صفحة 20 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: اكتب الصيغة التي استعملتها لإيجاد قياس زاوية داخلية للمضلع المنتظم.

الإجابة: =C2/A2

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** قياس الزاوية الداخلية الواحدة للمضلع المنتظم يُحسب بقسمة مجموع قياسات الزوايا الداخلية على عدد الأضلاع (أو عدد الزوايا).
2. **الخطوة 2 (الصيغة الرياضية):** مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع ذي $n$ ضلع هو $(n-2) \times 180^\circ$. إذن، قياس الزاوية الداخلية الواحدة هو: $$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$
3. **الخطوة 3 (التطبيق في جدول البيانات):** إذا افترضنا أن الخلية A2 تحتوي على عدد الأضلاع ($n$)، وأن الخلية C2 تحتوي على مجموع قياسات الزوايا الداخلية (الذي يمكن حسابه بصيغة مثل `=(A2-2)*180`)، فإن الصيغة لإيجاد قياس الزاوية الداخلية الواحدة ستكون بقسمة مجموع الزوايا على عدد الأضلاع. إذن الصيغة هي: **=C2/A2**

سؤال 2: اكتب الصيغة التي استعملتها لإيجاد مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع المنتظم.

الإجابة: =180-D2

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم الأساسي):** مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب هو دائماً $360^\circ$. هذه قاعدة ثابتة لا تتغير بتغير عدد الأضلاع.
2. **الخطوة 2 (تفسير الإجابة المعطاة):** الصيغة المعطاة "=180-D2" لا تُستخدم لإيجاد *مجموع* قياسات الزوايا الخارجية، بل تُستخدم لإيجاد قياس *زاوية خارجية واحدة* إذا كانت الخلية D2 تحتوي على قياس الزاوية الداخلية المقابلة لها. فكل زاوية داخلية وزاويتها الخارجية المجاورة لها تكونان زاوية مستقيمة قياسها $180^\circ$.
3. **الخطوة 3 (الصيغة المطلوبة حسب الإجابة):** إذا كان المقصود هو إيجاد قياس زاوية خارجية واحدة بمعلومية الزاوية الداخلية (الموجودة في الخلية D2)، فإن الصيغة هي: **=180-D2**

سؤال 3: ما قياس كل زاوية داخلية إذا كان عدد الأضلاع 1 أو 2؟

الإجابة: 180° ، 360°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم الأساسي للمضلع):** المضلع هو شكل هندسي مغلق يتكون من ثلاثة أضلاع مستقيمة أو أكثر. هذا يعني أن الأشكال ذات الضلع الواحد أو الضلعين لا تُعتبر مضلعات بالمعنى الهندسي المتعارف عليه.
2. **الخطوة 2 (تفسير الحالات غير المضلعة):** - **إذا كان عدد الأضلاع 1:** لا يمكن تشكيل مضلع مغلق. إذا اعتبرنا قطعة مستقيمة، يمكن أن يكون قياس الزاوية المستقيمة 180 درجة. - **إذا كان عدد الأضلاع 2:** لا يمكن تشكيل مضلع مغلق. إذا افترضنا أن الضلعين يشكلان شكلاً مغلقاً بشكل افتراضي (مثل خطين متوازيين أو متطابقين يشكلان حلقة)، فقد يُنظر إلى الزاوية الكلية على أنها 360 درجة، أو قد تكون 180 درجة إذا كانا متطابقين على استقامة واحدة.
3. **الخطوة 3 (النتيجة مع التوضيح):** بما أن الأشكال ذات الضلع الواحد أو الضلعين ليست مضلعات، فلا يوجد لها زوايا داخلية بالمعنى التقليدي للمضلعات. ولكن إذا تم تفسير السؤال في سياق أوسع أو كحالات افتراضية، فقد تكون القياسات: **180° ، 360°**، مع التأكيد على أنها لا تمثل زوايا داخلية لمضلعات حقيقية.

سؤال 4: هل من الممكن أن يكون عدد الأضلاع 1 أو 2؟ وضح إجابتك.

الإجابة: لا؛ لأن المضلع يجب أن يكون من 3 أضلاع فأكثر ليكون مغلقاً.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لا، ليس من الممكن أن يكون عدد أضلاع المضلع 1 أو 2. السبب في ذلك يعود إلى تعريف المضلع في الهندسة. المضلع هو شكل مستوٍ مغلق يتكون من ثلاثة قطع مستقيمة أو أكثر (تسمى أضلاعاً) تتقاطع فقط عند نقاط نهاياتها (تسمى رؤوساً). لإنشاء شكل مغلق يحيط بمنطقة ما، نحتاج إلى ثلاث قطع مستقيمة على الأقل. بضلع واحد، لا يمكن إغلاق الشكل. وبضلعين، لا يمكن أيضاً إغلاق الشكل لتكوين منطقة محصورة. لذلك الإجابة هي: **لا؛ لأن المضلع يجب أن يكون من 3 أضلاع فأكثر ليكون مغلقاً.**

سؤال 5: ما عدد المثلثات في مضلع عدد أضلاعه 17 ضلعاً؟

الإجابة: 17 – 2 = 15 مثلثاً

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مضلع عدد أضلاعه $n = 17$ ضلعاً.
2. **الخطوة 2 (القانون):** عند رسم جميع الأقطار الممكنة من رأس واحد في أي مضلع، فإنها تقسم المضلع إلى عدد من المثلثات. عدد هذه المثلثات يساوي دائماً عدد أضلاع المضلع مطروحاً منه 2. الصيغة هي: عدد المثلثات = $n - 2$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بعدد الأضلاع: $$عدد المثلثات = 17 - 2 = 15$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن عدد المثلثات في مضلع عدد أضلاعه 17 ضلعاً هو: **15 مثلثاً**

سؤال 6: أوجد قياس الزاوية الخارجية لمضلع منتظم عدد أضلاعه 16 ضلعاً.

الإجابة: 360 ÷ 16 = 22.5°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مضلع منتظم عدد أضلاعه $n = 16$ ضلعاً.
2. **الخطوة 2 (القانون):** مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب هو $360^\circ$. وبما أن المضلع منتظم، فإن جميع زواياه الخارجية متساوية في القياس. إذن، قياس الزاوية الخارجية الواحدة = $$\frac{360^\circ}{n}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بعدد الأضلاع: $$قياس الزاوية الخارجية = \frac{360^\circ}{16} = 22.5^\circ$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية الخارجية لمضلع منتظم عدد أضلاعه 16 ضلعاً هو: **22.5°**

سؤال 7: أوجد قياس زاوية داخلية لمضلع منتظم عدد أضلاعه 115 ضلعاً مقرباً إجابتك إلى أقرب عشر.

الإجابة: (115 – 2) × 180° / 115 ≈ 176.9°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مضلع منتظم عدد أضلاعه $n = 115$ ضلعاً.
2. **الخطوة 2 (القانون):** قياس الزاوية الداخلية الواحدة لمضلع منتظم يُحسب باستخدام الصيغة التالية: $$قياس الزاوية الداخلية = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بعدد الأضلاع: $$قياس الزاوية الداخلية = \frac{(115-2) \times 180^\circ}{115}$$ $$قياس الزاوية الداخلية = \frac{113 \times 180^\circ}{115}$$ $$قياس الزاوية الداخلية = \frac{20340^\circ}{115}$$ $$قياس الزاوية الداخلية \approx 176.869565^\circ$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بتقريب الإجابة إلى أقرب عشر (منزلة عشرية واحدة)، ننظر إلى الرقم الثاني بعد الفاصلة. إذا كان 5 أو أكبر، نقرب الرقم الأول للأعلى. إذن قياس الزاوية الداخلية هو: **\approx 176.9°**

سؤال 8: إذا كان قياس كل من الزوايا الخارجية 0°، فأوجد قياس الزاوية الداخلية. وهل هذا ممكن؟ وضح إجابتك.

الإجابة: الداخلية = 180°، غير ممكن؛ لأن مجموع الزوايا الخارجية يجب أن يكون 360°.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (إيجاد قياس الزاوية الداخلية):** نعلم أن الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية المجاورة لها في أي مضلع تكونان متكاملتين (مجموعهما $180^\circ$). إذا كان قياس الزاوية الخارجية = $0^\circ$، فإن قياس الزاوية الداخلية = $180^\circ - 0^\circ = 180^\circ$.
2. **الخطوة 2 (التحقق من الإمكانية):** مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب هو دائماً $360^\circ$. إذا كان قياس كل زاوية خارجية $0^\circ$، فإن مجموع الزوايا الخارجية سيكون $0^\circ$ (عدد الأضلاع $\times 0^\circ$).
3. **الخطوة 3 (النتيجة والتوضيح):** هذا يتناقض مع القاعدة التي تنص على أن مجموع الزوايا الخارجية يجب أن يكون $360^\circ$. لذلك، من غير الممكن أن يكون قياس كل زاوية خارجية $0^\circ$ لمضلع حقيقي. هذا يعني أن المضلع سيكون مضلعاً متدهوراً (degenerate polygon)، أي أنه سيكون خطاً مستقيماً وليس شكلاً مغلقاً يحيط بمنطقة. إذن الإجابة هي: **الداخلية = 180°، غير ممكن؛ لأن مجموع الزوايا الخارجية يجب أن يكون 360°.**

في برنامج الجداول الإلكترونية، إذا كان العمود A يحتوي على عدد أضلاع المضلع (n)، والعمود C يحتوي على مجموع قياسات زواياه الداخلية، فما الصيغة التي تكتبها في خلية لإيجاد قياس زاوية داخلية واحدة لمضلع منتظم؟

• أ) =A2/C2
• ب) =C2/A2
• ج) =180*B2
• د) =180-D2

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: =C2/A2

الشرح: ١. قياس الزاوية الداخلية الواحدة لمضلع منتظم يُحسب بقسمة مجموع قياسات زواياه الداخلية على عدد أضلاعه. ٢. إذا كانت الخلية A2 تحتوي على عدد الأضلاع (n)، والخلية C2 تحتوي على مجموع الزوايا الداخلية (S)، فإن الصيغة هي: قياس الزاوية = S / n. ٣. في صيغة الجداول الإلكترونية، تكتب هكذا: =C2/A2

تلميح: قياس الزاوية الداخلية الواحدة = مجموع الزوايا الداخلية ÷ عدد الأضلاع.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

في برنامج الجداول الإلكترونية، إذا كان العمود D يحتوي على قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم، فما الصيغة التي تكتبها لإيجاد قياس زاوية خارجية واحدة؟

• أ) =360/A2
• ب) =D2/180
• ج) =180-D2
• د) =C2/A2

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: =180-D2

الشرح: ١. الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية المجاورة لها في أي مضلع تكونان زاوية مستقيمة. ٢. قياس الزاوية المستقيمة هو 180 درجة. ٣. لذلك، قياس الزاوية الخارجية = 180° - قياس الزاوية الداخلية. ٤. في صيغة الجداول، إذا كانت الزاوية الداخلية في الخلية D2، تكتب: =180-D2

تلميح: الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية المجاورة لها متكاملتان (مجموعهما 180°).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

هل يمكن أن يكون للمضلع ضلع واحد أو ضلعان؟

• أ) نعم، لكنهما حالات خاصة نادرة.
• ب) نعم، إذا كانا يشكلان زاوية.
• ج) لا، لأن المضلع يجب أن يكون من 3 أضلاع فأكثر ليكون شكلاً مغلقاً.
• د) نعم، إذا كان الضلعان متوازيين.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا، لأن المضلع يجب أن يكون من 3 أضلاع فأكثر ليكون شكلاً مغلقاً.

الشرح: ١. تعريف المضلع: هو شكل مستوٍ مغلق، يتكون من اتحاد ثلاثة قطع مستقيمة أو أكثر (تسمى أضلاعاً). ٢. الشرط الأساسي هو أن يكون الشكل مغلقاً ويحيط بمنطقة. ٣. بضلع واحد أو ضلعين، لا يمكن تكوين شكل مغلق يحيط بمنطقة داخلية. ٤. لذلك، أقل عدد لأضلاع المضلع هو 3 (مثلث).

تلميح: تذكر تعريف المضلع في الهندسة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما عدد المثلثات التي يمكن تقسيم مضلع ذي 17 ضلعاً إليها عند رسم جميع الأقطار الممكنة من أحد رؤوسه؟

• أ) 17 مثلثاً
• ب) 15 مثلثاً
• ج) 19 مثلثاً
• د) 34 مثلثاً

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 15 مثلثاً

الشرح: ١. عند رسم جميع الأقطار الممكنة من رأس واحد في مضلع، ينقسم المضلع إلى مثلثات. ٢. قاعدة حساب عدد هذه المثلثات: عدد المثلثات = (ن - 2)، حيث (ن) هو عدد أضلاع المضلع. ٣. بالتطبيق: عدد المثلثات = 17 - 2 = 15 مثلثاً.

تلميح: عدد المثلثات داخل المضلع = عدد أضلاعه ناقص 2.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما قياس الزاوية الخارجية الواحدة لمضلع منتظم عدد أضلاعه 16 ضلعاً؟

• أ) 22.5°
• ب) 45°
• ج) 11.25°
• د) 90°

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 22.5°

الشرح: ١. مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب هو 360° (قاعدة ثابتة). ٢. في المضلع المنتظم، جميع الزوايا الخارجية متساوية في القياس. ٣. قياس الزاوية الخارجية الواحدة = 360° ÷ عدد الأضلاع (ن). ٤. بالتطبيق: قياس الزاوية = 360° ÷ 16 = 22.5°.

تلميح: مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب هو 360°. وفي المضلع المنتظم جميع الزوايا الخارجية متساوية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في برنامج الجداول الإلكترونية، إذا كان العمود A يحتوي على عدد أضلاع المضلع (n)، والعمود B يحتوي على عدد المثلثات (n-2)، فما الصيغة التي تكتبها في الخلية C2 لحساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع؟

• أ) =A2*180
• ب) =180*B2
• ج) =180/A2
• د) =B2/180

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: =180*B2

الشرح: ١. مجموع قياسات زوايا أي مثلث هو 180°. ٢. عند تقسيم مضلع إلى مثلثات، يكون عدد المثلثات = n - 2. ٣. إذن، مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع = (n - 2) × 180°. ٤. في الجدول، إذا كانت الخلية B2 تحتوي على (n-2)، فإن الصيغة هي =180*B2.

تلميح: مجموع قياسات الزوايا الداخلية = (عدد المثلثات) × 180°

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

في برنامج الجداول الإلكترونية، إذا كان العمود D يحتوي على قياس الزاوية الداخلية الواحدة لمضلع منتظم، فما الصيغة التي تكتبها في الخلية E2 لحساب قياس الزاوية الخارجية الواحدة؟

• أ) =360/D2
• ب) =D2-180
• ج) =180-D2
• د) =360-A2

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: =180-D2

الشرح: ١. الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية المجاورة لها في أي مضلع تكونان متكاملتين. ٢. مجموع قياس الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية المجاورة لها يساوي 180°. ٣. إذن، قياس الزاوية الخارجية = 180° - قياس الزاوية الداخلية. ٤. في الجدول، إذا كانت الخلية D2 تحتوي على قياس الزاوية الداخلية، فإن الصيغة هي =180-D2.

تلميح: الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية المجاورة لها تكونان زاوية مستقيمة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما قياس كل زاوية داخلية في مضلع منتظم إذا كان عدد أضلاعه 10 أضلاع، بناءً على البيانات في الجدول؟

• أ) 140°
• ب) 135°
• ج) 144°
• د) 120°

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 144°

الشرح: ١. يوضح الجدول خصائص المضلعات المنتظمة من 3 إلى 10 أضلاع. ٢. عند البحث عن الصف الذي فيه 'عدد الأضلاع' = 10. ٣. نجد أن قيمة 'قياس كل زاوية داخلية' المقابلة هي 144°. ٤. هذا يتوافق مع القانون: قياس الزاوية الداخلية = ((n-2)×180)/n = ((10-2)×180)/10 = (8×180)/10 = 144°.

تلميح: انظر إلى الصف الذي فيه عدد الأضلاع = 10 في عمود 'قياس كل زاوية داخلية'.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما قياس الزاوية الخارجية الواحدة لمضلع منتظم عدد أضلاعه 115 ضلعاً، مقرباً إلى أقرب عشر؟

• أ) 3.1°
• ب) 176.9°
• ج) 0.3°
• د) 31.3°

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 3.1°

الشرح: ١. مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب = 360°. ٢. في المضلع المنتظم، قياس كل زاوية خارجية = 360° ÷ عدد الأضلاع (n). ٣. بالتعويض: قياس الزاوية الخارجية = 360 ÷ 115. ٤. 360 ÷ 115 ≈ 3.1304347... ٥. بالتقريب إلى أقرب عشر (منزلة عشرية واحدة): 3.1°.

تلميح: مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب هو 360°. في المضلع المنتظم، جميع الزوايا الخارجية متساوية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كان قياس كل زاوية خارجية في مضلع ما هو 0°، فما قياس الزاوية الداخلية المقابلة لها؟ وهل هذا الوضع ممكن لمضلع حقيقي؟

• أ) قياس الزاوية الداخلية = 0°، وهذا ممكن.
• ب) قياس الزاوية الداخلية = 90°، وهذا ممكن.
• ج) قياس الزاوية الداخلية = 180°، وهذا غير ممكن.
• د) قياس الزاوية الداخلية = 360°، وهذا ممكن.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: قياس الزاوية الداخلية = 180°، وهذا غير ممكن.

الشرح: ١. الزاوية الداخلية + الزاوية الخارجية المجاورة = 180°. ٢. إذا كانت الزاوية الخارجية = 0°، فإن الزاوية الداخلية = 180° - 0° = 180°. ٣. مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب هو 360° دائماً. ٤. إذا كان قياس كل زاوية خارجية 0°، فسيكون المجموع 0°، وهذا يناقض القاعدة. ٥. لذلك، هذا الوضع غير ممكن لمضلع حقيقي (سيكون مضلعاً متدهوراً، أي خطاً مستقيماً).

تلميح: تذكر العلاقة بين الزاوية الداخلية والخارجية، والقاعدة الثابتة لمجموع الزوايا الخارجية.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط