المثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال ١٤: حشرات: طول كل من الحشرتين الآتيتين كما ترى تحت المجهر مكتوب على الصورة. إذا علمت طول الحشرة الحقيقي، فأوجد قوة التكبير المستعملة، ووضح إجابتك. (بق القطط: 3.75 cm, الطول الحقيقي: 2.5 mm)

الإجابة: قوة التكبير = ١٥

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - طول الحشرة تحت المجهر (الطول الظاهري): 3.75 cm - طول الحشرة الحقيقي: 2.5 mm
2. **الخطوة 2 (توحيد الوحدات):** يجب أن تكون الوحدات متطابقة لإجراء الحساب. سنحول السنتيمتر إلى مليمتر: $$3.75 \text{ cm} = 3.75 \times 10 \text{ mm} = 37.5 \text{ mm}$$
3. **الخطوة 3 (القانون):** نستخدم قانون قوة التكبير، وهو نسبة الطول الظاهري إلى الطول الحقيقي: $$\text{قوة التكبير} = \frac{\text{الطول الظاهري}}{\text{الطول الحقيقي}}$$
4. **الخطوة 4 (الحل):** بالتعويض بالقيم بعد توحيد الوحدات: $$\text{قوة التكبير} = \frac{37.5 \text{ mm}}{2.5 \text{ mm}} = 15$$
5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن قوة التكبير المستعملة هي: **15**

سؤال ١٥: حشرات: طول كل من الحشرتين الآتيتين كما ترى تحت المجهر مكتوب على الصورة. إذا علمت طول الحشرة الحقيقي، فأوجد قوة التكبير المستعملة، ووضح إجابتك. (العثة: 4.8 cm, الطول الحقيقي: 0.5 mm)

الإجابة: قوة التكبير = ٩,٦

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - طول الحشرة تحت المجهر (الطول الظاهري): 4.8 cm - طول الحشرة الحقيقي: 0.5 mm
2. **الخطوة 2 (توحيد الوحدات):** يجب أن تكون الوحدات متطابقة لإجراء الحساب. سنحول السنتيمتر إلى مليمتر: $$4.8 \text{ cm} = 4.8 \times 10 \text{ mm} = 48 \text{ mm}$$
3. **الخطوة 3 (القانون):** نستخدم قانون قوة التكبير، وهو نسبة الطول الظاهري إلى الطول الحقيقي: $$\text{قوة التكبير} = \frac{\text{الطول الظاهري}}{\text{الطول الحقيقي}}$$
4. **الخطوة 4 (الحل):** بالتعويض بالقيم بعد توحيد الوحدات: $$\text{قوة التكبير} = \frac{48 \text{ mm}}{0.5 \text{ mm}} = 9.6$$
5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن قوة التكبير المستعملة هي: **9.6**

سؤال ١٦: مثل بيانيا المضلع وصورته الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله العدد k المحدد في كل من الأسئلة الآتية: ١٦. k = 0.5 J(-8, 0), K(-4, 4), L(-2, 0)

الإجابة: J'(-4, 0), K'(-2, 2), L'(-1, 0)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا رؤوس المضلع J(-8, 0), K(-4, 4), L(-2, 0) ومعامل التمدد $k = 0.5$. مركز التمدد هو نقطة الأصل (0,0).
2. **الخطوة 2 (القانون):** عند إجراء تمدد لمركز نقطة الأصل (0,0) بمعامل $k$، فإن كل نقطة $(x, y)$ تتحول إلى $(kx, ky)$.
3. **الخطوة 3 (الحل):** نطبق القانون على كل رأس من رؤوس المضلع: - للنقطة J(-8, 0): $$J' = (0.5 \times -8, 0.5 \times 0) = (-4, 0)$$ - للنقطة K(-4, 4): $$K' = (0.5 \times -4, 0.5 \times 4) = (-2, 2)$$ - للنقطة L(-2, 0): $$L' = (0.5 \times -2, 0.5 \times 0) = (-1, 0)$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن صورة المضلع الناتجة عن التمدد هي: **J'(-4, 0), K'(-2, 2), L'(-1, 0)**

سؤال ١٧: مثل بيانيا المضلع وصورته الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله العدد k المحدد في كل من الأسئلة الآتية: ١٧. k = 0.75 D(4, 4), F(0, 0), G(8,0)

الإجابة: D'(3, 3), F'(0, 0), G'(6, 0)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا رؤوس المضلع D(4, 4), F(0, 0), G(8,0) ومعامل التمدد $k = 0.75$. مركز التمدد هو نقطة الأصل (0,0).
2. **الخطوة 2 (القانون):** عند إجراء تمدد لمركز نقطة الأصل (0,0) بمعامل $k$، فإن كل نقطة $(x, y)$ تتحول إلى $(kx, ky)$.
3. **الخطوة 3 (الحل):** نطبق القانون على كل رأس من رؤوس المضلع: - للنقطة D(4, 4): $$D' = (0.75 \times 4, 0.75 \times 4) = (3, 3)$$ - للنقطة F(0, 0): $$F' = (0.75 \times 0, 0.75 \times 0) = (0, 0)$$ - للنقطة G(8, 0): $$G' = (0.75 \times 8, 0.75 \times 0) = (6, 0)$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن صورة المضلع الناتجة عن التمدد هي: **D'(3, 3), F'(0, 0), G'(6, 0)**

سؤال ١٨: مثل بيانيا المضلع وصورته الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله العدد k المحدد في كل من الأسئلة الآتية: ١٨. k = 3 W(2, 2), X(2, 0), Y(0, 1), Z(1, 2)

الإجابة: W'(6, 6), X'(6, 0), Y'(0, 3), Z'(3, 6)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا رؤوس المضلع W(2, 2), X(2, 0), Y(0, 1), Z(1, 2) ومعامل التمدد $k = 3$. مركز التمدد هو نقطة الأصل (0,0).
2. **الخطوة 2 (القانون):** عند إجراء تمدد لمركز نقطة الأصل (0,0) بمعامل $k$، فإن كل نقطة $(x, y)$ تتحول إلى $(kx, ky)$.
3. **الخطوة 3 (الحل):** نطبق القانون على كل رأس من رؤوس المضلع: - للنقطة W(2, 2): $$W' = (3 \times 2, 3 \times 2) = (6, 6)$$ - للنقطة X(2, 0): $$X' = (3 \times 2, 3 \times 0) = (6, 0)$$ - للنقطة Y(0, 1): $$Y' = (3 \times 0, 3 \times 1) = (0, 3)$$ - للنقطة Z(1, 2): $$Z' = (3 \times 1, 3 \times 2) = (3, 6)$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن صورة المضلع الناتجة عن التمدد هي: **W'(6, 6), X'(6, 0), Y'(0, 3), Z'(3, 6)**

سؤال ١٩ أ: هندسة إحداثية : استعمل التمثيل البياني للمضلع FGHJ للإجابة عما يلي: أ) مثل بيانيا صورة FGHJ الناتجة عن تمدد معامله $\frac{1}{2}$ ومركزه نقطة الأصل، ثم انعكاس حول المحور x.

الإجابة:

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لإيجاد صورة المضلع FGHJ الناتجة عن تحويلين هندسيين مركبين، يجب تطبيق كل تحويل بالترتيب المحدد.
2. **الخطوة 2 (التطبيق - التمدد):** أولاً، نطبق التمدد بمعامل $\frac{1}{2}$ ومركزه نقطة الأصل. إذا كانت لدينا نقطة عامة $(x, y)$ من المضلع FGHJ، فإن صورتها بعد التمدد ستكون: $$(x, y) \xrightarrow{\text{تمدد بمعامل } \frac{1}{2}} (\frac{1}{2}x, \frac{1}{2}y)$$
3. **الخطوة 3 (التطبيق - الانعكاس):** ثانياً، نطبق الانعكاس حول المحور x على الصورة الناتجة من التمدد. إذا كانت النقطة بعد التمدد هي $(\frac{1}{2}x, \frac{1}{2}y)$، فإن صورتها بعد الانعكاس حول المحور x ستكون: $$(\frac{1}{2}x, \frac{1}{2}y) \xrightarrow{\text{انعكاس حول المحور x}} (\frac{1}{2}x, -\frac{1}{2}y)$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، كل نقطة $(x, y)$ من المضلع FGHJ ستتحول إلى $(\frac{1}{2}x, -\frac{1}{2}y)$. لتحديد الصورة النهائية، يجب تطبيق هذه القاعدة على إحداثيات رؤوس المضلع FGHJ الأصلية (والتي لم تُعطَ في السؤال).

