الفصل 7 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: عند إجراء تحويل هندسي على شكل ما، ثم إجراء تحويل هندسي آخر على صورته، فإن هذه العملية تسمى (تحويلاً هندسياً مركباً، رتبة الدوران).

الإجابة: تحويلاً هندسياً مركباً

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** التحويل الهندسي هو عملية تُغير موقع الشكل أو حجمه أو اتجاهه في المستوى الإحداثي.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** عندما نُجري تحويلاً هندسياً على شكل ما، نحصل على صورة لهذا الشكل. إذا قمنا بعد ذلك بإجراء تحويل هندسي آخر على هذه الصورة الناتجة، فإننا نكون قد طبقنا تحويلين متتاليين أو أكثر.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** هذه العملية التي تتضمن تطبيق تحويلين هندسيين أو أكثر بشكل متتالٍ تُسمى **تحويلاً هندسياً مركباً**.

سؤال 2: إذا طُوي شكل حول خط مستقيم، وانطبق نصفاه أحدهما على الآخر تماماً، فإن خط الطي يسمى (محور الانعكاس، محور التماثل).

الإجابة: محور التماثل

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** التماثل هو خاصية للشكل تجعله يبدو كما هو بعد إجراء تحويل معين عليه.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** إذا كان بالإمكان تقسيم الشكل إلى نصفين متطابقين تماماً عن طريق طيه حول خط مستقيم، بحيث ينطبق النصفان أحدهما على الآخر، فإن هذا الخط يلعب دوراً محورياً في هذا التماثل.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** هذا الخط المستقيم الذي يقسم الشكل إلى نصفين متطابقين عند الطي يُسمى **محور التماثل**.

سؤال 3: التحويل الهندسي الذي يكبر الشكل أو يصغره بنسبة محددة هو (التمدد، الدوران).

الإجابة: التمدد

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** التحويلات الهندسية هي عمليات تُغير موضع الشكل أو اتجاهه أو حجمه. بعض هذه التحويلات يحافظ على الحجم والشكل (تحويلات التطابق)، بينما البعض الآخر يغير الحجم.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** السؤال يتحدث عن تحويل هندسي يقوم إما بتكبير الشكل أو تصغيره، ولكن بنسبة محددة، مما يعني أن الشكل الأصلي وصورته الجديدة سيكونان متشابهين (لهما نفس الشكل ولكن بحجم مختلف).
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** التحويل الهندسي الذي يقوم بتكبير الشكل أو تصغيره بنسبة محددة مع الحفاظ على شكله الأصلي هو **التمدد**.

سؤال 4: يُطلق على عدد المرات التي تنطبق فيها صورة الشكل على نفسه في أثناء تدويره من 0° إلى 360° اسم (مقدار التماثل، رتبة التماثل).

الإجابة: رتبة التماثل

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** التماثل الدوراني هو خاصية للشكل تجعله يبدو كما هو بعد دورانه بزاوية معينة حول مركزه.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** عند تدوير شكل دورة كاملة (360 درجة) حول مركزه، قد ينطبق الشكل على نفسه عدة مرات قبل أن يعود إلى وضعه الأصلي. عدد هذه المرات هو مقياس لمدى تماثله الدوراني.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** عدد المرات التي تنطبق فيها صورة الشكل على نفسه في أثناء تدويره من 0° إلى 360° يُطلق عليه اسم **رتبة التماثل**.

سؤال 5: يبعد (محور الانعكاس، مركز التمدد) المسافة نفسها عن كل نقطة في الشكل وصورتها.

الإجابة: محور الانعكاس

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الانعكاس هو تحويل هندسي يقلب الشكل حول خط مستقيم، يُسمى خط الانعكاس.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** في عملية الانعكاس، تكون كل نقطة في الشكل الأصلي على مسافة معينة من خط الانعكاس، وصورتها بعد الانعكاس تكون على نفس المسافة من هذا الخط ولكن في الاتجاه المعاكس.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** الخط الذي يبعد المسافة نفسها عن كل نقطة في الشكل الأصلي وصورتها بعد التحويل هو **محور الانعكاس**.

سؤال 6: يكون الشكل (تحويلاً هندسياً مركباً، متماثلاً) إذا وجد انعكاس أو إزاحة أو دوران أو تركيب إزاحة وانعكاس ينتج عنه صورة منطبقة على الشكل نفسه.

