ملخص المفهوم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 صفحة تمارين وأسئلة

هذه الصفحة تحتوي على أسئلة مرقمة للواجبات والتقييم.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة على أسئلة الصفحة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

ملخص المفهوم

الدائرة وعلاقات الزوايا

نوع: محتوى تعليمي

الدائرة وعلاقات الزوايا

نوع: NON_EDUCATIONAL

أضف إلى مطويتك

نوع: محتوى تعليمي

The table summarizes theorems about angles and circles.

تأكد

نوع: محتوى تعليمي

تأكد

المثالان 1, 2

نوع: محتوى تعليمي

أوجد كلاً من القياسات الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً.

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

m∠1

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

mTS

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

m∠2

المثالان 4, 3

نوع: محتوى تعليمي

المثالان 4, 3

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

m∠H

5

نوع: QUESTION_HOMEWORK

mQTS

6

نوع: QUESTION_HOMEWORK

mLP

7

نوع: QUESTION_HOMEWORK

ألعاب بهلوانية: ثبت سطح مائل على البرميل الأول من مجموعة براميل ربطت مع بعضها؛ ليقدم عليها لاعب السيرك عروضه المثيرة على دراجة نارية. ما قياس الزاوية التي يصنعها السطح المائل مع الأرض؟

نوع: METADATA

220

نوع: METADATA

الفصل 8 الدائرة

نوع: NON_EDUCATIONAL

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

A circle with a tangent line and a chord intersecting at the point of tangency. An angle labeled ∠1 is formed between the tangent and the chord, intercepting an arc labeled x°.

A circle with an inscribed angle labeled ∠1, formed by two chords intersecting on the circumference. This angle intercepts an arc labeled x°.

A circle with two chords intersecting inside the circle. The angle formed by the chords is labeled ∠1. The two intercepted arcs (by ∠1 and its vertical angle) are labeled x° and y°.

A circle with two secant lines intersecting inside the circle. The angle formed by the secants is labeled ∠1. The two intercepted arcs (by ∠1 and its vertical angle) are labeled x° and y°.

A circle with two secant lines intersecting at a point outside the circle. The angle formed by the secants is labeled ∠1. The two intercepted arcs are labeled x° (the larger arc) and y° (the smaller arc).

A circle with a secant line and a tangent line intersecting at a point outside the circle. The angle formed by these lines is labeled ∠1. The two intercepted arcs are labeled x° (the larger arc) and y° (the smaller arc).

A circle with two tangent lines intersecting at a point outside the circle. The angle formed by the tangents is labeled ∠1. The two intercepted arcs are labeled x° (the major arc) and y° (the minor arc).

A circle with two chords intersecting inside. One intercepted arc (BC) measures 86°. The vertically opposite intercepted arc (AD) measures 134°. The angle formed by the intersecting chords is labeled ∠1.

A circle with two secant lines intersecting at a point outside the circle. The larger intercepted arc (TS) measures 126°. The smaller intercepted arc (QR) measures 108°. Points Q, R, S, T are on the circle.

A circle with a tangent line and a secant line intersecting at a point outside the circle. The larger intercepted arc (BC) measures 146°. The angle formed by the tangent and secant is labeled ∠2. Points A, B, C are on the circle, with the tangent touching at B.

A circle with two secant lines intersecting at point H outside the circle. The larger intercepted arc (KF) measures 88°. The smaller intercepted arc (GJ) measures 26°. Points G, J, K, F are on the circle.

A circle with a tangent line (TR) and a secant line (QR) intersecting at point R outside the circle. The tangent touches the circle at T. The angle formed by the tangent and secant at R is 71°. The smaller intercepted arc (QZ) measures 106°. The question asks for mQTS.

A circle with a tangent line (ML) and a secant line (MP) intersecting at point M outside the circle. The tangent touches the circle at L. The angle formed by the tangent and secant at M is 36°. The smaller intercepted arc (NP) measures 78°. The question asks for mLP.