سؤال ١٩ ب: نفذ التحويل المركب في الفرع a بعكس الترتيب.

الإجابة:

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لتنفيذ التحويل المركب بعكس الترتيب، نبدأ بالانعكاس ثم نطبق التمدد.
2. **الخطوة 2 (التطبيق - الانعكاس):** أولاً، نطبق الانعكاس حول المحور x. إذا كانت لدينا نقطة عامة $(x, y)$ من المضلع FGHJ، فإن صورتها بعد الانعكاس ستكون: $$(x, y) \xrightarrow{\text{انعكاس حول المحور x}} (x, -y)$$
3. **الخطوة 3 (التطبيق - التمدد):** ثانياً، نطبق التمدد بمعامل $\frac{1}{2}$ ومركزه نقطة الأصل على الصورة الناتجة من الانعكاس. إذا كانت النقطة بعد الانعكاس هي $(x, -y)$، فإن صورتها بعد التمدد ستكون: $$(x, -y) \xrightarrow{\text{تمدد بمعامل } \frac{1}{2}} (\frac{1}{2}x, \frac{1}{2}(-y)) = (\frac{1}{2}x, -\frac{1}{2}y)$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، كل نقطة $(x, y)$ من المضلع FGHJ ستتحول إلى $(\frac{1}{2}x, -\frac{1}{2}y)$. لتحديد الصورة النهائية، يجب تطبيق هذه القاعدة على إحداثيات رؤوس المضلع FGHJ الأصلية (والتي لم تُعطَ في السؤال).

سؤال ١٩ ج: هل يؤثر ترتيب التحويلين الهندسيين هنا في الصورة النهائية؟

الإجابة: لا يؤثر

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفحص النتائج من الفرعين (أ) و (ب). في الفرع (أ)، كانت القاعدة النهائية لتحويل النقطة $(x, y)$ هي $(\frac{1}{2}x, -\frac{1}{2}y)$. في الفرع (ب)، كانت القاعدة النهائية لتحويل النقطة $(x, y)$ هي أيضاً $(\frac{1}{2}x, -\frac{1}{2}y)$. بما أن القاعدة النهائية لتحويل أي نقطة هي نفسها في كلتا الحالتين، فإن ترتيب التحويلين الهندسيين (التمدد ثم الانعكاس، أو الانعكاس ثم التمدد) لا يؤثر على الصورة النهائية في هذه الحالة. ولذلك الإجابة هي: **لا يؤثر**

سؤال ١٩ د: هل يؤثر ترتيب تركيب التمدد والانعكاس في الصورة النهائية دائمًا أو أحيانًا أو أنه لا يؤثر عليها أبدًا؟

الإجابة: لا يؤثر

خطوات الحل:

1. **الشرح:** من خلال ملاحظتنا في الفرع (ج)، وجدنا أن ترتيب التمدد والانعكاس حول المحور x لم يؤثر على الصورة النهائية. هذا ليس مصادفة. التمدد حول نقطة الأصل يضرب كل إحداثي في معامل التمدد $k$. الانعكاس حول المحور x يغير إشارة الإحداثي y فقط. إذا طبقنا التمدد أولاً: $(x, y) \rightarrow (kx, ky) \rightarrow (kx, -ky)$. إذا طبقنا الانعكاس أولاً: $(x, y) \rightarrow (x, -y) \rightarrow (kx, k(-y)) = (kx, -ky)$. بما أن النتيجة النهائية هي نفسها في كلتا الحالتين، فإن ترتيب هذين التحويلين (التمدد حول نقطة الأصل والانعكاس حول المحور x أو y) لا يؤثر على الصورة النهائية أبدًا. ولذلك الإجابة هي: **لا يؤثر**

سؤال ٢٠ أ: رسم يرسم سليمان صورةً باستعمال طريقة المربعات، فيضع شبكة إحداثية شفافة طول وحدتها 0.5 cm. فوق صورة أبعادها 4 cm x 6 cm ، ويضع شبكة أخرى طول وحدتها 1 cm. على ورقة رسم أبعادها 8 cm x 12 cm ثم يرسم ما يحويه كل مربع من الصورة في المربع المناظر له على ورقة الرسم. أ) ما معامل مقياس هذا التمدد؟

الإجابة: ٢

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - طول وحدة الشبكة الأصلية: 0.5 cm - طول وحدة الشبكة على ورقة الرسم (الصورة الناتجة): 1 cm
2. **الخطوة 2 (المفهوم):** معامل المقياس (أو معامل التمدد) هو النسبة بين طول البعد في الصورة الناتجة إلى طول البعد المناظر في الصورة الأصلية.
3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب معامل المقياس بقسمة طول وحدة الشبكة الجديدة على طول وحدة الشبكة الأصلية: $$\text{معامل المقياس} = \frac{\text{طول وحدة الشبكة الجديدة}}{\text{طول وحدة الشبكة الأصلية}} = \frac{1 \text{ cm}}{0.5 \text{ cm}} = 2$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن معامل مقياس هذا التمدد هو: **2**

سؤال ٢٠ ب: ما طول وحدة الشبكة التي يتعين عليه استعمالها لرسم صورة قياسها 10 أمثال قياس الصورة الأصلية؟

الإجابة: ٢,٥ cm

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - طول وحدة الشبكة الأصلية: 0.5 cm - معامل المقياس المطلوب (لصورة قياسها 10 أمثال الأصلية): 10
2. **الخطوة 2 (المفهوم):** لإيجاد طول وحدة الشبكة الجديدة، نضرب طول وحدة الشبكة الأصلية في معامل المقياس المطلوب.
3. **الخطوة 3 (الحل):** $$\text{طول وحدة الشبكة الجديدة} = \text{طول وحدة الشبكة الأصلية} \times \text{معامل المقياس}$$ $$\text{طول وحدة الشبكة الجديدة} = 0.5 \text{ cm} \times 10 = 5 \text{ cm}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن طول وحدة الشبكة التي يتعين عليه استعمالها هو: **5 cm**

سؤال ٢٠ ج: كم تكون مساحة الرسم الناتج عن صورة أبعادها 5cm x 7 cm عند استعمال شبكة وحدتها 2 cm على لوحة الرسم؟

الإجابة: ١٤٠ cm²

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - أبعاد الصورة الأصلية: 5 cm x 7 cm - طول وحدة الشبكة الأصلية: 0.5 cm (من السؤال 20 أ) - طول وحدة الشبكة على لوحة الرسم (الجديدة): 2 cm
2. **الخطوة 2 (حساب معامل المقياس):** نحسب معامل المقياس (k) من نسبة طول وحدة الشبكة الجديدة إلى الأصلية: $$k = \frac{\text{طول وحدة الشبكة الجديدة}}{\text{طول وحدة الشبكة الأصلية}} = \frac{2 \text{ cm}}{0.5 \text{ cm}} = 4$$
3. **الخطوة 3 (حساب أبعاد الرسم الناتج):** نضرب أبعاد الصورة الأصلية في معامل المقياس $k$ للحصول على أبعاد الرسم الناتج: - الطول الجديد: $5 \text{ cm} \times 4 = 20 \text{ cm}$ - العرض الجديد: $7 \text{ cm} \times 4 = 28 \text{ cm}$
4. **الخطوة 4 (حساب مساحة الرسم الناتج):** نحسب مساحة الرسم الناتج بضرب الطول الجديد في العرض الجديد: $$\text{المساحة} = \text{الطول الجديد} \times \text{العرض الجديد} = 20 \text{ cm} \times 28 \text{ cm} = 560 \text{ cm}^2$$
5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن مساحة الرسم الناتج هي: **560 cm²**

سؤال ٢١ أ: تغيير الأبعاد : يمكن إجراء تمدد على الأشكال الثلاثية الأبعاد أيضًا. أ) أوجد مساحة سطح المنشور المجاور وحجمه.

الإجابة: المساحة = ٨٨ cm² الحجم = ٤٨ cm³

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات - افتراض):** بما أن أبعاد المنشور المجاور لم تُعطَ صراحةً، سنفترض أنه منشور مستطيل أبعاده كالتالي: - الطول (l) = 4 cm - العرض (w) = 2 cm - الارتفاع (h) = 3 cm
2. **الخطوة 2 (حساب مساحة السطح):** نستخدم قانون مساحة سطح المنشور المستطيل: $$A = 2(lw + lh + wh)$$ بالتعويض بالقيم: $$A = 2((4 \times 2) + (4 \times 3) + (2 \times 3))$$ $$A = 2(8 + 12 + 6)$$ $$A = 2(26) = 52 \text{ cm}^2$$
3. **الخطوة 3 (حساب الحجم):** نستخدم قانون حجم المنشور المستطيل: $$V = lwh$$ بالتعويض بالقيم: $$V = 4 \times 2 \times 3 = 24 \text{ cm}^3$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، بافتراض الأبعاد المذكورة، مساحة سطح المنشور هي **52 cm²** وحجمه هو **24 cm³**.

سؤال ٢١ ب: أوجد مساحة سطح المنشور الناتج عن تمدد معامله 2 ، وأوجد حجمه.

الإجابة: المساحة = ٣٥٢ cm² الحجم = ٣٨٤ cm³

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** من السؤال 21 أ، لدينا مساحة سطح المنشور الأصلي $A = 52 \text{ cm}^2$ وحجمه $V = 24 \text{ cm}^3$. معامل التمدد $k = 2$.
2. **الخطوة 2 (المفهوم - أثر التمدد على المساحة والحجم):** عند تمدد شكل ثلاثي الأبعاد بمعامل $k$: - تتغير مساحة السطح بمعامل $k^2$. - يتغير الحجم بمعامل $k^3$.
3. **الخطوة 3 (حساب مساحة سطح المنشور الناتج):** نطبق قاعدة التمدد على المساحة: $$A' = k^2 \times A$$ $$A' = (2)^2 \times 52 \text{ cm}^2 = 4 \times 52 \text{ cm}^2 = 208 \text{ cm}^2$$
4. **الخطوة 4 (حساب حجم المنشور الناتج):** نطبق قاعدة التمدد على الحجم: $$V' = k^3 \times V$$ $$V' = (2)^3 \times 24 \text{ cm}^3 = 8 \times 24 \text{ cm}^3 = 192 \text{ cm}^3$$
5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن، مساحة سطح المنشور الناتج عن تمدد معامله 2 هي **208 cm²** وحجمه هو **192 cm³**.

سؤال ٢١ ج: أوجد مساحة سطح المنشور الناتج عن تمدد معامله $\frac{1}{2}$ ، وأوجد حجمه.

الإجابة: المساحة = ٢٢ cm² الحجم = ٦ cm³

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** من السؤال 21 أ، لدينا مساحة سطح المنشور الأصلي $A = 52 \text{ cm}^2$ وحجمه $V = 24 \text{ cm}^3$. معامل التمدد $k = \frac{1}{2}$.
2. **الخطوة 2 (المفهوم - أثر التمدد على المساحة والحجم):** عند تمدد شكل ثلاثي الأبعاد بمعامل $k$: - تتغير مساحة السطح بمعامل $k^2$. - يتغير الحجم بمعامل $k^3$.
3. **الخطوة 3 (حساب مساحة سطح المنشور الناتج):** نطبق قاعدة التمدد على المساحة: $$A' = k^2 \times A$$ $$A' = (\frac{1}{2})^2 \times 52 \text{ cm}^2 = \frac{1}{4} \times 52 \text{ cm}^2 = 13 \text{ cm}^2$$
4. **الخطوة 4 (حساب حجم المنشور الناتج):** نطبق قاعدة التمدد على الحجم: $$V' = k^3 \times V$$ $$V' = (\frac{1}{2})^3 \times 24 \text{ cm}^3 = \frac{1}{8} \times 24 \text{ cm}^3 = 3 \text{ cm}^3$$
5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن، مساحة سطح المنشور الناتج عن تمدد معامله $\frac{1}{2}$ هي **13 cm²** وحجمه هو **3 cm³**.

سؤال ٢١ د: أوجد نسبة مساحة سطح المنشور الناتج عن كل تمدد إلى مساحة سطح المنشور الأصلي، ثم أوجد نسبة حجم المنشور الناتج عن كل تمدد إلى حجم المنشور الأصلي.

الإجابة: نسبة المساحة: ٤:١ نسبة الحجم: ٨:١ نسبة المساحة: ١:٤ نسبة الحجم: ١:٨

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** من الأسئلة السابقة، لدينا: - المنشور الأصلي: $A = 52 \text{ cm}^2$, $V = 24 \text{ cm}^3$ - المنشور بعد تمدد $k=2$: $A' = 208 \text{ cm}^2$, $V' = 192 \text{ cm}^3$ - المنشور بعد تمدد $k=\frac{1}{2}$: $A'' = 13 \text{ cm}^2$, $V'' = 3 \text{ cm}^3$
2. **الخطوة 2 (حساب النسب للتمدد بمعامل $k=2$):** - نسبة مساحة السطح: $$\frac{A'}{A} = \frac{208 \text{ cm}^2}{52 \text{ cm}^2} = 4$$ أو $4:1$ - نسبة الحجم: $$\frac{V'}{V} = \frac{192 \text{ cm}^3}{24 \text{ cm}^3} = 8$$ أو $8:1$
3. **الخطوة 3 (حساب النسب للتمدد بمعامل $k=\frac{1}{2}$):** - نسبة مساحة السطح: $$\frac{A''}{A} = \frac{13 \text{ cm}^2}{52 \text{ cm}^2} = \frac{1}{4}$$ أو $1:4$ - نسبة الحجم: $$\frac{V''}{V} = \frac{3 \text{ cm}^3}{24 \text{ cm}^3} = \frac{1}{8}$$ أو $1:8$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، النسب هي: - للتمدد بمعامل 2: نسبة المساحة **4:1**، نسبة الحجم **8:1** - للتمدد بمعامل $\frac{1}{2}$: نسبة المساحة **1:4**، نسبة الحجم **1:8**

سؤال ٢١ هـ: ضع تخمينا حول أثر التمدد ذي المعامل الموجب في مساحة سطح المنشور وفي حجمه.

الإجابة: المساحة في k²، الحجم في k³

خطوات الحل:

1. **الشرح:** من خلال ملاحظة النتائج في الفرع (د)، يمكننا أن نرى علاقة بين معامل التمدد $k$ ونسب المساحة والحجم. عندما كان معامل التمدد $k=2$: - نسبة المساحة كانت $4:1$، وهي تساوي $k^2 = (2)^2 = 4$. - نسبة الحجم كانت $8:1$، وهي تساوي $k^3 = (2)^3 = 8$. عندما كان معامل التمدد $k=\frac{1}{2}$: - نسبة المساحة كانت $1:4$، وهي تساوي $k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. - نسبة الحجم كانت $1:8$، وهي تساوي $k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$. يمكننا أن نستنتج تخميناً عاماً من هذه الملاحظات. ولذلك الإجابة هي: **تتغير مساحة السطح بمعامل $k^2$، ويتغير الحجم بمعامل $k^3$**

ما صورة النقطة W(2, 2) الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله k = 3؟

• أ) (٢, ٢)
• ب) (٤, ٤)
• ج) (٦, ٦)
• د) (٨, ٨)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (٦, ٦)

الشرح: ١. قاعدة التمدد: (x, y) → (k × x, k × y). ٢. التعويض: k = 3، x = 2، y = 2. ٣. الحساب: (3 × 2, 3 × 2) = (6, 6). ٤. النتيجة: صورة النقطة هي (٦, ٦).

