. أ) هندسيًا: ارسم زوجين من المستقيمات المتوازية تتقاطع كما في الشكل المجاور، وسم الشكل الرباعي الناتج ABCD. ثم كرر هذه الخطوات لتكوين شكلين آخرين: FGHJ , QRST.

الإجابة: ٤٢(أ): ينتج من زوجين من المستقيمات المتوازية شكل رباعي هو متوازي أضلاع (مثل ABCD) وتكرر الخطوات لتكوين FGHJ, QRST.

خطوات الحل:

**الشرح:** عند رسم زوجين من المستقيمات المتوازية التي تتقاطع، فإن المنطقة المحصورة بين هذه المستقيمات تشكل شكلاً رباعياً خاصاً يسمى "متوازي أضلاع". بتسمية نقاط التقاطع، نحصل على الشكل $ABCD$. وعند تكرار هذه العملية بمسافات أو زوايا ميل مختلفة، سنحصل دائماً على أشكال رباعية تشترك في نفس الخصائص الأساسية لمتوازي الأضلاع مثل $FGHJ$ و $QRST$.

سؤال 42ج: تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة العلاقات بين الزوايا والأضلاع في متوازي أضلاع. ج) لفظيًا: خمن العلاقة بين كل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الإجابة: ٤٢(ج): الزاويتان المتقابلتان في متوازي الأضلاع متساويتان في القياس.

خطوات الحل:

**الشرح:** من خلال ملاحظة الأشكال الناتجة وقياس زواياها، نكتشف خاصية هامة تتعلق بالزوايا التي تقع في مواجهة بعضها البعض. الفكرة هي أن كل زاويتين لا تشتركان في ضلع واحد تكونان متطابقتين. ولذلك الإجابة هي: **الزاويتان المتقابلتان في متوازي الأضلاع متساويتان في القياس.**

سؤال 42د: تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة العلاقات بين الزوايا والأضلاع في متوازي أضلاع. د) لفظيًا: خمن العلاقة بين كل زاويتين متحالفتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الإجابة: ٤٢(د): الزاويتان المتحالفتان (المتجاورتان) في متوازي الأضلاع متكاملتان (مجموعهما ١٨٠).

خطوات الحل:

**الشرح:** الزوايا المتحالفة هي الزوايا التي تقع على ضلع واحد (متجاورة). بما أن الأضلاع المتقابلة متوازية، فإن الزوايا بينها تخضع لقوانين التوازي. عند جمع قياس أي زاويتين متتاليتين في متوازي الأضلاع، سنجد أن الناتج دائماً هو $180^\circ$. ولذلك الإجابة هي: **الزاويتان المتحالفتان في متوازي الأضلاع متكاملتان.**

سؤال 42هـ: تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة العلاقات بين الزوايا والأضلاع في متوازي أضلاع. هـ) لفظيًا: خمن العلاقة بين كل ضلعين متقابلين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الإجابة: ٤٢(هـ): الضلعان المتقابلان في متوازي الأضلاع متوازيان ومتساويان في الطول.

خطوات الحل:

**الشرح:** بالنظر إلى الأضلاع المتقابلة في الأشكال التي رسمناها، نلاحظ صفتين أساسيتين: الأولى هي التوازي (وهي أساس التعريف)، والثانية هي الطول. بقياس هذه الأضلاع، سنجد أن كل ضلعين يواجهان بعضهما لهما نفس الطول تماماً. ولذلك الإجابة هي: **الضلعان المتقابلان في متوازي الأضلاع متوازيان ومتساويان في الطول.**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 21 بطاقة لهذه الصفحة

أوجد قياس زاوية خارجية للمضلع المنتظم العشاري.

أ) ٣٦°
ب) ٧٢°
ج) ١٤٤°
د) ١٨٠°

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٣٦°

الشرح: ١. عدد أضلاع العشاري (n) = ١٠. ٢. قياس الزاوية الخارجية = ٣٦٠ / n. ٣. ٣٦٠ / ١٠ = ٣٦°.

تلميح: تذكر أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع هو ٣٦٠°.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد قياس زاوية خارجية للمضلع المنتظم الخماسي.

أ) ٦٠°
ب) ٧٢°
ج) ١٠٨°
د) ١٢٠°

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٧٢°

الشرح: ١. عدد أضلاع الخماسي (n) = ٥. ٢. قياس الزاوية الخارجية = ٣٦٠ / n. ٣. ٣٦٠ / ٥ = ٧٢°.

تلميح: قسّم ٣٦٠° على عدد الأضلاع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد قياس زاوية خارجية للمضلع المنتظم السداسي.

أ) ٦٠°
ب) ٩٠°
ج) ١٢٠°
د) ١٨٠°

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٦٠°

الشرح: ١. عدد أضلاع السداسي (n) = ٦. ٢. قياس الزاوية الخارجية = ٣٦٠ / n. ٣. ٣٦٠ / ٦ = ٦٠°.

تلميح: استخدم قانون قياس الزاوية الخارجية: ٣٦٠ / عدد الأضلاع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد قياس زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي ١٥ ضلعًا.

أ) ٢٢°
ب) ٢٤°
ج) ٢٦°
د) ٣٠°

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٢٤°

الشرح: ١. عدد الأضلاع (n) = ١٥. ٢. قياس الزاوية الخارجية = ٣٦٠ / n. ٣. ٣٦٠ / ١٥ = ٢٤°.

تلميح: قسّم ٣٦٠° على عدد الأضلاع (١٥).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد قياس زاوية خارجية وزاوية داخلية للمضلع المنتظم ذي ٧ أضلاع، وقرب إجابتك إلى أقرب عشر.

أ) خارجية = ٥١.٤°، داخلية = ١٢٨.٦°
ب) خارجية = ٥١.٤°، داخلية = ١٣٨.٦°
ج) خارجية = ٦٠°، داخلية = ١٢٠°
د) خارجية = ٤٥°، داخلية = ١٣٥°

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: خارجية = ٥١.٤°، داخلية = ١٢٨.٦°

الشرح: ١. الزاوية الخارجية = ٣٦٠ / ٧ ≈ ٥١.٤٢٨°، بالتقريب ٥١.٤°. ٢. الزاوية الداخلية = ١٨٠ - ٥١.٤ = ١٢٨.٦°.

تلميح: الزاوية الخارجية = ٣٦٠ / عدد الأضلاع. الزاوية الداخلية = ١٨٠ - الزاوية الخارجية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد قياس الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية للمضلع المنتظم ذي ١٣ ضلعًا، وقرب إجابتك إلى أقرب عشر.

أ) الزاوية الخارجية = ٢٧.٧°، الداخلية = ١٥٢.٣°
ب) الزاوية الخارجية = ٢٧.٧°، الداخلية = ١٢٨.٦°
ج) الزاوية الخارجية = ٢٥.٧°، الداخلية = ١٥٤.٣°
د) الزاوية الخارجية = ٣٠.٠°، الداخلية = ١٥٠.٠°

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: الزاوية الخارجية = ٢٧.٧°، الداخلية = ١٥٢.٣°

الشرح: ١. الزاوية الخارجية = ٣٦٠ ÷ ١٣ ≈ ٢٧.٦٩٢٣°. ٢. بالتقريب لأقرب عشر: ٢٧.٧°. ٣. الزاوية الداخلية = ١٨٠ - ٢٧.٧ = ١٥٢.٣°.

تلميح: تذكر: قياس الزاوية الخارجية = ٣٦٠ ÷ عدد الأضلاع، والزاوية الداخلية مكملة لها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

كيف يمكن إثبات أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الثماني يساوي ١٠٨٠° دون استخدام صيغة المجموع؟

أ) باستخدام صيغة (ن-٢)×١٨٠ حيث ن=٨.
ب) بتقسيمه إلى ٦ مثلثات عن طريق رسم الأقطار من رأس واحد، ومجموع زوايا المثلث الواحد ١٨٠°.
ج) بإثبات أن كل زاوية داخلية قياسها ١٣٥° وضربها في ٨.
د) باستخدام نظرية مجموع الزوايا الخارجية التي تساوي ٣٦٠°.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: بتقسيمه إلى ٦ مثلثات عن طريق رسم الأقطار من رأس واحد، ومجموع زوايا المثلث الواحد ١٨٠°.

الشرح: ١. في المضلع الثماني (٨ أضلاع)، يمكن رسم جميع الأقطار الممكنة من رأس واحد. ٢. عدد المثلثات الناتجة = عدد الأضلاع - ٢ = ٨ - ٢ = ٦ مثلثات. ٣. مجموع زوايا كل مثلث = ١٨٠°. ٤. إذن المجموع الكلي = ٦ × ١٨٠° = ١٠٨٠°.

تلميح: فكر في كيفية تقسيم المضلع إلى مثلثات باستخدام الأقطار من رأس واحد.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما الخطوات الجبرية لإثبات أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع يساوي دائمًا ٣٦٠°؟

أ) بإثبات أن كل زاوية خارجية = ٣٦٠/ن، ومجموعها = ن × (٣٦٠/ن) = ٣٦٠.
ب) مجموع (الزاوية الداخلية + الخارجية) عند كل رأس = ١٨٠°. الإجمالي لـ ن رأسًا = ١٨٠ن. نطرح مجموع الزوايا الداخلية (ن-٢)١٨٠، فينتج ٣٦٠.
ج) باستخدام خاصية أن الزوايا الخارجية المتتالية حول المضلع تشكل دائرة كاملة قياسها ٣٦٠°.
د) بافتراض مضلع مثلثي وإثبات النظرية بالاستقراء الرياضي.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: مجموع (الزاوية الداخلية + الخارجية) عند كل رأس = ١٨٠°. الإجمالي لـ ن رأسًا = ١٨٠ن. نطرح مجموع الزوايا الداخلية (ن-٢)١٨٠، فينتج ٣٦٠.

الشرح: ١. عند كل رأس: الداخلية + الخارجية = ١٨٠°. ٢. لمضلع ذي ن ضلعًا: مجموع (الداخلية+الخارجية) = ١٨٠ن. ٣. مجموع الزوايا الداخلية = (ن-٢)×١٨٠. ٤. مجموع الزوايا الخارجية = ١٨٠ن - [(ن-٢)×١٨٠] = ١٨٠ن - ١٨٠ن + ٣٦٠ = ٣٦٠°.

تلميح: ابدأ بحقيقة أن الزاوية الخارجية والداخلية عند أي رأس متكاملتان (مجموعهما ١٨٠°).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

إذا كانت قياسات الزوايا الداخلية لعشاري هي: (س+٥)°، (س+١٠)°، (س+٢٠)°، (س+٣٠)°، (س+٣٥)°، (س+٤٠)°، (س+٦٠)°، (س+٧٠)°، (س+٨٠)°، (س+٩٠)°، فما قيمة س؟

أ) س = ٧٥
ب) س = ١٠٠
ج) س = ٨٠
د) س = ٩٠

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = ١٠٠

الشرح: ١. مجموع زوايا العشاري = (١٠-٢)×١٨٠ = ١٤٤٠°. ٢. مجموع التعبيرات: (س+٥)+(س+١٠)+...+(س+٩٠) = ١٠س + (٥+١٠+٢٠+٣٠+٣٥+٤٠+٦٠+٧٠+٨٠+٩٠) = ١٠س + ٤٤٠. ٣. المعادلة: ١٠س + ٤٤٠ = ١٤٤٠. ٤. ١٠س = ١٠٠٠، إذن س = ١٠٠.

تلميح: مجموع زوايا العشاري الداخلية = (١٠-٢)×١٨٠ = ١٤٤٠°. اجمع التعبيرات الجبرية واجعلها تساوي هذا المجموع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أوجد قياس زاوية خارجية وزاوية داخلية للمضلع المنتظم ذي ١٣ ضلعًا، وقرب إجابتك إلى أقرب عشر.

أ) الزاوية الخارجية = ٢٧.٧°، الزاوية الداخلية = ١٥٢.٣°
ب) الزاوية الخارجية = ٢٧.٧°، الزاوية الداخلية = ١٢٨.٦°
ج) الزاوية الخارجية = ٣٦°، الزاوية الداخلية = ١٤٤°
د) الزاوية الخارجية = ٢٥°، الزاوية الداخلية = ١٥٥°

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: الزاوية الخارجية = ٢٧.٧°، الزاوية الداخلية = ١٥٢.٣°

الشرح: ١. عدد الأضلاع (ن) = ١٣. ٢. الزاوية الخارجية = ٣٦٠ ÷ ١٣ ≈ ٢٧.٦٩٢٣. ٣. بالتقريب لأقرب عشر: ٢٧.٧°. ٤. الزاوية الداخلية = ١٨٠ - ٢٧.٧ = ١٥٢.٣°.

تلميح: تذكر: قياس الزاوية الخارجية = ٣٦٠ ÷ عدد الأضلاع، والزاوية الداخلية = ١٨٠ - الزاوية الخارجية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أثبت أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الثماني يساوي ١٠٨٠°، دون استعمال صيغة مجموع الزوايا الداخلية للمضلع.

أ) باستخدام الصيغة (ن-٢)×١٨٠ حيث ن=٨، الناتج ١٠٨٠°.
ب) يمكن تقسيم المضلع الثماني إلى ٦ مثلثات عن طريق رسم الأقطار من رأس واحد، ومجموع زوايا كل مثلث ١٨٠°، فيكون المجموع = ٦ × ١٨٠° = ١٠٨٠°.
ج) بما أن الزاوية الداخلية للثماني المنتظم ١٣٥°، وعدد الزوايا ٨، فإن المجموع = ١٣٥ × ٨ = ١٠٨٠°.
د) ينقسم المضلع الثماني إلى ٨ مثلثات، ومجموع زواياه = ٨ × ١٨٠° = ١٤٤٠°.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يمكن تقسيم المضلع الثماني إلى ٦ مثلثات عن طريق رسم الأقطار من رأس واحد، ومجموع زوايا كل مثلث ١٨٠°، فيكون المجموع = ٦ × ١٨٠° = ١٠٨٠°.

الشرح: ١. المضلع الثماني له ٨ أضلاع. ٢. عند رسم جميع الأقطار الممكنة من رأس واحد، ينقسم المضلع إلى عدد من المثلثات = عدد الأضلاع - ٢ = ٨ - ٢ = ٦ مثلثات. ٣. مجموع زوايا كل مثلث = ١٨٠°. ٤. إذن مجموع زوايا المضلع الثماني = ٦ × ١٨٠° = ١٠٨٠°.

تلميح: فكر في كيفية تقسيم المضلع إلى مثلثات عن طريق رسم الأقطار من رأس واحد فقط.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

برهان: استعمل الجبر لإثبات نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع.

أ) مجموع الزوايا الخارجية = ١٨٠° لأي مضلع.
ب) مجموع الزوايا الخارجية = ٣٦٠° لأي مضلع.
ج) مجموع الزوايا الخارجية = (ن-٢)×١٨٠°، حيث ن عدد الأضلاع.
د) مجموع الزوايا الخارجية = ٧٢٠° لأي مضلع.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: مجموع الزوايا الخارجية = ٣٦٠° لأي مضلع.

الشرح: ١. لكل رأس في مضلع ذي (ن) ضلعاً: زاوية داخلية + زاوية خارجية = ١٨٠°. ٢. مجموع جميع (الداخلية + الخارجية) = ١٨٠ن. ٣. مجموع الزوايا الداخلية = (ن-٢)×١٨٠. ٤. بطرح (٢) من (١): مجموع الخارجية = ١٨٠ن - [(ن-٢)×١٨٠] = ١٨٠ن - ١٨٠ن + ٣٦٠ = ٣٦٠°.

تلميح: تذكر أن كل زاوية خارجية هي مكملة للزاوية الداخلية المجاورة لها (مجموعهما ١٨٠°).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

في متوازي الأضلاع، ما العلاقة بين كل زاويتين متقابلتين؟

أ) متساويتان في القياس
ب) مجموعهما ١٨٠°
ج) مختلفتان ولا توجد علاقة ثابتة
د) إحداهما ضعف الأخرى

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: متساويتان في القياس

الشرح: في أي متوازي أضلاع، الزوايا المتقابلة متساوية في القياس. هذه خاصية أساسية تنتج من توازي الأضلاع المتقابلة وتكامل الزوايا المتجاورة.

تلميح: تذكر خصائص متوازي الأضلاع الناتج عن تقاطع زوجين من المستقيمات المتوازية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في متوازي الأضلاع، ما العلاقة بين كل زاويتين متحالفتين (متجاورتين)؟

أ) مجموعهما ٩٠°
ب) مجموعهما ١٨٠° (متكاملتان)
ج) متساويتان
د) مجموعهما ٣٦٠°

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: مجموعهما ١٨٠° (متكاملتان)

الشرح: في متوازي الأضلاع، كل زاويتين متحالفتين (متجاورتين) متكاملتان؛ أي أن مجموع قياسيهما يساوي ١٨٠°. وذلك لأنها زاويتان داخليتان على نفس الجانب من قاطع يقطع مستقيمين متوازيين.

تلميح: الزوايا المتحالفة تقع على نفس الضلع. فكر في علاقتها نظراً لتوازي الأضلاع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في متوازي الأضلاع، ما العلاقة بين كل ضلعين متقابلين؟

أ) مختلفان في الطول
ب) متساويان في الطول
ج) أحدهما ضعف الآخر
د) محصوران بين قيمتين

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: متساويان في الطول

الشرح: في متوازي الأضلاع، الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية في الطول. هذه خاصية تعريفية لمتوازي الأضلاع تنتج من طبيعة بنائه الهندسي.

تلميح: الشكل الناتج عن تقاطع زوجين من المستقيمات المتوازية له أضلاع متقابلة متوازية. ما العلاقة في أطوالها؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في الشكل الرباعي الناتج عن تقاطع زوجين من المستقيمات المتوازية، ما العلاقة بين كل زاويتين متقابلتين؟

أ) متكاملتان (مجموعهما ١٨٠°)
ب) متطابقتان (قياسهما متساوٍ)
ج) متعامدتان
د) مختلفتان تمامًا ولا توجد علاقة ثابتة

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: متطابقتان (قياسهما متساوٍ)

الشرح: ١. عندما يتقاطع زوجان من المستقيمات المتوازية، يتكون شكل رباعي (متوازي أضلاع). ٢. من خصائص متوازي الأضلاع أن كل زاويتين متقابلتين فيه متطابقتان. ٣. لذلك، العلاقة بين الزاويتين المتقابلتين هي التطابق (التساوي في القياس).

تلميح: تذكر خصائص متوازي الأضلاع. الشكل الناتج عن تقاطع زوجين من المستقيمات المتوازية هو متوازي أضلاع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في الشكل الرباعي الناتج عن تقاطع زوجين من المستقيمات المتوازية، ما العلاقة بين كل زاويتين متحالفتين؟

أ) متطابقتان
ب) متعامدتان
ج) متكاملتان (مجموعهما ١٨٠°)
د) مختلفتان ولا توجد علاقة ثابتة

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: متكاملتان (مجموعهما ١٨٠°)

الشرح: ١. الشكل الناتج عن تقاطع زوجين من المستقيمات المتوازية هو متوازي أضلاع. ٢. في متوازي الأضلاع، كل زاويتين متحالفتين (متجاورتين على نفس الضلع) هما زاويتان داخليتان على نفس الجهة من القاطع. ٣. مجموع قياس الزاويتين المتحالفتين يساوي ١٨٠ درجة (متكاملتان).

تلميح: تذكر خصائص متوازي الأضلاع. الزوايا المتحالفة هي الزوايا المتجاورة على نفس الضلع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في الشكل الرباعي الناتج عن تقاطع زوجين من المستقيمات المتوازية، ما العلاقة بين كل ضلعين متقابلين؟

أ) متوازيان فقط ولكن ليسا متساويين في الطول
ب) متطابقان (متساويان في الطول)
ج) متعامدان
د) أحدهما دائمًا ضعف طول الآخر

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: متطابقان (متساويان في الطول)

الشرح: ١. تقاطع زوجين من المستقيمات المتوازية يُنتج متوازي أضلاع. ٢. من الخصائص الأساسية لمتوازي الأضلاع أن كل ضلعين متقابلين فيه متطابقان (متساويان في الطول). ٣. هذه العلاقة صحيحة لأي متوازي أضلاع، بما في ذلك المستطيل والمربع والمعين.

تلميح: تذكر أحد الخصائص الأساسية لمتوازي الأضلاع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما العلاقة بين كل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي الناتج عن تقاطع زوجين من المستقيمات المتوازية؟

أ) متكاملتان (مجموعهما ١٨٠°)
ب) متساويتان في القياس
ج) مختلفتان ولا توجد علاقة ثابتة
د) متتامتان (مجموعهما ٩٠°)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: متساويتان في القياس

الشرح: عند تقاطع زوجين من المستقيمات المتوازية، يتكون شكل رباعي (متوازي أضلاع). من خصائص متوازي الأضلاع أن كل زاويتين متقابلتين فيه متساويتان في القياس.

تلميح: تذكر خصائص الأشكال الناتجة عن تقاطع مستقيمات متوازية. الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما العلاقة بين كل زاويتين متحالفتين (متجاورتين) في الشكل الرباعي الناتج عن تقاطع زوجين من المستقيمات المتوازية؟

أ) متساويتان في القياس
ب) متتامتان (مجموعهما ٩٠°)
ج) متكاملتان (مجموعهما ١٨٠°)
د) مختلفتان ولا توجد علاقة ثابتة

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: متكاملتان (مجموعهما ١٨٠°)

الشرح: في الشكل الرباعي الناتج (متوازي الأضلاع)، تكون الزوايا المتجاورة على ضلع واحد متكاملتين، أي أن مجموع قياسيهما يساوي ١٨٠ درجة. هذه خاصية من خواص متوازي الأضلاع.

تلميح: الزوايا المتحالفة في متوازي الأضلاع. تذكر أن مجموع الزوايا الداخلية لأي رباعي هو ٣٦٠°.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما العلاقة بين كل ضلعين متقابلين في الشكل الرباعي الناتج عن تقاطع زوجين من المستقيمات المتوازية؟

أ) متعامدان
ب) متساويان في الطول
ج) مختلفان في الطول ولا توجد علاقة
د) أحدهما ضعف الآخر

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: متساويان في الطول

الشرح: الشكل الناتج عن تقاطع زوجين من المستقيمات المتوازية هو متوازي أضلاع. من أهم خصائص متوازي الأضلاع أن كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان ومتساويان في الطول.

تلميح: فكر في تعريف متوازي الأضلاع وخصائص أضلاعه.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل