مثال 2 من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 التمدد (معامل مقياس التمدد)

المفاهيم الأساسية

معامل مقياس التمدد (k): هو النسبة بين أبعاد الصورة (الشكل الجديد) وأبعاد الشكل الأصلي.

التمدد المطابق: هو تمدد معامله يساوي 1، ويكون الشكل الأصلي وصورته متطابقين.

خريطة المفاهيم

```markmap

معامل مقياس التمدد (k)

k > 1

التمدد تكبير

أبعاد الصورة > أبعاد الأصل

0 < k < 1

التمدد تصغير

أبعاد الصورة < أبعاد الأصل

k = 1

تمدد مطابق

الشكل وصورته متطابقان

إيجاد المعامل

k = طول الصورة / طول الأصل

CP' = k × CP

CP + PP' = CP'

```

نقاط مهمة

• إذا كان `k > 1`، فالتمدد تكبير وتكون الصورة أكبر من الأصل.
• إذا كان `0 < k < 1`، فالتمدد تصغير وتكون الصورة أصغر من الأصل.
• يمكن استخدام التقدير للتحقق من معقولية الإجابة وتجنب الأخطاء.
• في التطبيقات العملية (مثل جهاز تكبير الصور)، نستخدم معامل التمدد لحساب المسافات المطلوبة.

---

حل مثال (مثال 2: تصوير)

المعطيات:

• مركز التمدد (مصدر الضوء): `C`
• طول المسودة (الشكل الأصلي): `XY = 35 mm`
• طول الصورة المكبرة: `X'Y' = 22.75 cm = 227.5 mm`
• المسافة من المصدر إلى المسودة: `CP = 45 mm`

المطلوب: إيجاد المسافة `PP'` التي يجب ضبط الجهاز عليها بين المسودة والصورة المكبرة.

خطوات الحل:

إيجاد معامل التمدد (k):

`k = طول الصورة / طول الأصل = 227.5 / 35 = 6.5`

إيجاد المسافة `CP'` (من المصدر إلى الصورة):

`CP' = k × CP = 6.5 × 45 = 292.5 mm`

إيجاد المسافة `PP'` (بين المسودة والصورة):

باستخدام مسلمة جمع القطع المستقيمة: `CP + PP' = CP'`

`45 + PP' = 292.5`

`PP' = 292.5 - 45 = 247.5 mm` أو `24.75 cm`

التحقق: بما أن التمدد تكبير، يجب أن يكون `k > 1`، و `6.5 > 1`، إذن الإجابة معقولة.

من تعريف معامل مقياس التمدد، تجد أنه إذا كان معامل مقياس التمدد k أكبر من 1 ، فإن أبعاد الصورة أكبر من الأبعاد المناظرة لها في الشكل الأصلي وعندما يكون التمدد تكبيرا. وإذا كان 0<k<1 ، فإن أبعاد الصورة تكون أصغر من الأبعاد المناظرة لها في الشكل الأصلي، وعندما يكون التمدد تصغيرا. وبما أن 1/2 يقع بين 0 و 1 ، فإن التمدد في المثال 1 تصغير. ويسمى التمدد الذي معامله 1 تمددا مطابقا؛ إذ يكون الشكل الأصلي وصورته متطابقين.

مثال 2 من واقع الحياة

إيجاد معامل مقياس التمدد

إرشادات لحل المسألة استعمال التقدير: لتجنب الأخطاء غير المقصودة في حساباتك، قدر إجابة السؤال قبل الشروع في الحل. يمكنك أن تقدر معامل مقياس التمدد في المثال 2 بحوالي 240/40 أو 6 وبذلك يكون CP' (50) 6 أي 300 تقريبا. ويكون PP' 50 - 300 أي 250 mm تقريبا، أو 25 cm. والإجابة 24.7 cm قريبة من الإجابة المقدرة؛ لذا فإن الإجابة معقولة.

تصوير: لإنتاج صور مكبرة، يمكن أن تُعدّل المسافة بين مسودة الصورة والصورة المكبرة باستعمال جهاز تكبير الصور. افترض أن المسافة CP بين مصدر الضوء C ومسودة الصورة تساوي 45 mm ، وصورة عرضها 22.75 cm = 'X'Y' من مسودة عرضها 35 mm = XY؟ ما المسافة 'PP التي يلزم أن يُعدّل إليها جهاز تكبير الصور للحصول على

افهم: المعطيات: مركز التمدد C ، XY = 35 mm ، 'X'Y' = 22.75 cm = 227.5 mm ، CP = 45 mm

المطلوب: إيجاد 'PP

خطط: أوجد معامل مقياس التمدد من الشكل الأصلي XY إلى الصورة 'X'Y' ، واستعمله لإيجاد 'CP ، ثم استعمل CP و 'CP لإيجاد 'PP.

حل: معامل مقياس تمدد الصورة k = طول الصورة / طول الأصل = 227.5 / 35 = 6.5 استعمل معامل مقياس التمدد لإيجاد 'CP. تعريف التمدد CP' = k(CP) = 6.5(45) = 292.5 استعمل CP و CP' لإيجاد 'PP. مسلمة جمع القطع المستقيمة CP + PP' = CP' 45 + PP' = 292.5 بطرح 45 من الطرفين PP' = 247.5 يجب أن يُعدّل جهاز تكبير الصور، بحيث تكون المسافة 'PP بين المسودة والصورة المكبرة 247.5 mm أو 24.75 cm.

تحقق: بما أن هذا التمدد تكبير، إذن يجب أن يكون معامله أكبر من 1 ، وبما أن 6.5 > 1 ، فإن معامل مقياس التمدد معقول. ✓

وزارة التعليم الدرس 6-7 التمدد 161 2025 - 1447

من تعريف معامل مقياس التمدد، تجد أنه إذا كان معامل مقياس التمدد k أكبر من 1 ، فإن أبعاد الصورة أكبر من الأبعاد المناظرة لها في الشكل الأصلي وعندما يكون التمدد تكبيرا. وإذا كان 0<k<1 ، فإن أبعاد الصورة تكون أصغر من الأبعاد المناظرة لها في الشكل الأصلي، وعندما يكون التمدد تصغيرا. وبما أن 1/2 يقع بين 0 و 1 ، فإن التمدد في المثال 1 تصغير. ويسمى التمدد الذي معامله 1 تمددا مطابقا؛ إذ يكون الشكل الأصلي وصورته متطابقين. --- SECTION: مثال 2 من واقع الحياة --- مثال 2 من واقع الحياة --- SECTION: إيجاد معامل مقياس التمدد --- إيجاد معامل مقياس التمدد --- SECTION: إرشادات لحل المسألة --- إرشادات لحل المسألة استعمال التقدير: لتجنب الأخطاء غير المقصودة في حساباتك، قدر إجابة السؤال قبل الشروع في الحل. يمكنك أن تقدر معامل مقياس التمدد في المثال 2 بحوالي 240/40 أو 6 وبذلك يكون CP' (50) 6 أي 300 تقريبا. ويكون PP' 50 - 300 أي 250 mm تقريبا، أو 25 cm. والإجابة 24.7 cm قريبة من الإجابة المقدرة؛ لذا فإن الإجابة معقولة. --- SECTION: تصوير --- تصوير: لإنتاج صور مكبرة، يمكن أن تُعدّل المسافة بين مسودة الصورة والصورة المكبرة باستعمال جهاز تكبير الصور. افترض أن المسافة CP بين مصدر الضوء C ومسودة الصورة تساوي 45 mm ، وصورة عرضها 22.75 cm = 'X'Y' من مسودة عرضها 35 mm = XY؟ ما المسافة 'PP التي يلزم أن يُعدّل إليها جهاز تكبير الصور للحصول على --- SECTION: افهم --- افهم: المعطيات: مركز التمدد C ، XY = 35 mm ، 'X'Y' = 22.75 cm = 227.5 mm ، CP = 45 mm --- SECTION: المطلوب --- المطلوب: إيجاد 'PP --- SECTION: خطط --- خطط: أوجد معامل مقياس التمدد من الشكل الأصلي XY إلى الصورة 'X'Y' ، واستعمله لإيجاد 'CP ، ثم استعمل CP و 'CP لإيجاد 'PP. --- SECTION: حل --- حل: معامل مقياس تمدد الصورة k = طول الصورة / طول الأصل = 227.5 / 35 = 6.5 استعمل معامل مقياس التمدد لإيجاد 'CP. تعريف التمدد CP' = k(CP) = 6.5(45) = 292.5 استعمل CP و CP' لإيجاد 'PP. مسلمة جمع القطع المستقيمة CP + PP' = CP' 45 + PP' = 292.5 بطرح 45 من الطرفين PP' = 247.5 يجب أن يُعدّل جهاز تكبير الصور، بحيث تكون المسافة 'PP بين المسودة والصورة المكبرة 247.5 mm أو 24.75 cm. --- SECTION: تحقق --- تحقق: بما أن هذا التمدد تكبير، إذن يجب أن يكون معامله أكبر من 1 ، وبما أن 6.5 > 1 ، فإن معامل مقياس التمدد معقول. ✓ وزارة التعليم الدرس 6-7 التمدد 161 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: جهاز تكبير الصور Description: A diagram illustrating a projector setup for creating enlarged images. It shows a light source labeled 'C' at the top. Below 'C', there is a smaller rectangular object labeled 'XY'. Further below, there is a larger rectangular image labeled 'X'Y''. Light rays are depicted originating from 'C', passing through the edges of 'XY', and diverging to form 'X'Y''. The distance from the light source 'C' to the object 'XY' is labeled 'CP'. The distance from the light source 'C' to the image 'X'Y'' is labeled 'CP''. The distance between the object 'XY' and the image 'X'Y'' is labeled 'PP''. Table Structure: Headers: N/A X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: N/A Key Values: XY = 35 mm, X'Y' = 22.75 cm, CP = 45 mm Context: This diagram visually represents the geometric principles of dilation (enlargement) as applied in a projector. It helps to understand the relationship between the center of dilation (light source C), the original object (XY), and its dilated image (X'Y'), as well as the distances involved (CP, CP', PP') for calculating the scale factor and required adjustments.