مسألة مفتوحة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 30: مسألة مفتوحة: ارسم مثلثًا في المستوى الإحداثي، ثم كبره بحيث تصبح مساحة صورته الناتجة عن التمدد أربعة أمثال مساحته الأصلية، وحدد معامل مقياس التمدد ومركزه.

الإجابة: س30: مثال: ارسم المثلث ذو الرؤوس (0,0)، (1,0)، (0,1) وإذا مددته بمركز (0,0) ومعامل مقياس k = 2 تصبح رؤوسه (0,0)، (2,0)، (0,2) وتصبح المساحة 4 أمثال المساحة الأصلية

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات والمطلوب):** المطلوب هو رسم مثلث في المستوى الإحداثي، ثم تمديده بحيث تصبح مساحة صورته الناتجة أربعة أمثال مساحته الأصلية. بعد ذلك، يجب تحديد معامل مقياس التمدد ومركزه.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نعلم أن العلاقة بين مساحة الشكل الأصلي ومساحة صورته بعد التمدد هي: مساحة الصورة = $k^2 \times$ مساحة الأصل، حيث $k$ هو معامل مقياس التمدد.
3. **الخطوة 3 (الحل - إيجاد معامل المقياس):** إذا كانت مساحة الصورة أربعة أمثال مساحة الأصل، فهذا يعني أن: مساحة الصورة = $4 \times$ مساحة الأصل. بمقارنة هذه العلاقة بالقانون، نجد أن $k^2 = 4$. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نحصل على $k = 2$ (نأخذ القيمة الموجبة لأننا نتحدث عن مقياس).
4. **الخطوة 4 (مثال وتطبيق):** لنختر مثلثًا بسيطًا، مثل المثلث القائم الزاوية الذي رؤوسه هي (0,0)، (1,0)، (0,1). يمكننا اختيار مركز التمدد ليكون نقطة الأصل (0,0) لتسهيل الحسابات. بتطبيق التمدد بمعامل مقياس $k = 2$ ومركز (0,0) على رؤوس المثلث: - النقطة (0,0) تبقى (0,0). - النقطة (1,0) تصبح $(1 \times 2, 0 \times 2) = (2,0)$. - النقطة (0,1) تصبح $(0 \times 2, 1 \times 2) = (0,2)$. إذن، رؤوس المثلث الجديد هي (0,0)، (2,0)، (0,2).
5. **الخطوة 5 (التحقق من المساحة):** مساحة المثلث الأصلي (قاعدة 1، ارتفاع 1) = $\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5$ وحدة مربعة. مساحة المثلث بعد التمدد (قاعدة 2، ارتفاع 2) = $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ وحدات مربعة. نلاحظ أن $2 = 4 \times 0.5$، أي أن مساحة الصورة أربعة أمثال مساحة الأصل، وهذا يؤكد صحة معامل المقياس.
6. **الخطوة 6 (النتيجة):** إذن، يمكننا رسم مثلث برؤوس (0,0)، (1,0)، (0,1). ثم نمدده بمركز **(0,0)** ومعامل مقياس **k = 2**. ستكون رؤوس صورته (0,0)، (2,0)، (0,2)، وستصبح مساحته أربعة أمثال مساحة المثلث الأصلي.

سؤال 31: اكتب: حدد التحويلات الهندسية التي تكون نتيجتها مطابقة للشكل الأصلي، وتلك التي تكون نتيجتها مشابهة للشكل الأصلي، وتلك التي تكون نتيجتها الشكل الأصلي نفسه. اشرح إجابتك.

الإجابة: س31: - مطابقة للشكل الأصلي: الإزاحة، الانعكاس، الدوران (تحويلات تحفظ الأطوال والزوايا). - مشابهة للشكل الأصلي: التمدد (الدليليشن) بمعامل مقياس k ≠ 1 (وقد يصاحبه إزاحة/دوران/انعكاس). - الشكل الأصلي نفسه تماماً: التحويل المحايد (لا تغيير) مثل: إزاحة (0,0)، دوران 360°، تمدد بمعامل k = 1 (وكذلك انعكاس حول محور تماثل للشكل إن وُجد).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لفهم التحويلات الهندسية، يجب أن نميز بين ثلاثة أنواع رئيسية من النتائج: المطابقة (Congruence)، التشابه (Similarity)، والبقاء على الشكل الأصلي نفسه (Identity).
2. **الخطوة 2 (التطبيق والتحليل):** - **التحويلات التي تكون نتيجتها مطابقة للشكل الأصلي:** هذه التحويلات تحافظ على الأبعاد (الأطوال والزوايا) للشكل. أي أن الشكل وصورته يكونان متطابقين تمامًا في الحجم والشكل. التحويلات الأساسية التي تحقق ذلك هي: **الإزاحة (Translation)**، **الانعكاس (Reflection)**، و**الدوران (Rotation)**. - **التحويلات التي تكون نتيجتها مشابهة للشكل الأصلي:** هذه التحويلات تحافظ على شكل الشكل (الزوايا) ولكنها تغير حجمه (الأطوال). أي أن الشكل وصورته يكونان متشابهين هندسيًا. التحويل الأساسي الذي يحقق ذلك هو: **التمدد (Dilation)**، بشرط أن يكون معامل مقياس التمدد $k \neq 1$ (لأن $k=1$ يعني بقاء الحجم كما هو). يمكن أن يصاحب التمدد تحويلات أخرى مثل الإزاحة أو الدوران أو الانعكاس، ويبقى الشكل الناتج مشابهًا للأصل. - **التحويلات التي تكون نتيجتها الشكل الأصلي نفسه تمامًا:** هذه هي حالات خاصة من التحويلات التي لا تحدث أي تغيير فعلي في موضع أو حجم أو اتجاه الشكل. يمكن اعتبارها تحويلات محايدة. أمثلة على ذلك: * **إزاحة بمقدار صفر:** أي إزاحة (0,0). * **دوران بزاوية 360 درجة** حول أي نقطة. * **تمدد بمعامل مقياس $k = 1$**. * **انعكاس حول محور تماثل للشكل** (إذا كان الشكل متماثلاً حول هذا المحور، فإن صورته تنطبق عليه تمامًا).

سؤال 32: ما معامل مقياس التمدد من الشكل PQRS إلى الشكل WXYZ؟

الإجابة: س32: .k = $\frac{1}{2}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** معامل مقياس التمدد ($k$) هو النسبة بين طول ضلع في الصورة إلى طول الضلع المناظر له في الشكل الأصلي. أي أن: $k = \frac{\text{طول ضلع في الصورة}}{\text{طول الضلع المناظر في الأصل}}$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لإيجاد معامل مقياس التمدد من الشكل PQRS إلى الشكل WXYZ، يجب أن نحدد أي شكل هو الأصل وأي شكل هو الصورة. بما أن السؤال يطلب التمدد "من الشكل PQRS إلى الشكل WXYZ"، فإن PQRS هو الشكل الأصلي و WXYZ هو الصورة.
3. **الخطوة 3 (الحل):** بما أنه لا توجد أبعاد محددة في السؤال، ولكن الإجابة المعطاة هي $k = \frac{1}{2}$، فهذا يعني أنه عند قياس أي ضلع في الشكل WXYZ وقسمته على طول الضلع المناظر له في الشكل PQRS، يجب أن تكون النتيجة $\frac{1}{2}$. على سبيل المثال، إذا كان طول الضلع WX في الصورة هو 3 وحدات، وطول الضلع PQ المناظر له في الأصل هو 6 وحدات، فإن $k = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، معامل مقياس التمدد من الشكل PQRS إلى الشكل WXYZ هو **$\frac{1}{2}$**.

سؤال 33: يرسم توفيق نسخة من لوحة فنية معروضة في متحف فني. إذا كان عرض اللوحة 3 ft ، وطولها 6 ft ، وقرر أن يستعمل معامل مقياس تمدد قدره 0.25 ، فما أبعاد ورقة الرسم بالبوصات المناسبة لإنجاز رسمه؟ A 4 in × 8 in B 8 in × 16 in C 6 in × 12 in D 10 in × 20 in

الإجابة: س33: الأبعاد المطلوبة للرسم = (3 × 0.25) ft × (6 × 0.25) ft = 0.75 ft × 1.5 ft = 9 in × 18 in ، والورقة المناسبة من الخيارات هي 10 in × 20 in (د).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - عرض اللوحة الأصلية: 3 ft - طول اللوحة الأصلية: 6 ft - معامل مقياس التمدد: $k = 0.25$
2. **الخطوة 2 (حساب الأبعاد الجديدة):** لإيجاد أبعاد الصورة بعد التمدد، نضرب كل بعد أصلي في معامل مقياس التمدد: - العرض الجديد = العرض الأصلي $\times k = 3 \text{ ft} \times 0.25 = 0.75 \text{ ft}$ - الطول الجديد = الطول الأصلي $\times k = 6 \text{ ft} \times 0.25 = 1.5 \text{ ft}$
3. **الخطوة 3 (تحويل الوحدات إلى البوصات):** المطلوب هو الأبعاد بالبوصات، ونحن نعلم أن 1 قدم (ft) = 12 بوصة (in). لذا نحول الأبعاد الجديدة من القدم إلى البوصة: - العرض الجديد بالبوصة = $0.75 \text{ ft} \times 12 \text{ in/ft} = 9 \text{ in}$ - الطول الجديد بالبوصة = $1.5 \text{ ft} \times 12 \text{ in/ft} = 18 \text{ in}$
4. **الخطوة 4 (النتيجة واختيار الإجابة):** أبعاد ورقة الرسم المناسبة هي 9 in $\times$ 18 in. الآن نقارن هذه الأبعاد بالخيارات المعطاة: A 4 in $\times$ 8 in B 8 in $\times$ 16 in C 6 in $\times$ 12 in D 10 in $\times$ 20 in الخيار (D) هو الأقرب والأكبر قليلاً من الأبعاد المطلوبة (9 in $\times$ 18 in)، مما يجعله الخيار الأنسب لورقة الرسم التي ستتسع للرسمة.
5. إذن الإجابة هي: **D 10 in \times 20 in**

سؤال 34: بين ما إذا كان للشكل محور تماثل أم لا، وإذا كان كذلك فارسم محاور التماثل جميعها، وحدد عددها في كل مما يأتي: (الدرس 5-7) (34)

الإجابة: س34: لا يوجد محور تماثل، وعددها 0.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** محور التماثل هو خط يقسم الشكل إلى نصفين متطابقين تمامًا، بحيث يكون كل نصف صورة مرآة للنصف الآخر. إذا قمنا بطي الشكل على طول هذا الخط، فإن النصفين سينطبقان تمامًا.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن السؤال يشير إلى شكل (34) غير مرئي، وبناءً على الإجابة المعطاة "لا يوجد محور تماثل، وعددها 0"، فإن هذا يعني أن الشكل المعني لا يمكن طيه على طول أي خط مستقيم بحيث ينطبق نصفاه تمامًا. هذا يحدث عادة مع الأشكال غير المتماثلة أو الأشكال التي لا تحتوي على أي خطوط تماثل واضحة.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، بناءً على طبيعة الشكل (34) المفترضة، **لا يوجد محور تماثل** له، وعدد محاور التماثل هو **0**.

سؤال 35: بين ما إذا كان للشكل محور تماثل أم لا، وإذا كان كذلك فارسم محاور التماثل جميعها، وحدد عددها في كل مما يأتي: (الدرس 5-7) (35)

الإجابة: س35: له محور تماثل واحد (محور أفقي يمر بمنتصف الشكل)، وعددها 1.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** محور التماثل هو خط يقسم الشكل إلى نصفين متطابقين تمامًا، بحيث يكون كل نصف صورة مرآة للنصف الآخر. إذا قمنا بطي الشكل على طول هذا الخط، فإن النصفين سينطبقان تمامًا.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن السؤال يشير إلى شكل (35) غير مرئي، وبناءً على الإجابة المعطاة "له محور تماثل واحد (محور أفقي يمر بمنتصف الشكل)، وعددها 1"، فإن هذا يعني أن الشكل المعني يمكن طيه على طول خط أفقي واحد فقط بحيث ينطبق نصفاه تمامًا. مثال على شكل له محور تماثل أفقي واحد هو شبه المنحرف المتساوي الساقين إذا كان قاعدتاه أفقيتين، أو شكل بيضاوي ممدود أفقيًا.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، بناءً على طبيعة الشكل (35) المفترضة، **له محور تماثل واحد**، وهو **محور أفقي يمر بمنتصف الشكل**، وعدد محاور التماثل هو **1**.

سؤال 36: بين ما إذا كان للشكل محور تماثل أم لا، وإذا كان كذلك فارسم محاور التماثل جميعها، وحدد عددها في كل مما يأتي: (الدرس 5-7) (36)

الإجابة: س36: له 6 محاور تماثل.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** محور التماثل هو خط يقسم الشكل إلى نصفين متطابقين تمامًا، بحيث يكون كل نصف صورة مرآة للنصف الآخر. إذا قمنا بطي الشكل على طول هذا الخط، فإن النصفين سينطبقان تمامًا.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن السؤال يشير إلى شكل (36) غير مرئي، وبناءً على الإجابة المعطاة "له 6 محاور تماثل"، فإن هذا يشير عادة إلى شكل مضلع منتظم ذي ستة أضلاع، وهو **المسدس المنتظم**. المسدس المنتظم له ستة محاور تماثل: - ثلاثة محاور تمر عبر أزواج الرؤوس المتقابلة. - ثلاثة محاور تمر عبر منتصفات أزواج الأضلاع المتقابلة.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، بناءً على طبيعة الشكل (36) المفترضة (مثل المسدس المنتظم)، **له 6 محاور تماثل**.

سؤال 37: صف التحويل الهندسي المركب الذي ينقل الشكل إلى صورته النهائية في كل من السؤالين الآتيين: (الدرس 4-7) (37)

الإجابة: س37: إزاحة لأعلى 8 وحدات ثم انعكاس حول محور y.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** التحويل الهندسي المركب هو سلسلة من تحويلين هندسيين أو أكثر يتم تطبيقهما على شكل ما. لتحديد التحويلات، يجب تحليل التغير في موضع وحجم واتجاه الشكل من حالته الأصلية إلى صورته النهائية.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن السؤال يشير إلى شكل (37) غير مرئي، وبناءً على الإجابة المعطاة "إزاحة لأعلى 8 وحدات ثم انعكاس حول محور y"، فإننا نفترض أن الشكل الأصلي قد خضع لعمليتين متتاليتين: 1. **إزاحة (Translation):** تم تحريك الشكل بالكامل إلى الأعلى بمقدار 8 وحدات. هذا يعني أن إحداثيات y لكل نقطة زادت بمقدار 8، بينما بقيت إحداثيات x كما هي. 2. **انعكاس (Reflection):** بعد الإزاحة، تم عكس الشكل حول محور y. هذا يعني أن إحداثيات x لكل نقطة أصبحت سالبة (أو موجبة إذا كانت سالبة)، بينما بقيت إحداثيات y كما هي.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن، التحويل الهندسي المركب الذي ينقل الشكل (37) إلى صورته النهائية هو: **إزاحة لأعلى 8 وحدات ثم انعكاس حول محور y**.

سؤال 38: صف التحويل الهندسي المركب الذي ينقل الشكل إلى صورته النهائية في كل من السؤالين الآتيين: (الدرس 4-7) (38)

الإجابة: س38: دوران 90° عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل O ثم إزاحة 8 وحدات إلى اليمين.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** التحويل الهندسي المركب هو سلسلة من تحويلين هندسيين أو أكثر يتم تطبيقهما على شكل ما. لتحديد التحويلات، يجب تحليل التغير في موضع وحجم واتجاه الشكل من حالته الأصلية إلى صورته النهائية.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن السؤال يشير إلى شكل (38) غير مرئي، وبناءً على الإجابة المعطاة "دوران 90° عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل O ثم إزاحة 8 وحدات إلى اليمين"، فإننا نفترض أن الشكل الأصلي قد خضع لعمليتين متتاليتين: 1. **دوران (Rotation):** تم تدوير الشكل بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل (0,0). هذا يعني أن كل نقطة $(x,y)$ في الشكل الأصلي تحولت إلى $(-y,x)$ بعد الدوران. 2. **إزاحة (Translation):** بعد الدوران، تم تحريك الشكل بالكامل إلى اليمين بمقدار 8 وحدات. هذا يعني أن إحداثيات x لكل نقطة زادت بمقدار 8، بينما بقيت إحداثيات y كما هي.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن، التحويل الهندسي المركب الذي ينقل الشكل (38) إلى صورته النهائية هو: **دوران 90° عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل O ثم إزاحة 8 وحدات إلى اليمين**.

سؤال 39: أوجد قيمة x في كل من الأسئلة الآتية: 58.9 = 2x (39)

الإجابة: س39: .x = 29.45

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعادلة المعطاة هي: $58.9 = 2x$
2. **الخطوة 2 (الحل):** لإيجاد قيمة $x$، يجب عزلها في طرف من المعادلة. بما أن $x$ مضروبة في 2، نقوم بقسمة طرفي المعادلة على 2: $$\frac{58.9}{2} = \frac{2x}{2}$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بإجراء عملية القسمة: $$x = 29.45$$
4. إذن الإجابة هي: **x = 29.45**

سؤال 40: أوجد قيمة x في كل من الأسئلة الآتية: $\frac{108.6}{\pi} = x$ (40)

الإجابة: س40: .x = $\frac{108.6}{\pi} \approx 34.6$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعادلة المعطاة هي: $\frac{108.6}{\pi} = x$
2. **الخطوة 2 (الحل):** المعادلة مكتوبة بالفعل بحيث تكون $x$ معزولة في طرف. كل ما علينا فعله هو حساب قيمة التعبير العددي في الطرف الآخر. نستخدم قيمة تقريبية لـ $\pi$ وهي 3.14159 (أو حسب دقة الآلة الحاسبة).
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بإجراء عملية القسمة: $$x = \frac{108.6}{3.14159} \approx 34.569$$
4. بالتقريب إلى أقرب جزء من عشرة (كما هو شائع في مثل هذه المسائل): $$x \approx 34.6$$
5. إذن الإجابة هي: **x \approx 34.6**

سؤال 41: أوجد قيمة x في كل من الأسئلة الآتية: 228.4 = $\pi x$ (41)

الإجابة: س41: .x = $\frac{228.4}{\pi} \approx 72.7$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعادلة المعطاة هي: $228.4 = \pi x$
2. **الخطوة 2 (الحل):** لإيجاد قيمة $x$، يجب عزلها في طرف من المعادلة. بما أن $x$ مضروبة في $\pi$، نقوم بقسمة طرفي المعادلة على $\pi$: $$\frac{228.4}{\pi} = \frac{\pi x}{\pi}$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بإجراء عملية القسمة، باستخدام قيمة تقريبية لـ $\pi$ (مثل 3.14159): $$x = \frac{228.4}{3.14159} \approx 72.699$$
4. بالتقريب إلى أقرب جزء من عشرة: $$x \approx 72.7$$
5. إذن الإجابة هي: **x \approx 72.7**

سؤال 42: أوجد قيمة x في كل من الأسئلة الآتية: $\frac{336.4}{x} = \pi$ (42)

الإجابة: س42: .x = $\frac{336.4}{\pi} \approx 107.1$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعادلة المعطاة هي: $\frac{336.4}{x} = \pi$
2. **الخطوة 2 (الحل):** لإيجاد قيمة $x$، يجب عزلها في طرف من المعادلة. نبدأ بضرب طرفي المعادلة في $x$ للتخلص من $x$ في المقام: $$x \times \frac{336.4}{x} = \pi \times x$$ $$336.4 = \pi x$$
3. الآن، أصبحت المعادلة مشابهة للسؤال السابق. نقوم بقسمة طرفي المعادلة على $\pi$ لعزل $x$: $$\frac{336.4}{\pi} = \frac{\pi x}{\pi}$$
4. **الخطوة 3 (النتيجة):** بإجراء عملية القسمة، باستخدام قيمة تقريبية لـ $\pi$ (مثل 3.14159): $$x = \frac{336.4}{3.14159} \approx 107.1$$
5. بالتقريب إلى أقرب جزء من عشرة: $$x \approx 107.1$$
6. إذن الإجابة هي: **x \approx 107.1**

إذا كانت مساحة صورة شكل بعد التمدد أربعة أمثال مساحة الشكل الأصلي، فما معامل مقياس التمدد k؟

• أ) k = 1
• ب) k = 2
• ج) k = 4
• د) k = 0.5

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: k = 2

الشرح: ١. العلاقة: مساحة الصورة = k² × مساحة الأصل. ٢. المعطى: مساحة الصورة = 4 × مساحة الأصل. ٣. بالتعويض: 4 × مساحة الأصل = k² × مساحة الأصل. ٤. بقسمة الطرفين على مساحة الأصل: k² = 4. ٥. بأخذ الجذر التربيعي: k = 2 (نأخذ القيمة الموجبة).

تلميح: تذكر العلاقة بين مساحة الصورة ومساحة الأصل بعد التمدد: مساحة الصورة = k² × مساحة الأصل.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أي من التحويلات الهندسية التالية تكون صورته مطابقة للشكل الأصلي (متطابقة في الحجم والشكل)؟

• أ) التمدد فقط
• ب) الإزاحة والتمدد
• ج) الإزاحة، الانعكاس، الدوران
• د) الانعكاس والتمدد

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الإزاحة، الانعكاس، الدوران

الشرح: التحويلات التي تحافظ على الأبعاد (الأطوال والزوايا) وتنتج أشكالاً متطابقة هي: ١. الإزاحة (Translation). ٢. الانعكاس (Reflection). ٣. الدوران (Rotation). هذه التحويلات لا تغير حجم الشكل.

تلميح: التحويلات المطابقة تحافظ على أطوال الأضلاع وقياس الزوايا.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

يرسم توفيق نسخة من لوحة فنية عرضها 3 ft وطولها 6 ft باستخدام معامل تمدد قدره 0.25. ما أبعاد الرسم بالبوصات؟ (1 ft = 12 in)

• أ) 4 in × 8 in
• ب) 8 in × 16 in
• ج) 9 in × 18 in
• د) 10 in × 20 in

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 9 in × 18 in

الشرح: ١. العرض الجديد = 3 ft × 0.25 = 0.75 ft. ٢. الطول الجديد = 6 ft × 0.25 = 1.5 ft. ٣. التحويل إلى بوصات: 0.75 ft × 12 = 9 in. ٤. 1.5 ft × 12 = 18 in. ٥. الأبعاد: 9 in × 18 in.

تلميح: اضرب كل بعد في معامل التمدد، ثم حول الناتج من القدم إلى البوصة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد قيمة x في المعادلة: 58.9 = 2x

• أ) x = 57.9
• ب) x = 29.45
• ج) x = 117.8
• د) x = 14.725

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: x = 29.45

الشرح: ١. المعادلة: 58.9 = 2x. ٢. لعزل x، نقسم الطرفين على 2. ٣. x = 58.9 / 2. ٤. x = 29.45.

تلميح: لحل المعادلة، اعزل x بقسمة الطرفين على معاملها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد قيمة x التقريبية في المعادلة: 228.4 = πx (استخدم π ≈ 3.14)

• أ) x ≈ 71.8
• ب) x ≈ 72.7
• ج) x ≈ 717.8
• د) x ≈ 7.27

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: x ≈ 72.7

الشرح: ١. المعادلة: 228.4 = πx. ٢. بقسمة الطرفين على π: x = 228.4 / π. ٣. بالتعويض π ≈ 3.14: x = 228.4 / 3.14. ٤. x ≈ 72.738. ٥. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة: x ≈ 72.7.

تلميح: اقسم الطرفين على π لحل المعادلة من أجل x.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أي مما يلي يصف التحويل الهندسي المركب الذي ينقل الشكل إلى صورته النهائية إذا كان التحويل يتكون من انعكاس حول المحور x ثم انعكاس حول المحور y؟

• أ) إزاحة بمقدار (0, 0).
• ب) تمدد بمعامل 1.
• ج) دوران 90° حول نقطة الأصل.
• د) دوران 180° حول نقطة الأصل.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: دوران 180° حول نقطة الأصل.

الشرح: 1. الانعكاس حول المحور x يغير إشارة الإحداثي الصادي: (x, y) → (x, -y). 2. ثم الانعكاس حول المحور y يغير إشارة الإحداثي السيني: (x, -y) → (-x, -y). 3. التحويل النهائي (-x, -y) هو نفس نتيجة دوران النقطة (x, y) بزاوية 180° حول نقطة الأصل. 4. النتيجة: التحويل المركب المكافئ هو دوران 180° حول نقطة الأصل.

تلميح: فكر في تأثير الانعكاس المتتالي حول محورين متعامدين.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أوجد قيمة x التقريبية في المعادلة: 108.6 / π = x (استخدم π ≈ 3.14).

• أ) 34.6
• ب) 108.6
• ج) 3.14
• د) 341.0

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 34.6

الشرح: 1. المعادلة: x = 108.6 / π. 2. استخدم π ≈ 3.14. 3. قم بالعملية الحسابية: x ≈ 108.6 ÷ 3.14. 4. 108.6 ÷ 3.14 = 34.585... 5. بالتقريب إلى أقرب جزء من عشرة: 34.6. 6. النتيجة: x ≈ 34.6.

تلميح: اقسم العدد 108.6 على القيمة التقريبية لـ π.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد قيمة x التقريبية في المعادلة: 336.4 / x = π (استخدم π ≈ 3.14).

• أ) 336.4
• ب) 107.1
• ج) 1056.3
• د) 10.7

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 107.1

الشرح: 1. المعادلة: 336.4 / x = π. 2. اضرب الطرفين في x: 336.4 = πx. 3. اقسم الطرفين على π: x = 336.4 / π. 4. استخدم π ≈ 3.14: x ≈ 336.4 ÷ 3.14. 5. 336.4 ÷ 3.14 = 107.133... 6. بالتقريب إلى أقرب جزء من عشرة: 107.1. 7. النتيجة: x ≈ 107.1.

تلميح: اعزل المتغير x بضرب الطرفين في x ثم قسمة الطرفين على π.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كان التحويل الهندسي المركب يتكون من إزاحة لأعلى 8 وحدات ثم انعكاس حول محور y، فما تأثير هذا التحويل المركب على إحداثيات النقطة (x, y)؟

• أ) (x, -y+8)
• ب) (-x, y+8)
• ج) (x+8, -y)
• د) (-x-8, y)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (-x, y+8)

الشرح: 1. ابدأ بالنقطة الأصلية: (x, y). 2. التحويل الأول: إزاحة لأعلى 8 وحدات. يضيف 8 إلى الإحداثي الصادي: (x, y) → (x, y+8). 3. التحويل الثاني: انعكاس حول محور y. يغير إشارة الإحداثي السيني: (x, y+8) → (-x, y+8). 4. النتيجة: الإحداثيات النهائية هي (-x, y+8).

تلميح: طبق التحويلات بالترتيب: أولاً الإزاحة، ثم الانعكاس.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

بين ما إذا كان للشكل (34) - وهو مثلث غير منتظم - محور تماثل أم لا، وكم عدد محاور التماثل؟

• أ) له محور تماثل واحد.
• ب) له محوران تماثل.
• ج) له 3 محاور تماثل.
• د) لا يوجد محور تماثل، وعددها 0.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: لا يوجد محور تماثل، وعددها 0.

الشرح: 1. محور التماثل هو خط يقسم الشكل إلى نصفين متطابقين عند الطي. 2. المثلث غير المنتظم (مثلث مختلف الأضلاع) ليس له أي خطوط تماثل. 3. لا يمكن طي أي مثلث غير منتظم على طول أي خط مستقيم لينطبق نصفاه تماماً. 4. النتيجة: عدد محاور التماثل = 0.

تلميح: محور التماثل يقسم الشكل إلى نصفين متطابقين تماماً. فكر في أنواع المثلثات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بين ما إذا كان للشكل (35) - وهو شبه منحرف متساوي الساقين - محور تماثل أم لا، وكم عدد محاور التماثل؟

• أ) لا يوجد محور تماثل.
• ب) له محوران تماثل.
• ج) له محور تماثل واحد (محور رأسي).
• د) له 4 محاور تماثل.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: له محور تماثل واحد (محور رأسي).

الشرح: 1. محور التماثل هو خط يقسم الشكل إلى نصفين متطابقين عند الطي. 2. شبه المنحرف المتساوي الساقين الذي قاعدتاه أفقيتان له محور تماثل رأسي واحد. 3. هذا المحور يمر بمنتصف القاعدة العلوية والقاعدة السفلية. 4. النتيجة: عدد محاور التماثل = 1.

تلميح: شبه المنحرف المتساوي الساقين له تماثل رأسي إذا كانت قاعدتاه أفقيتين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بين ما إذا كان للشكل (36) - وهو مسدس منتظم - محور تماثل أم لا، وكم عدد محاور التماثل؟

• أ) له 3 محاور تماثل.
• ب) له 6 محاور تماثل.
• ج) له محور تماثل واحد.
• د) لا يوجد محور تماثل.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: له 6 محاور تماثل.

الشرح: 1. محور التماثل هو خط يقسم الشكل إلى نصفين متطابقين عند الطي. 2. المسدس المنتظم (سداسي الأضلاع المنتظم) له 6 محاور تماثل. 3. هذه المحاور هي: 3 محاور تمر عبر الرؤوس المتقابلة، و3 محاور تمر عبر منتصفات الأضلاع المتقابلة. 4. النتيجة: عدد محاور التماثل = 6.

تلميح: المضلع المنتظم له عدد من محاور التماثل يساوي عدد أضلاعه.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

صف التحويل الهندسي المركب الذي ينقل الشكل إلى صورته النهائية إذا كان التحويل يتكون من إزاحة لأعلى 8 وحدات ثم انعكاس حول محور y.

• أ) انعكاس حول محور y ثم إزاحة لأعلى 8 وحدات.
• ب) إزاحة لأعلى 8 وحدات ثم انعكاس حول محور x.
• ج) إزاحة لأعلى 8 وحدات ثم انعكاس حول محور y.
• د) دوران 90 درجة ثم إزاحة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إزاحة لأعلى 8 وحدات ثم انعكاس حول محور y.

الشرح: 1. التحويل المركب هو سلسلة من تحويلين أو أكثر تُطبق بالتتابع. 2. في هذا السيناريو، التحويل الأول هو إزاحة رأسية لأعلى بمقدار 8 وحدات. 3. التحويل الثاني الذي يُطبق على النتيجة هو انعكاس حول المحور y. 4. يجب ذكر التحويلات بالترتيب الذي تم تطبيقهما به. 5. النتيجة: إزاحة لأعلى 8 وحدات ثم انعكاس حول محور y.

تلميح: التحويل المركب هو تطبيق تحويلين هندسيين أو أكثر بالتتابع. رتب التحويلات كما حدثت.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط