مفهوم أساسي - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 التماثل الدوراني

المفاهيم الأساسية

التماثل الدوراني (التماثل نصف القطري): يكون للشكل الثنائي الأبعاد تماثل دوراني إذا كانت صورته الناتجة عن دوران بين 0° و 360° حول مركزه هي الشكل نفسه.

مركز التماثل (نقطة التماثل): مركز الدوران الذي ينطبق عنده الشكل على نفسه.

رتبة التماثل: عدد المرات التي تنطبق فيها صورة الشكل على الشكل نفسه أثناء دورانه من 0° إلى 360°.

مقدار التماثل (زاوية الدوران): قياس أصغر زاوية يدورها الشكل حتى ينطبق على نفسه.

التماثل حول نقطة: يكون الشكل متماثلاً حول نقطة إذا كانت صورته الناتجة عن الدوران حول تلك النقطة بزاوية 180° هي الشكل نفسه.

خريطة المفاهيم

```markmap

التبليط (Tessellation)

التعريف

• نمط يغطي سطحًا دون فراغات أو تقاطعات
• مجموع الزوايا حول كل رأس = 360°

أنواع التبليط

التبليط المنتظم

• يستخدم نوع واحد من المضلعات المنتظمة
• شرط التبليط: قياس الزاوية الداخلية للمضلع أحد عوامل 360

التبليط شبه المنتظم

• يستخدم أكثر من نوع من المضلعات المنتظمة

التبليط غير المنتظم

• يستخدم مضلعات غير منتظمة

خاصية الاتساق

• تبليط متسق: نفس ترتيب الأشكال والزوايا عند كل رأس
• تبليط غير متسق: يختلف الترتيب عند الرؤوس

رسم التبليط

• يمكن استخدام خصائص التبليط لتصميم وإنشاء أشكال تبليط مختلفة
• تستخدم التحويلات الهندسية (الدوران، الإزاحة) لإنشاء التبليط

إنشاء شكل باستخدام TI-nspire

الخطوة 1: رسم قطعة مستقيمة AB

• فتح تطبيق الهندسة
• استخدام أمر "قطعة مستقيمة"
• تسمية الطرفين A و B

الخطوة 2: رسم مستقيم موازٍ لـ AB

• رسم نقطة C أسفل AB
• استخدام أمر "مستقيم موازي" لرسم مستقيم يمر بـ C ويوازي AB

الخطوة 3: رسم مستقيم موازٍ لـ BC وإكمال متوازي الأضلاع

• رسم القطعة BC
• رسم مستقيم موازٍ لـ BC ويمر بالنقطة A
• إيجاد نقطة التقاطع D لتكوين متوازي الأضلاع ABCD

الخطوة 4: إخفاء قطع وإضافة نقطة

• إخفاء القطعة BC والمستقيم AD
• رسم نقطة E عن يمين BC
• رسم القطعتين BE و CE

الخطوة 5: رسم مستقيمات موازية

• رسم مستقيم يمر بـ A ويوازي BE
• رسم مستقيم يمر بـ D ويوازي CE
• تحديد نقطة تقاطع المستقيمين الجديدين وتسميتها F

الخطوة 6: تكوين مضلع سداسي

• إخفاء المستقيمات AF و DF و DC
• استخدام أمر "المضلع" لتكوين مضلع سداسي من الرؤوس A, B, C, E, F, D

الخطوة 7: اسحب المضلع (انسحاب)

• الضغط على menu
• اختيار 8: التحويل الهندسي ثم 3: الانسحاب
• الضغط على أحد رؤوس المضلع ثم على المضلع نفسه لعمل نسخة
• سحب النسخة للمكان المناسب والضغط على مفتاح الإدخال لإفلاتها
• تكرار العملية للحصول على التبليط

الخطوة 8: لون التبليط

• تحديد كل مضلع
• الضغط على ctrl ثم menu
• اختيار 2: لون التعبئة واختيار لون

التماثل (Symmetry)

التعريف العام

• خاصية للأشياء (أشكال هندسية، معادلات، كائنات طبيعية)
• يوجد إذا وُجد انعكاس أو إزاحة أو دوران أو تركيب إزاحة وانعكاس ينتج صورة منطبقة على الشكل نفسه

التماثل حول محور (Line Symmetry)

• خاصية للشكل الثنائي الأبعاد
• شرطه: انعكاس الشكل حول مستقيم (محور) يعطي الشكل نفسه
• المستقيم يسمى محور التماثل

أمثلة من الطبيعة

• السلحفاة: تماثل حول محور واحد (أيمن/أيسر)
• قنديل البحر: تماثل دوراني أو تماثل حول عدة محاور

التماثل الدوراني (Rotational Symmetry)

#### التعريف

• خاصية للشكل الثنائي الأبعاد
• شرطه: دوران الشكل بين 0° و 360° حول مركزه يعطي الشكل نفسه

#### المفاهيم المرتبطة

• مركز التماثل (نقطة التماثل): مركز الدوران
• رتبة التماثل: عدد مرات الانطباق خلال دورة كاملة
• مقدار التماثل (زاوية الدوران): أصغر زاوية للانطباق

#### العلاقة الأساسية

• مقدار التماثل = 360° ÷ رتبة التماثل

#### التماثل حول نقطة

• حالة خاصة من التماثل الدوراني
• مقدار التماثل = 180°
• رتبة التماثل = 2

```

نقاط مهمة

• العلاقة بين رتبة التماثل ومقداره: مقدار التماثل = 360° ÷ رتبة التماثل.
• المربع له تماثل دوراني برتبة 4 ومقدار 90°.
• الشكل قد يكون له تماثل دوراني برتبة 1 (دوران 360° فقط).

---

حل مثال

مثال 2: تعيين التماثل الدوراني

بين ما إذا كان للشكل تماثل دوراني أم لا، وإذا كان كذلك، فعين مركز التماثل، وحدد رتبته ومقداره في كل مما يأتي:

أ) شكل سداسي منتظم

• الجواب: نعم؛ للسداسي المنتظم تماثل دوراني.
• مركز التماثل: نقطة تقاطع أقطاره.
• رتبة التماثل: 6
• مقدار التماثل: 360° ÷ 6 = 60°

ب) مثلث قائم الزاوية

• الجواب: لا؛ لا يوجد دوران بزاوية بين 0° و 360° تنطبق فيه صورة المثلث القائم الزاوية على نفسه.

ج) شكل غير منتظم (شكل حرف S أو Z)

• الجواب: نعم؛ لهذا الشكل تماثل دوراني.
• مركز التماثل: نقطة تقاطع قطريه.
• رتبة التماثل: 2
• مقدار التماثل: 360° ÷ 2 = 180°

---

تحقق من فهمك

تمرين: أزهار

بين ما إذا كان يبدو لصورة الزهرة تماثل دوراني أم لا، وإذا كان كذلك، فعين مركز التماثل، وحدد رتبته ومقداره في كل مما يأتي:

2A) صورة زهرة البلوميريا (ذات 5 بتلات)

(يجب على الطالب تحليل الصورة. الاستنتاج المتوقع بناءً على الشكل النموذجي):

• الجواب المتوقع: نعم؛ لها تماثل دوراني.
• مركز التماثل المتوقع: مركز الزهرة.
• رتبة التماثل المتوقعة: 5
• مقدار التماثل المتوقع: 360° ÷ 5 = 72°

2B) صورة زهرة الكوزموس (ذات 8 بتلات)

(يجب على الطالب تحليل الصورة. الاستنتاج المتوقع بناءً على الشكل النموذجي):

• الجواب المتوقع: نعم؛ لها تماثل دوراني.
• مركز التماثل المتوقع: مركز الزهرة.
• رتبة التماثل المتوقعة: 8
• مقدار التماثل المتوقع: 360° ÷ 8 = 45°

وهناك نوع آخر من التماثل هو التماثل الدوراني.

مفهوم أساسي

أضف إلى مطويتك

التماثل الدوراني

يكون للشكل الثنائي الأبعاد تماثل دوراني (أو تماثل نصف قطري) إذا كانت صورته الناتجة عن دوران بين 0° و 360° حول مركزه هي الشكل نفسه، ويسمى مركز الدوران في هذه الحالة مركز التماثل (أو نقطة التماثل). أمثلة: المربع الآتي له تماثل دوراني؛ لأن الدوران بكل من الزوايا 0°، 90°، 180°، 270°، 360° ينتج عنه الشكل نفسه.

يطلق على عدد المرات التي تنطبق فيها صورة الشكل على الشكل نفسه في أثناء دورانه من 0° إلى 360° اسم رتبة التماثل، أما مقدار التماثل (أو زاوية الدوران) فهو قياس أصغر زاوية يدورها الشكل حتى ينطبق على نفسه، ويرتبط مقدار التماثل ورتبته بالعلاقة: مقدار التماثل يساوي ناتج قسمة 360° على رتبة التماثل. ففي الشكل أعلاه، رتبة التماثل الدوراني 4، ومقدار التماثل 90°.

مثال 2

تعيين التماثل الدوراني

بين ما إذا كان للشكل تماثل دوراني أم لا، وإذا كان كذلك، فعين مركز التماثل، وحدد رتبته ومقداره في كل مما يأتي:

إرشادات للدراسة التماثل حول نقطة: يكون الشكل متماثلاً حول نقطة، إذا كانت صورته الناتجة عن الدوران حول تلك النقطة بزاوية 180° هي الشكل نفسه. يحقق الشكل أدناه خاصية التماثل حول نقطة.

تحقق من فهمك

أزهار: بين ما إذا كان يبدو لصورة الزهرة تماثل دوراني أم لا، وإذا كان كذلك، فعين مركز التماثل، وحدد رتبته ومقداره في كل مما يأتي:

وزارة التعليم

الدرس 5-7 التماثل / 155

وهناك نوع آخر من التماثل هو التماثل الدوراني. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك التماثل الدوراني يكون للشكل الثنائي الأبعاد تماثل دوراني (أو تماثل نصف قطري) إذا كانت صورته الناتجة عن دوران بين 0° و 360° حول مركزه هي الشكل نفسه، ويسمى مركز الدوران في هذه الحالة مركز التماثل (أو نقطة التماثل). أمثلة: المربع الآتي له تماثل دوراني؛ لأن الدوران بكل من الزوايا 0°، 90°، 180°، 270°، 360° ينتج عنه الشكل نفسه. يطلق على عدد المرات التي تنطبق فيها صورة الشكل على الشكل نفسه في أثناء دورانه من 0° إلى 360° اسم رتبة التماثل، أما مقدار التماثل (أو زاوية الدوران) فهو قياس أصغر زاوية يدورها الشكل حتى ينطبق على نفسه، ويرتبط مقدار التماثل ورتبته بالعلاقة: مقدار التماثل يساوي ناتج قسمة 360° على رتبة التماثل. ففي الشكل أعلاه، رتبة التماثل الدوراني 4، ومقدار التماثل 90°. --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 --- SECTION: تعيين التماثل الدوراني --- تعيين التماثل الدوراني بين ما إذا كان للشكل تماثل دوراني أم لا، وإذا كان كذلك، فعين مركز التماثل، وحدد رتبته ومقداره في كل مما يأتي: a. نعم؛ للسداسي المنتظم تماثل دوراني. مركز التماثل هو نقطة تقاطع أقطاره. رتبة التماثل = 6 مقدار التماثل = 360° ÷ 6 = 60° b. لا؛ لا يوجد دوران بزاوية بين 0° و 360° تنطبق فيه صورة المثلث القائم الزاوية على نفسه. c. نعم؛ لهذا الشكل تماثل دوراني. مركز التماثل هو نقطة تقاطع قطريه. رتبة التماثل = 2 مقدار التماثل = 360° ÷ 2 = 180° --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة التماثل حول نقطة: يكون الشكل متماثلاً حول نقطة، إذا كانت صورته الناتجة عن الدوران حول تلك النقطة بزاوية 180° هي الشكل نفسه. يحقق الشكل أدناه خاصية التماثل حول نقطة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: أزهار --- أزهار: بين ما إذا كان يبدو لصورة الزهرة تماثل دوراني أم لا، وإذا كان كذلك، فعين مركز التماثل، وحدد رتبته ومقداره في كل مما يأتي: 2A. صورة زهرة البلوميريا 2B. صورة زهرة الكوزموس وزارة التعليم الدرس 5-7 التماثل / 155 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A blue square with a red dot at its geometric center. A curved arrow indicates a 360° clockwise rotation, returning the square to its original position, which is shown by dashed lines. Key Values: Rotation angle: 360° Context: Illustrates that a 360° rotation always maps a shape onto itself, a fundamental aspect of rotational symmetry. **DIAGRAM**: Untitled Description: A blue square with a red dot at its geometric center. A curved arrow indicates a 270° clockwise rotation. Dashed lines show the original orientation, and solid lines show the rotated position, which aligns perfectly with the original square. Key Values: Rotation angle: 270° Context: Illustrates one of the angles of rotation (270°) for a square where it maps onto itself, demonstrating rotational symmetry. **DIAGRAM**: Untitled Description: A blue square with a red dot at its geometric center. A curved arrow indicates a 180° clockwise rotation. Dashed lines show the original orientation, and solid lines show the rotated position, which aligns perfectly with the original square. Key Values: Rotation angle: 180° Context: Illustrates one of the angles of rotation (180°) for a square where it maps onto itself, demonstrating rotational symmetry. **DIAGRAM**: Untitled Description: A regular hexagon with dashed lines indicating its diagonals, which intersect at the center of the hexagon. A curved arrow indicates a 60° rotation around this center. Key Values: Rotation angle: 60° Context: Example 2a demonstrates a regular hexagon having rotational symmetry with an order of 6 and a magnitude of 60°. **DIAGRAM**: Untitled Description: A right-angled triangle, oriented with its right angle at the bottom-left vertex. No rotational symmetry is indicated. Context: Example 2b illustrates a right-angled triangle, which typically does not possess rotational symmetry between 0° and 360°. **DIAGRAM**: Untitled Description: An irregular, somewhat S-shaped or Z-shaped figure. Dashed lines indicate its diagonals intersecting at the center of symmetry. A curved arrow indicates a 180° rotation around this center. Key Values: Rotation angle: 180° Context: Example 2c demonstrates an irregular shape having rotational symmetry with an order of 2 and a magnitude of 180°. **DIAGRAM**: Untitled Description: A rectangle with a point labeled 'نقطة التماثل' (point of symmetry) at its geometric center. The diagram illustrates the concept of point symmetry. Context: This diagram illustrates the concept of point symmetry, which occurs when a shape maps onto itself after a 180° rotation around a central point. **IMAGE**: Untitled Description: An image of a white and yellow plumeria flower, typically having five petals arranged in a radially symmetric pattern. Context: Exercise 2A asks the student to determine if this plumeria flower image exhibits rotational symmetry, identify its center, order, and magnitude of symmetry. **IMAGE**: Untitled Description: An image of a pink cosmos flower, typically having eight petals arranged in a radially symmetric pattern. Context: Exercise 2B asks the student to determine if this cosmos flower image exhibits rotational symmetry, identify its center, order, and magnitude of symmetry.