نظريات - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 خصائص قطرا متوازي الأضلاع

المفاهيم الأساسية

نظرية 5.7: قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر.

نظرية 5.8: قطر متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متطابقين.

خريطة المفاهيم

```markmap

خصائص متوازي الأضلاع

خصائص الأضلاع والزوايا

الضلعان المتقابلان متطابقان

• مثال: في ▱JKLM: JK = ML ، JM = KL

الزاويتان المتقابلتان متطابقتان

• مثال: في ▱JKLM: ∠J ≅ ∠L ، ∠K ≅ ∠M

الزاويتان المتحالفتان متكاملتان

• مجموع قياسيهما = 180°
• مثال: x° + y° = 180°

إذا كانت إحدى الزوايا قائمة

• فإن جميع الزوايا الأربع قوائم

التعريف الأساسي

• شكل رباعي
• كل ضلعين متقابلين متوازيان
• مثال: في ▱ABCD: AB || DC ، AD || BC

خصائص الأقطار

قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر

• نظرية 5.7
• مثال: AP ≅ PC ، DP ≅ PB

قطر متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متطابقين

• نظرية 5.8
• مثال: ΔABD ≅ ΔCDB

برهان نظرية 5.4

• المعطيات: FGHI متوازي أضلاع
• المطلوب: ∠F ≅ ∠H ، ∠J ≅ ∠G
• المبررات:

- تعريف متوازي الأضلاع

- خاصية الزوايا المتحالفة

- الزاويتان المكملتان للزاوية نفسها متطابقتان

```

نقاط مهمة

• سوف تبرهن النظريتين 5.8 و 5.7 في السؤالين 26 و 28 على الترتيب.
• يمكن استخدام هذه الخصائص لحل مسائل جبرية لإيجاد قيم متغيرات مجهولة.

---

حل مثال

مثال 2: إذا كان QRST متوازي أضلاع، فأوجد قيمة كل من المتغيرات الآتية:

* أ) `x`:

* في متوازي الأضلاع، الضلعان المتقابلان متطابقان، لذا: `QT ≅ RS`.

* `QT = RS`

* `5x = 27`

* `x = 5.4`

* ب) `y`:

* في متوازي الأضلاع، القطران ينصف كل منهما الآخر، لذا: `TP ≅ PR`.

* `TP = PR`

* `2y - 5 = y + 4`

* `y = 9`

* ج) `z`:

* في متوازي الأضلاع، القطر يقسمه إلى مثلثين متطابقين، لذا: `ΔTQS ≅ ΔRSQ`.

* ومن تطابق المثلثين، الزوايا المتناظرة متطابقة: `∠QST ≅ ∠SQR`.

* `m∠QST = m∠SQR`

* `3z = 33°`

* `z = 11`

---

تحقق من فهمك

2A) أوجد قيمة المتغير في كل من متوازي الأضلاع الآتيين:

* الشكل الأول (لإيجاد `x`):

* في متوازي الأضلاع، الزاويتان المتحالفتان متكاملتان (مجموعهما 180°).

* `4x + (2x - 6) = 180`

* `6x - 6 = 180`

* `6x = 186`

* `x = 31`

* الشكل الأول (لإيجاد `y`):

* في متوازي الأضلاع، الضلعان المتقابلان متطابقان.

* `y + 8 = 5y`

* `8 = 4y`

* `y = 2`

2B) أوجد قيمة المتغير في كل من متوازي الأضلاع الآتيين:

* الشكل الثاني (لإيجاد `z`):

* في متوازي الأضلاع، القطران ينصف كل منهما الآخر، لذا فإن جزأي القطر متطابقان.

* `3z - 4 = z + 5`

* `2z = 9`

* `z = 4.5`

قطرا متوازي الأضلاع، قطرا متوازي الأضلاع يحققان الخاصيتين الآتيتين:

أضف إلى مطويتك

نظريات

5.7 قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر. مثال: AP ≅ PC, DP ≅ PB

5.8 قطر متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متطابقين. مثال: ΔABD ≅ ΔCDB

سوف تبرهن النظريتين 5.8, 5.7 في السؤالين 26, 28 على الترتيب

جبر: إذا كان QRST متوازي أضلاع، فأوجد قيمة كل من المتغيرات الآتية:

تحقق من فهمك

أوجد قيمة المتغير في كل من متوازي الأضلاع الآتيين:

أوجد قيمة المتغير في كل من متوازي الأضلاع الآتيين:

الدرس 5-2 متوازي الأضلاع 23

قطرا متوازي الأضلاع، قطرا متوازي الأضلاع يحققان الخاصيتين الآتيتين: أضف إلى مطويتك --- SECTION: نظريات --- نظريات --- SECTION: قطرا متوازي الأضلاع --- 5.7 قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر. مثال: AP ≅ PC, DP ≅ PB 5.8 قطر متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متطابقين. مثال: ΔABD ≅ ΔCDB سوف تبرهن النظريتين 5.8, 5.7 في السؤالين 26, 28 على الترتيب --- SECTION: مثال 2 --- جبر: إذا كان QRST متوازي أضلاع، فأوجد قيمة كل من المتغيرات الآتية: a. x QT ≅ RS QT = RS 5x = 27 x = 5.4 b. y TP ≅ PR TP = PR 2y - 5 = y + 4 y = 9 c. z ΔTQS ≅ ΔRSQ ∠QST ≅ ∠SQR m∠QST = m∠SQR 3z = 33° z = 11 تحقق من فهمك --- SECTION: 2A --- أوجد قيمة المتغير في كل من متوازي الأضلاع الآتيين: --- SECTION: 2B --- أوجد قيمة المتغير في كل من متوازي الأضلاع الآتيين: الدرس 5-2 متوازي الأضلاع 23 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A parallelogram labeled ABCD. Diagonals AC and BD intersect at point P. The segment AP is marked with a single hash mark, and segment PC is also marked with a single hash mark, indicating that AP ≅ PC. The segment DP is marked with a double hash mark, and segment PB is also marked with a double hash mark, indicating that DP ≅ PB. Key Values: AP ≅ PC, DP ≅ PB Context: Illustrates the theorem that the diagonals of a parallelogram bisect each other. **DIAGRAM**: Untitled Description: A parallelogram labeled ABCD with a single diagonal BD drawn. This diagonal divides the parallelogram into two triangles, ΔABD and ΔCDB. Key Values: ΔABD ≅ ΔCDB Context: Illustrates the theorem that a diagonal divides a parallelogram into two congruent triangles. **DIAGRAM**: Untitled Description: A parallelogram labeled QRST. Side QT is labeled with the expression '5x'. Side RS is labeled with the value '27'. Diagonal QS is drawn. Diagonal RT is drawn, intersecting QS at point P. Segment TP is labeled with the expression '2y - 5'. Segment PR is labeled with the expression 'y + 4'. Angle Q is labeled '95°'. Angle R is labeled '33°'. Angle S (specifically ∠QST) is labeled '3z°'. Angle S (specifically ∠RSQ) is labeled '33°'. Key Values: QT = 5x, RS = 27, TP = 2y - 5, PR = y + 4, ∠Q = 95°, ∠R = 33°, ∠QST = 3z°, ∠RSQ = 33° Context: Used as an example to find unknown variable values (x, y, z) by applying properties of parallelograms such as opposite sides being congruent, diagonals bisecting each other, and alternate interior angles being congruent. **DIAGRAM**: Untitled Description: A parallelogram with four vertices. One interior angle is labeled '4x°'. The adjacent interior angle (sharing a side with the '4x°' angle) is labeled '(2x - 6)°'. One side of the parallelogram is labeled 'y + 8'. The side opposite to 'y + 8' is labeled '5y'. Key Values: Angle 1 = 4x°, Angle 2 = (2x - 6)°, Side 1 = y + 8, Side 2 = 5y Context: This diagram is used for question 2A to find the values of variables x and y by applying the properties of parallelograms, specifically that consecutive angles are supplementary (sum to 180°) and opposite sides are congruent. **DIAGRAM**: Untitled Description: A parallelogram with both diagonals drawn. One segment of a diagonal is labeled with the expression '3z - 4'. The other segment of the same diagonal (the part that is bisected by the other diagonal) is labeled with the expression 'z + 5'. Key Values: Diagonal segment 1 = 3z - 4, Diagonal segment 2 = z + 5 Context: This diagram is used for question 2B to find the value of variable z by applying the property that the diagonals of a parallelogram bisect each other, meaning the two segments of a diagonal are congruent.