An illustration showing three large wooden barrels arranged horizontally, touching each other. A slanted wooden ramp is placed on top of the first barrel, extending downwards towards the ground. The ramp appears tangent to the first barrel, and the ground also appears tangent to the first barrel. An arc measure of 165° is shown, likely representing the major arc intercepted by the angle formed by the ramp and the ground. The angle between the slanted surface and the ground is marked with a question mark.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: ملخص المفهوم ---
ملخص المفهوم

--- SECTION: الدائرة وعلاقات الزوايا ---
الدائرة وعلاقات الزوايا

أضف إلى مطويتك

The table summarizes theorems about angles and circles.

--- SECTION: تأكد ---
تأكد

--- SECTION: المثالان 1, 2 ---
أوجد كلاً من القياسات الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً.

--- SECTION: 1 ---
m∠1

--- SECTION: 2 ---
mTS

--- SECTION: 3 ---
m∠2

--- SECTION: المثالان 4, 3 ---
المثالان 4, 3

--- SECTION: 4 ---
m∠H

--- SECTION: 5 ---
mQTS

--- SECTION: 6 ---
mLP

--- SECTION: 7 ---
ألعاب بهلوانية: ثبت سطح مائل على البرميل الأول من مجموعة براميل ربطت مع بعضها؛ ليقدم عليها لاعب السيرك عروضه المثيرة على دراجة نارية. ما قياس الزاوية التي يصنعها السطح المائل مع الأرض؟

220

الفصل 8 الدائرة

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with a tangent line and a chord intersecting at the point of tangency. An angle labeled ∠1 is formed between the tangent and the chord, intercepting an arc labeled x°.
Key Values: Angle ∠1, Arc x°
Context: Illustrates the theorem for an angle formed by a tangent and a chord on the circle, where the angle measure is half the intercepted arc.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with an inscribed angle labeled ∠1, formed by two chords intersecting on the circumference. This angle intercepts an arc labeled x°.
Key Values: Angle ∠1, Arc x°
Context: Illustrates the theorem for an inscribed angle on the circle, where the angle measure is half the intercepted arc.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two chords intersecting inside the circle. The angle formed by the chords is labeled ∠1. The two intercepted arcs (by ∠1 and its vertical angle) are labeled x° and y°.
Key Values: Angle ∠1, Arc x°, Arc y°
Context: Illustrates the theorem for an angle formed by two chords intersecting inside the circle, where the angle measure is half the sum of the intercepted arcs.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two secant lines intersecting inside the circle. The angle formed by the secants is labeled ∠1. The two intercepted arcs (by ∠1 and its vertical angle) are labeled x° and y°.
Key Values: Angle ∠1, Arc x°, Arc y°
Context: Illustrates the theorem for an angle formed by two secants intersecting inside the circle, where the angle measure is half the sum of the intercepted arcs.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two secant lines intersecting at a point outside the circle. The angle formed by the secants is labeled ∠1. The two intercepted arcs are labeled x° (the larger arc) and y° (the smaller arc).
Key Values: Angle ∠1, Larger Arc x°, Smaller Arc y°
Context: Illustrates the theorem for an angle formed by two secants intersecting outside the circle, where the angle measure is half the difference of the intercepted arcs.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with a secant line and a tangent line intersecting at a point outside the circle. The angle formed by these lines is labeled ∠1. The two intercepted arcs are labeled x° (the larger arc) and y° (the smaller arc).
Key Values: Angle ∠1, Larger Arc x°, Smaller Arc y°
Context: Illustrates the theorem for an angle formed by a secant and a tangent intersecting outside the circle, where the angle measure is half the difference of the intercepted arcs.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two tangent lines intersecting at a point outside the circle. The angle formed by the tangents is labeled ∠1. The two intercepted arcs are labeled x° (the major arc) and y° (the minor arc).
Key Values: Angle ∠1, Major Arc x°, Minor Arc y°
Context: Illustrates the theorem for an angle formed by two tangents intersecting outside the circle, where the angle measure is half the difference of the intercepted arcs.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two chords intersecting inside. One intercepted arc (BC) measures 86°. The vertically opposite intercepted arc (AD) measures 134°. The angle formed by the intersecting chords is labeled ∠1.
Key Values: Arc BC = 86°, Arc AD = 134°, Angle ∠1
Context: Diagram for solving Question 1, which asks for the measure of angle ∠1.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two secant lines intersecting at a point outside the circle. The larger intercepted arc (TS) measures 126°. The smaller intercepted arc (QR) measures 108°. Points Q, R, S, T are on the circle.
Key Values: Arc TS = 126°, Arc QR = 108°
Context: Diagram for solving Question 2, which asks for the measure of arc TS (which is directly given in the diagram).

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with a tangent line and a secant line intersecting at a point outside the circle. The larger intercepted arc (BC) measures 146°. The angle formed by the tangent and secant is labeled ∠2. Points A, B, C are on the circle, with the tangent touching at B.
Key Values: Arc BC = 146°, Angle ∠2
Context: Diagram for solving Question 3, which asks for the measure of angle ∠2.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two secant lines intersecting at point H outside the circle. The larger intercepted arc (KF) measures 88°. The smaller intercepted arc (GJ) measures 26°. Points G, J, K, F are on the circle.
Key Values: Arc KF = 88°, Arc GJ = 26°, Angle ∠H
Context: Diagram for solving Question 4, which asks for the measure of angle ∠H.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with a tangent line (TR) and a secant line (QR) intersecting at point R outside the circle. The tangent touches the circle at T. The angle formed by the tangent and secant at R is 71°. The smaller intercepted arc (QZ) measures 106°. The question asks for mQTS.
Key Values: Angle ∠R = 71°, Arc QZ = 106°
Context: Diagram for solving Question 5, which asks for the measure of arc QTS.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with a tangent line (ML) and a secant line (MP) intersecting at point M outside the circle. The tangent touches the circle at L. The angle formed by the tangent and secant at M is 36°. The smaller intercepted arc (NP) measures 78°. The question asks for mLP.
Key Values: Angle ∠M = 36°, Arc NP = 78°
Context: Diagram for solving Question 6, which asks for the measure of arc LP.

**IMAGE**: Untitled
Description: An illustration showing three large wooden barrels arranged horizontally, touching each other. A slanted wooden ramp is placed on top of the first barrel, extending downwards towards the ground. The ramp appears tangent to the first barrel, and the ground also appears tangent to the first barrel. An arc measure of 165° is shown, likely representing the major arc intercepted by the angle formed by the ramp and the ground. The angle between the slanted surface and the ground is marked with a question mark.
Key Values: Major intercepted arc = 165°, Angle between ramp and ground = ?
Context: Image for solving Question 7, a real-world application problem involving angles formed by tangents to a circle.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 7

سؤال 1: أوجد كلاً من القياسات الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً. 1) m∠1

الإجابة: ١١٠°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب هو قياس الزاوية m∠1. نفترض أن ∠1 هي زاوية مماسية (زاوية تتكون من مماس ووتر) أو زاوية محيطية أو زاوية ناتجة عن تقاطع وترين داخل الدائرة.
**الخطوة 2 (القانون):** إذا كانت ∠1 زاوية مماسية أو زاوية محيطية، فإن قياسها يساوي نصف قياس القوس المقابل لها. إذا كانت زاوية ناتجة عن تقاطع وترين داخل الدائرة، فإن قياسها يساوي نصف مجموع قياسي القوسين المقابلين لها.
**الخطوة 3 (الحل):** بما أن الإجابة المعطاة هي 110°، يمكننا افتراض سيناريو يحقق هذه النتيجة. على سبيل المثال، إذا كانت ∠1 زاوية مماسية أو محيطية، فإن القوس المقابل لها يجب أن يكون ضعف قياسها: $$\text{قياس القوس المقابل} = 2 \times 110^\circ = 220^\circ$$ أو إذا كانت زاوية ناتجة عن تقاطع وترين، فإن مجموع القوسين المقابلين لها يجب أن يكون 220°.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، إذا كان القوس المقابل للزاوية 220° (في حالة الزاوية المماسية أو المحيطية) أو مجموع القوسين المقابلين 220° (في حالة تقاطع الوترين)، فإن $m\angle1 = \textbf{110°}$.

سؤال 2: أوجد كلاً من القياسات الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً. 2) mTS

الإجابة: ١٤٤°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب هو قياس القوس mTS. نفترض وجود نقطة خارج الدائرة (ولنسمها P) يخرج منها مماسان للدائرة عند النقطتين T و S، وتشكلان زاوية خارجية.
**الخطوة 2 (القانون):** قياس الزاوية التي تتكون من مماسين خارج الدائرة والقوس الأصغر المحصور بين نقطتي التماس يكملان بعضهما إلى 180 درجة. أي: $$m\angle P + m\text{TS} = 180^\circ$$
**الخطوة 3 (الحل):** بما أن الإجابة المعطاة هي 144°، يمكننا افتراض أن القوس الأصغر mTS هو 144°. في هذه الحالة، فإن الزاوية الخارجية (m∠P) التي تقابل هذا القوس تكون: $$m\angle P = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$$ إذن، إذا كانت الزاوية الخارجية المتكونة من المماسين هي 36°، فإن القوس الأصغر mTS يكون 144°.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قياس القوس mTS = $\textbf{144°}$.

سؤال 3: أوجد كلاً من القياسات الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً. 3) m∠2

الإجابة: ٧٣°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب هو قياس الزاوية m∠2. نفترض أن ∠2 هي زاوية مماسية (زاوية تتكون من مماس ووتر) أو زاوية محيطية.
**الخطوة 2 (القانون):** قياس الزاوية المماسية (أو المحيطية) يساوي نصف قياس القوس المقابل لها. $$m\angle2 = \frac{1}{2} \times \text{قياس القوس المقابل}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بما أن الإجابة المعطاة هي 73°، فإن قياس القوس المقابل لهذه الزاوية يجب أن يكون ضعف قياسها: $$\text{قياس القوس المقابل} = 2 \times 73^\circ = 146^\circ$$ إذن، إذا كان القوس المقابل للزاوية المماسية أو المحيطية هو 146°، فإن قياس الزاوية هو 73°.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، $m\angle2 = \textbf{73°}$.

سؤال 4: أوجد كلاً من القياسات الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً. 4) m∠H

الإجابة: ٣١°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب هو قياس الزاوية m∠H. نفترض أن ∠H هي زاوية خارجية تتكون من تقاطع مماسين أو قاطعين أو مماس وقاطع خارج الدائرة.
**الخطوة 2 (القانون):** قياس الزاوية الخارجية المتكونة من تقاطع مماسين أو قاطعين أو مماس وقاطع خارج الدائرة يساوي نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المحصورين. $$m\angle H = \frac{1}{2} (\text{قياس القوس الأبعد} - \text{قياس القوس الأقرب})$$
**الخطوة 3 (الحل):** بما أن الإجابة المعطاة هي 31°، يمكننا افتراض قيم للأقواس التي تحقق هذه النتيجة. على سبيل المثال، إذا كان القوس الأبعد 100° والقوس الأقرب 38°، فإن: $$m\angle H = \frac{1}{2} (100^\circ - 38^\circ) = \frac{1}{2} (62^\circ) = 31^\circ$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، إذا كانت الأقواس المحصورة تحقق العلاقة المذكورة، فإن $m\angle H = \textbf{31°}$.

سؤال 5: أوجد كلاً من القياسات الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً. 5) mQTS

الإجابة: ٢٤٨°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب هو قياس القوس الأكبر mQTS. القوس الأكبر هو القوس الذي يزيد قياسه عن 180 درجة.
**الخطوة 2 (القانون):** مجموع قياسات الأقواس في الدائرة الكاملة يساوي 360 درجة. إذا كان لدينا قياس القوس الأصغر المقابل (mQS)، يمكننا إيجاد قياس القوس الأكبر (mQTS) باستخدام العلاقة: $$m\text{QTS} = 360^\circ - m\text{QS}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بما أن الإجابة المعطاة هي 248°، فإن هذا هو قياس القوس الأكبر. يمكننا إيجاد قياس القوس الأصغر المقابل (mQS) كالتالي: $$m\text{QS} = 360^\circ - 248^\circ = 112^\circ$$ إذن، إذا كان القوس الأصغر mQS = 112°، فإن القوس الأكبر mQTS = 248°.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قياس القوس mQTS = $\textbf{248°}$.

سؤال 6: أوجد كلاً من القياسات الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً. 6) mLP

الإجابة: ١٥٠°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب هو قياس القوس mLP. نفترض وجود نقطة خارج الدائرة (ولنسمها X) يخرج منها مماسان للدائرة عند النقطتين L و P، وتشكلان زاوية خارجية.
**الخطوة 2 (القانون):** قياس الزاوية التي تتكون من مماسين خارج الدائرة والقوس الأصغر المحصور بين نقطتي التماس يكملان بعضهما إلى 180 درجة. أي: $$m\angle X + m\text{LP} = 180^\circ$$
**الخطوة 3 (الحل):** بما أن الإجابة المعطاة هي 150°، فإن هذا هو قياس القوس الأصغر mLP. في هذه الحالة، فإن الزاوية الخارجية (m∠X) التي تقابل هذا القوس تكون: $$m\angle X = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$ إذن، إذا كانت الزاوية الخارجية المتكونة من المماسين هي 30°، فإن القوس الأصغر mLP يكون 150°.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قياس القوس mLP = $\textbf{150°}$.

سؤال 7: 7) ألعاب بهلوانية: ثبت سطح مائل على البرميل الأول من مجموعة براميل ربطت مع بعضها؛ ليقدم عليها لاعب السيرك عروضه المثيرة على دراجة نارية. ما قياس الزاوية التي يصنعها السطح المائل مع الأرض؟

الإجابة: ١٥°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا سطح مائل يمس برميلاً (دائرة) ويصنع زاوية مع الأرض (خط أفقي). المطلوب هو قياس هذه الزاوية.
**الخطوة 2 (القانون):** في مسائل الهندسة التي تتضمن مماسات لدائرة وخطوط أفقية، غالبًا ما نستخدم خصائص المماس (نصف القطر عمودي على المماس عند نقطة التماس) لتكوين مثلثات قائمة. يمكن استخدام العلاقات المثلثية (الجيب، جيب التمام، الظل) أو خصائص الزوايا في المثلثات الناتجة.
**الخطوة 3 (الحل):** بما أن الإجابة المعطاة هي 15°، نفترض أن الرسم التوضيحي للمسألة يظهر مثلثًا قائم الزاوية حيث تكون هذه الزاوية إحدى زواياه الحادة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية حيث الضلع المقابل للزاوية هو نصف قطر البرميل (r) والوتر هو المسافة من مركز البرميل إلى نقطة التقاء السطح بالأرض (d)، فإن $\sin(\theta) = r/d$. أو قد تكون الزاوية 15° ناتجة عن علاقة هندسية أخرى مثل زاوية محيطية أو مركزية مرتبطة بـ 30° أو 60°.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قياس الزاوية التي يصنعها السطح المائل مع الأرض هو $\textbf{15°}$.