الإجابة: متماثلاً

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** التماثل هو خاصية هندسية تصف الأشكال التي تبدو كما هي بعد إجراء تحويل معين عليها.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** إذا كان بالإمكان إجراء تحويل هندسي مثل الانعكاس، أو الإزاحة، أو الدوران، أو حتى تركيب من هذه التحويلات، وينتج عن هذا التحويل صورة تنطبق تماماً على الشكل الأصلي، فهذا يعني أن الشكل يمتلك خاصية التماثل.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** الشكل الذي يمتلك هذه الخاصية، أي أن صورته تنطبق عليه بعد تحويل هندسي معين، يُوصف بأنه **متماثل**.

سؤال 7: يمكن تمثيل (الإزاحة، الدوران) بتركيب انعكاسين متتابعين حول مستقيمين متقاطعين.

الإجابة: الدوران

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** يمكن تمثيل بعض التحويلات الهندسية الكبرى بتركيب تحويلات هندسية أبسط.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** في الهندسة التحويلية، هناك قاعدة تنص على أن تركيب انعكاسين متتابعين حول مستقيمين متوازيين ينتج عنه إزاحة. أما إذا كان المستقيمان متقاطعين، فإن تركيب الانعكاسين ينتج تحويلاً آخر.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** التحويل الهندسي الذي يمكن تمثيله بتركيب انعكاسين متتابعين حول مستقيمين متقاطعين هو **الدوران**.

سؤال 8: لتدوير نقطة ما بزاوية (90°، 180°) عكس اتجاه حركة عقارب الساعة حول نقطة الأصل، اضرب الإحداثي y في 1-، وبدّل الإحداثيين y, x.

الإجابة: 90°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لكل زاوية دوران حول نقطة الأصل قاعدة محددة لتغيير إحداثيات النقطة (x, y).
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لنراجع قواعد الدوران الشائعة عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل: - الدوران بزاوية 90°: النقطة (x, y) تصبح (-y, x). (نضرب الإحداثي y في -1 ثم نبدل الإحداثيين). - الدوران بزاوية 180°: النقطة (x, y) تصبح (-x, -y). (نضرب كلا الإحداثيين في -1 دون تبديل). - الدوران بزاوية 270°: النقطة (x, y) تصبح (y, -x). (نضرب الإحداثي x في -1 ثم نبدل الإحداثيين).
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** القاعدة المذكورة في السؤال (اضرب الإحداثي y في 1-، وبدّل الإحداثيين y, x) تتطابق تماماً مع قاعدة الدوران بزاوية **90°** عكس اتجاه حركة عقارب الساعة حول نقطة الأصل.

سؤال 9: (التمدد، الانعكاس) هو تحويل تطابق.

الإجابة: الانعكاس

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** تحويل التطابق هو تحويل هندسي يحافظ على قياسات الشكل، أي أنه لا يغير حجم الشكل أو شكله، بل قد يغير موقعه أو اتجاهه فقط.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لننظر إلى الخيارات المتاحة: - التمدد: هذا التحويل يغير حجم الشكل (يكبره أو يصغره)، وبالتالي لا يحافظ على قياساته الأصلية، فهو ليس تحويل تطابق. - الانعكاس: هذا التحويل يقلب الشكل حول خط مستقيم، لكنه يحافظ على جميع أبعاد وزوايا الشكل، مما يعني أن الشكل الأصلي وصورته متطابقان تماماً.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** التحويل الهندسي الذي يُعتبر تحويل تطابق لأنه يحافظ على قياسات الشكل هو **الانعكاس**.

سؤال 10: يكون للشكل (محور تماثل، تماثل دوراني) إذا كانت صورته الناتجة عن دوران حول مركزه بزاوية بين 0° و 360° هي الشكل نفسه.

الإجابة: تماثل دوراني

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** التماثل هو خاصية للشكل تجعله يبدو كما هو بعد إجراء تحويل معين.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** إذا كان الشكل ينطبق على نفسه بعد دورانه حول مركزه بزاوية معينة (غير 0° أو 360°، لأن هاتين الزاويتين تعيدان الشكل لوضعه الأصلي دائماً)، فهذا يعني أن لديه نوعاً خاصاً من التماثل مرتبطاً بالدوران.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** هذه الخاصية التي تجعل صورة الشكل الناتجة عن دوران حول مركزه بزاوية بين 0° و 360° هي الشكل نفسه تُسمى **تماثل دوراني**.

ما تعريف التحويل الهندسي 'الانعكاس'؟

• أ) تحويل هندسي ينقل نقاط الشكل جميعها المسافة نفسها وفي الاتجاه نفسه.
• ب) تحويل هندسي يقلب الشكل حول مستقيم يسمى محور الانعكاس.
• ج) تحويل هندسي يُحرك كل نقطة في الشكل بزاوية محددة حول نقطة ثابتة.
• د) تحويل هندسي يكبر الشكل أو يصغره بنسبة محددة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تحويل هندسي يقلب الشكل حول مستقيم يسمى محور الانعكاس.

الشرح: 1. الانعكاس هو أحد التحويلات الهندسية الأساسية. 2. يتم فيه قلب كل نقطة من نقاط الشكل الأصلي حول خط مستقيم ثابت. 3. هذا الخط المستقيم يسمى محور الانعكاس. 4. النتيجة: صورة الشكل تكون معكوسة بالنسبة للمحور.

تلميح: فكر في تحويل ينتج صورة معكوسة للشكل الأصلي.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما التحويل الهندسي الذي يمكن تمثيله بتركيب انعكاسين متتابعين حول مستقيمين متقاطعين؟

• أ) الانعكاس
• ب) الإزاحة
• ج) الدوران
• د) التمدد

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الدوران

الشرح: 1. قاعدة هندسية: تركيب انعكاسين متتابعين ينتج تحويلاً آخر. 2. إذا كان المستقيمان متوازيين، فإن التركيب ينتج إزاحة. 3. إذا كان المستقيمان متقاطعين، فإن التركيب ينتج دوراناً. 4. زاوية الدوران الناتجة تساوي ضعف الزاوية بين المستقيمين.

تلميح: فكر في العلاقة بين تركيب الانعكاسات والتحويلات الهندسية الأخرى.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الخاصية التي يمتلكها الشكل إذا وجد انعكاس أو إزاحة أو دوران ينتج عنه صورة منطبقة على الشكل نفسه؟

• أ) التشابه
• ب) التمدد
• ج) التماثل
• د) التركيب

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: التماثل

الشرح: 1. التماثل هو خاصية هندسية للأشكال. 2. إذا أمكن تطبيق تحويل هندسي (مثل انعكاس، إزاحة، دوران) على الشكل. 3. وكانت النتيجة صورة تنطبق تماماً على الشكل الأصلي. 4. فإن الشكل يوصف بأنه متماثل بالنسبة لذلك التحويل.

تلميح: هذه الخاصية تعني أن الشكل يبدو كما هو بعد إجراء تحويل معين عليه.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الاسم الذي يُطلق على عدد المرات التي تنطبق فيها صورة الشكل على نفسه أثناء تدويره دورة كاملة (360°)؟

• أ) مقدار التماثل
• ب) زاوية الدوران
• ج) رتبة التماثل
• د) مركز التماثل

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: رتبة التماثل

الشرح: 1. التماثل الدوراني خاصية للشكل عند دورانه حول مركزه. 2. عند تدوير الشكل دورة كاملة (360°)، قد ينطبق على نفسه عدة مرات. 3. عدد هذه المرات هو مقياس كمي لتماثله الدوراني. 4. هذا العدد يسمى رتبة التماثل.

تلميح: هذا المفهوم مرتبط بالتماثل الدوراني وليس بقياس الزاوية.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

أي التحويلات الهندسية التالية يُعتبر تحويل تطابق (يحافظ على قياسات الشكل)؟

• أ) التمدد
• ب) الانعكاس
• ج) كلا التحويلين (أ و ب)
• د) لا هذا ولا ذاك

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الانعكاس

الشرح: 1. تحويل التطابق يحافظ على أطوال الأضلاع وقياس الزوايا. 2. الانعكاس يقلب الشكل حول خط، لكنه يحافظ على جميع أبعاده. 3. التمدد يغير الحجم، لذا فهو ليس تحويل تطابق. 4. الإزاحة والدوران أيضاً يحافظان على القياسات، لكن الخيارات المتاحة تقارن بين الانعكاس والتمدد.

تلميح: فكر في التحويلات التي تغير الموقع أو الاتجاه فقط دون تغيير الحجم أو الشكل.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط