إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 خصائص متوازي الأضلاع (تطبيقات وبرهان)

المفاهيم الأساسية

الزاويتان المتحالفتان: زاويتان تقعان على نفس الضلع من القاطع في مستقيمين متوازيين، وهما متكاملتان (مجموعهما 180°).

الزاويتان المكملتان للزاوية نفسها: تكونان متطابقتين.

خريطة المفاهيم

```markmap

خصائص متوازي الأضلاع

خصائص الأضلاع والزوايا

الضلعان المتقابلان متطابقان

• مثال: في ▱JKLM: JK = ML ، JM = KL

الزاويتان المتقابلتان متطابقتان

• مثال: في ▱JKLM: ∠J ≅ ∠L ، ∠K ≅ ∠M

الزاويتان المتحالفتان متكاملتان

• مجموع قياسيهما = 180°
• مثال: x° + y° = 180°

إذا كانت إحدى الزوايا قائمة

• فإن جميع الزوايا الأربع قوائم

التعريف الأساسي

• شكل رباعي
• كل ضلعين متقابلين متوازيان
• مثال: في ▱ABCD: AB || DC ، AD || BC

برهان نظرية 5.4

• المعطيات: FGHI متوازي أضلاع
• المطلوب: ∠F ≅ ∠H ، ∠J ≅ ∠G
• المبررات:

- تعريف متوازي الأضلاع

- خاصية الزوايا المتحالفة

- الزاويتان المكملتان للزاوية نفسها متطابقتان

```

نقاط مهمة

• عند كتابة برهان، يجب رسم شكل واضح للإشارة بدقة إلى القطع والزوايا.
• نظرية 5.4 تثبت أن الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة.
• لحل مسائل متوازي الأضلاع، استخدم خصائص: تطابق الأضلاع المتقابلة، وتطابق الزوايا المتقابلة، وتكامل الزوايا المتحالفة.

---

حل مثال

المثال (كرة سلة): في متوازي الأضلاع ABCD، إذا كان m∠A = 55°، AB = 2.5 ft، BC = 1 ft، فأوجد:

* (a) DC

* الحل: DC = AB = 2.5 ft

* السبب: الضلعان المتقابلان في متوازي الأضلاع متطابقان.

* (b) m∠B

* الحل: m∠B = 180° - 55° = 125°

* السبب: الزاويتان المتحالفتان في متوازي الأضلاع متكاملتان (مجموعهما 180°).

* (c) m∠C

* الحل: m∠C = m∠A = 55°

* السبب: الزاويتان المتقابلتان في متوازي الأضلاع متطابقتان.

---

تحقق من فهمك

السؤال 1 (مرايا): في متوازي الأضلاع JKLM، إذا كان m∠J = 47°، MJ = 8 cm، فأوجد:

* (A) LK

* الحل: LK = MJ = 8 cm

* السبب: الضلعان المتقابلان في متوازي الأضلاع متطابقان.

* (B) m∠L

* الحل: m∠L = m∠J = 47°

* السبب: الزاويتان المتقابلتان في متوازي الأضلاع متطابقتان.

* (C) إذا مُد الذراع حتى أصبح m∠J = 90°، فكم يصبح قياس كل من m∠L, ∠K؟ برر إجابتك.

* الحل: m∠L = 90°، m∠K = 90°

* السبب: إذا أصبحت إحدى زوايا متوازي الأضلاع قائمة (90°)، فإن الزاوية المقابلة لها تكون قائمة أيضًا (خاصية التطابق). والزاوية المجاورة لها تكون قائمة لأنها مكملة لها (180° - 90° = 90°)، وبالتالي تصبح جميع زواياه قوائم.

إرشادات للدراسة رسم الأشكال: تكتب النظريات بمصطلحات عامة، أما في البرهان فيجب رسم شكل بحيث يمكن من خلاله الإشارة إلى القطع المستقيمة والزوايا بصورة دقيقة.

برهان

نظرية 5.4 اكتب برهانا ذا عمودين للنظرية 5.4. المعطيات: FGHI المطلوب: ∠F ≅ ∠H, ∠J ≅ ∠G البرهان:

العبارات 1) FGHI 2) FG || JH, FJ || GH 3) ∠F, ∠J متكاملتان. ∠J, ∠H متكاملتان. ∠H, ∠G متكاملتان. 4) ∠F ≅ ∠H, ∠J ≅ ∠G المبررات 1) معطى. 2) تعريف متوازي الأضلاع. 3) إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين، فإن كل زاويتين متحالفتين متكاملتان. 4) الزاويتان المكملتان للزاوية نفسها تكونان متطابقتين.

مثال 1 من واقع الحياة

استعمال خصائص متوازي الأضلاع

كرة سلة: في ABCD، إذا كان m∠A = 55°, AB = 2.5 ft, BC = 1 ft، فأوجد كلا مما يأتي، وبرر إجابتك.

DC (a) DC ≅ AB كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متطابقان تعريف تطابق القطع المستقيمة DC = AB بالتعويض = 2.5 ft

m∠B (b) m∠B + m∠A = 180° كل زاويتين متحالفتين في متوازي الأضلاع متكاملتان m∠B + 55° = 180° بالتعويض m∠B = 125° بطرح 55° من كلا الطرفين

m∠C (c) m∠C = m∠A كل زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع متطابقتان = 55° بالتعويض

الربط مع الحياة الأبعاد القياسية لملعب كرة السلة هي 94 ft × 50 ft والارتفاع القياسي للهدف عن الأرض 10 ft.

تحقق من فهمك

1) مرايا: تُستعمل في مرآة الحائط المبينة جانبًا متوازيات أضلاع يتغير شكلها كلما مُد الذراع. في JKLM، إذا كان m∠J = 47°, MJ = 8 cm، فأوجد كلا مما يأتي:

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

22 الفصل 5 الأشكال الرباعية

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة رسم الأشكال: تكتب النظريات بمصطلحات عامة، أما في البرهان فيجب رسم شكل بحيث يمكن من خلاله الإشارة إلى القطع المستقيمة والزوايا بصورة دقيقة. --- SECTION: برهان --- برهان --- SECTION: نظرية 5.4 --- نظرية 5.4 اكتب برهانا ذا عمودين للنظرية 5.4. المعطيات: FGHI المطلوب: ∠F ≅ ∠H, ∠J ≅ ∠G البرهان: --- SECTION: جدول البرهان --- العبارات 1) FGHI 2) FG || JH, FJ || GH 3) ∠F, ∠J متكاملتان. ∠J, ∠H متكاملتان. ∠H, ∠G متكاملتان. 4) ∠F ≅ ∠H, ∠J ≅ ∠G المبررات 1) معطى. 2) تعريف متوازي الأضلاع. 3) إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين، فإن كل زاويتين متحالفتين متكاملتان. 4) الزاويتان المكملتان للزاوية نفسها تكونان متطابقتين. --- SECTION: مثال 1 من واقع الحياة --- مثال 1 من واقع الحياة --- SECTION: استعمال خصائص متوازي الأضلاع --- استعمال خصائص متوازي الأضلاع --- SECTION: كرة سلة --- كرة سلة: في ABCD، إذا كان m∠A = 55°, AB = 2.5 ft, BC = 1 ft، فأوجد كلا مما يأتي، وبرر إجابتك. a. DC b. m∠B c. m∠C --- SECTION: حل الجزء a --- DC (a) DC ≅ AB كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متطابقان تعريف تطابق القطع المستقيمة DC = AB بالتعويض = 2.5 ft --- SECTION: حل الجزء b --- m∠B (b) m∠B + m∠A = 180° كل زاويتين متحالفتين في متوازي الأضلاع متكاملتان m∠B + 55° = 180° بالتعويض m∠B = 125° بطرح 55° من كلا الطرفين --- SECTION: حل الجزء c --- m∠C (c) m∠C = m∠A كل زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع متطابقتان = 55° بالتعويض --- SECTION: الربط مع الحياة --- الربط مع الحياة الأبعاد القياسية لملعب كرة السلة هي 94 ft × 50 ft والارتفاع القياسي للهدف عن الأرض 10 ft. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 1 --- 1) مرايا: تُستعمل في مرآة الحائط المبينة جانبًا متوازيات أضلاع يتغير شكلها كلما مُد الذراع. في JKLM، إذا كان m∠J = 47°, MJ = 8 cm، فأوجد كلا مما يأتي: A. LK B. m∠L C. إذا مُد الذراع حتى أصبح m∠J = 90°، فكم يصبح قياس كل من m∠L, ∠K؟ برر إجابتك. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 22 الفصل 5 الأشكال الرباعية --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A quadrilateral labeled FGHJ, depicted as a parallelogram. The vertices are F (top-left), G (top-right), H (bottom-right), J (bottom-left). Sides FG and JH appear parallel, and FJ and GH appear parallel. Context: Illustrates the parallelogram for Theorem 5.4, which states that opposite angles of a parallelogram are congruent. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram of a basketball hoop with a backboard. A parallelogram-like structure is labeled ABCD. Point A is at the top-left of the structure, D is below A, B is to the right of A, and C is below B. Line segment AB is a diagonal support, and DC is a vertical support. The backboard is attached to the structure. Context: Provides the visual context for the basketball example problem, illustrating the parallelogram ABCD. **IMAGE**: Untitled Description: A color photograph showing a basketball game in progress. Two players in red jerseys and one in a white jersey are visible on a wooden court. A basketball hoop with a net is in the background. The players are actively engaged in the game. Context: Provides a real-world visual for the basketball-themed example problem and the 'Connection to Life' sidebar. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing a circular wall mirror attached to an extendable arm. The arm is composed of a series of interconnected parallelogram linkages. One such parallelogram is highlighted and labeled JKLM. J is the top-left vertex, K is the top-right, L is the bottom-right, and M is the bottom-left. Context: Provides the visual context for the mirror exercise problem, illustrating the parallelogram JKLM.