تلميح: قاعدة تمدد مركزه نقطة الأصل: (x, y) → (k × x, k × y).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حشرات: طول بق القطط تحت المجهر هو 3.75 cm، وطوله الحقيقي 2.5 mm. ما قوة التكبير المستعملة؟

• أ) ١٠
• ب) ١٢
• ج) ١٥
• د) ١٨

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ١٥

الشرح: ١. توحيد الوحدات: 3.75 cm = 37.5 mm. ٢. تطبيق القانون: قوة التكبير = الطول الظاهري ÷ الطول الحقيقي. ٣. الحساب: 37.5 mm ÷ 2.5 mm = 15. ٤. النتيجة: قوة التكبير هي ١٥.

تلميح: تذكر قانون قوة التكبير: الطول الظاهري ÷ الطول الحقيقي. تأكد من توحيد الوحدات قبل الحساب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حشرات: طول العثة تحت المجهر هو 4.8 cm، وطولها الحقيقي 0.5 mm. ما قوة التكبير المستعملة؟

• أ) ٤٨
• ب) ٩,٦
• ج) ٩٦
• د) ٤,٨

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٩٦

الشرح: ١. توحيد الوحدات: 4.8 cm = 48 mm. ٢. تطبيق القانون: قوة التكبير = الطول الظاهري ÷ الطول الحقيقي. ٣. الحساب: 48 mm ÷ 0.5 mm = 96. ٤. النتيجة: قوة التكبير هي ٩٦.

تلميح: تذكر قانون قوة التكبير: الطول الظاهري ÷ الطول الحقيقي. تأكد من توحيد الوحدات قبل الحساب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما صورة النقطة J(-8, 0) الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله k = 0.5؟

• أ) (-٨, ٠)
• ب) (-٤, ٠)
• ج) (-٢, ٠)
• د) (-١٦, ٠)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (-٤, ٠)

الشرح: ١. قاعدة التمدد: (x, y) → (k × x, k × y). ٢. التعويض: k = 0.5، x = -8، y = 0. ٣. الحساب: (0.5 × -8, 0.5 × 0) = (-4, 0). ٤. النتيجة: صورة النقطة هي (-٤, ٠).

تلميح: قاعدة تمدد مركزه نقطة الأصل: (x, y) → (k × x, k × y).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما صورة النقطة D(4, 4) الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله k = 0.75؟

• أ) (٤, ٤)
• ب) (٣, ٣)
• ج) (٦, ٦)
• د) (١, ١)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (٣, ٣)

الشرح: ١. قاعدة التمدد: (x, y) → (k × x, k × y). ٢. التعويض: k = 0.75، x = 4، y = 4. ٣. الحساب: (0.75 × 4, 0.75 × 4) = (3, 3). ٤. النتيجة: صورة النقطة هي (٣, ٣).

تلميح: قاعدة تمدد مركزه نقطة الأصل: (x, y) → (k × x, k × y).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

في سؤال هندسة إحداثية، إذا طُبق على مضلع تمدد مركزه نقطة الأصل ثم انعكاس حول المحور x، ثم طُبقت نفس التحويلات بعكس الترتيب، فهل يؤثر الترتيب في الصورة النهائية؟

• أ) نعم، يؤثر دائماً
• ب) نعم، يؤثر أحياناً
• ج) لا يؤثر
• د) لا يمكن تحديد ذلك

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا يؤثر

الشرح: ١. التمدد حول نقطة الأصل بمعامل k يحول النقطة (x, y) إلى (kx, ky). ٢. الانعكاس حول المحور x يحول النقطة (x, y) إلى (x, -y). ٣. إذا طُبق التمدد أولاً ثم الانعكاس: (x, y) → (kx, ky) → (kx, -ky). ٤. إذا طُبق الانعكاس أولاً ثم التمدد: (x, y) → (x, -y) → (kx, -ky). ٥. النتيجة النهائية هي نفسها (kx, -ky) في كلتا الحالتين، لذا الترتيب لا يؤثر.

تلميح: فكر في القاعدة النهائية لتحويل أي نقطة (x, y) في كلتا الحالتين.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

هل يؤثر ترتيب تركيب التمدد (حول نقطة الأصل) والانعكاس (حول المحور x أو y) في الصورة النهائية دائمًا أم أحيانًا أم أنه لا يؤثر أبدًا؟

• أ) يؤثر دائمًا
• ب) يؤثر أحيانًا
• ج) لا يؤثر أبدًا
• د) يؤثر فقط إذا كان k سالبًا

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا يؤثر أبدًا

الشرح: ١. التمدد حول نقطة الأصل بمعامل k: (x, y) → (kx, ky). ٢. الانعكاس حول المحور x: (x, y) → (x, -y). الانعكاس حول المحور y: (x, y) → (-x, y). ٣. لأي ترتيب، النتيجة النهائية ستكون (kx, -ky) للانعكاس حول x، أو (-kx, ky) للانعكاس حول y. ٤. لأن الضرب عملية تبديلية بالنسبة لتغيير الإشارة، النتيجة لا تعتمد على الترتيب لأي قيم x, y, k. ٥. لذلك، الترتيب لا يؤثر على الصورة النهائية أبدًا.

تلميح: حلل القاعدة العامة لتحويل أي نقطة (x, y) في كلا الترتيبين.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

يرسم سليمان صورة باستعمال طريقة المربعات. طول وحدة الشبكة فوق الصورة الأصلية 0.5 cm، وطول وحدة الشبكة على ورقة الرسم 2 cm. ما معامل مقياس هذا التمدد؟

• أ) ٠.٢٥
• ب) ٢
• ج) ٤
• د) ٨

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٤

الشرح: ١. معامل المقياس (k) = طول وحدة الشبكة الجديدة / طول وحدة الشبكة الأصلية. ٢. طول الوحدة الجديدة = 2 cm. ٣. طول الوحدة الأصلية = 0.5 cm. ٤. k = 2 cm ÷ 0.5 cm = 4. ٥. إذن معامل المقياس هو ٤.

تلميح: معامل المقياس (k) هو نسبة طول وحدة الشبكة الجديدة إلى طول وحدة الشبكة الأصلية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

إذا كان معامل التمدد لمجسم ثلاثي الأبعاد هو k=2، فكيف تتغير مساحة سطحه وحجمه بالنسبة للأصل؟

• أ) المساحة في ٢، الحجم في ٣
• ب) المساحة في ٢، الحجم في ٤
• ج) المساحة في ٤، الحجم في ٨
• د) المساحة في ٨، الحجم في ١٦

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المساحة في ٤، الحجم في ٨

الشرح: ١. عند تمدد شكل ثلاثي الأبعاد بمعامل k: ٢. تتغير مساحة السطح بمعامل k² (لأن المساحة تقاس بمربع الطول). ٣. يتغير الحجم بمعامل k³ (لأن الحجم يقاس بمكعب الطول). ٤. إذا كان k=2: - معامل تغير المساحة = 2² = 4. - معامل تغير الحجم = 2³ = 8. ٥. إذن المساحة تتضاعف ٤ مرات، والحجم يتضاعف ٨ مرات.

تلميح: تذكر العلاقة بين معامل التمدد والتغير في المساحة (بعدان) والحجم (ثلاثة أبعاد).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كان معامل التمدد لمجسم ثلاثي الأبعاد هو k=½، فكيف تتغير مساحة سطحه وحجمه بالنسبة للأصل؟

• أ) المساحة في ١/٢، الحجم في ١/٤
• ب) المساحة في ١/٢، الحجم في ١/٨
• ج) المساحة في ١/٤، الحجم في ١/٨
• د) المساحة في ١/٨، الحجم في ١/١٦

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المساحة في ١/٤، الحجم في ١/٨

الشرح: ١. قواعد تمدد الأشكال ثلاثية الأبعاد: - المساحة تتغير بمعامل k². - الحجم يتغير بمعامل k³. ٢. إذا كان k = ½: - معامل تغير المساحة = (½)² = ¼. - معامل تغير الحجم = (½)³ = ⅛. ٣. هذا يعني أن مساحة السطح تصبح ربع المساحة الأصلية. ٤. وأن الحجم يصبح ثمن الحجم الأصلي.

تلميح: طبق نفس قواعد التمدد (المساحة في k²، الحجم في k³) عندما يكون k كسرًا.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط