تدرب وحل المسائل

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تأكد من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

تدرب وحل المسائل

المثالان 1, 2

نوع: محتوى تعليمي

المثالان 1, 2
أوجد كلاً من القياسات الآتية:

8

نوع: QUESTION_HOMEWORK

m∠3

9

نوع: QUESTION_HOMEWORK

m∠JMK

10

نوع: QUESTION_HOMEWORK

m∠K

11

نوع: QUESTION_HOMEWORK

mPM

12

نوع: QUESTION_HOMEWORK

m∠DAB

13

نوع: QUESTION_HOMEWORK

mGF

14

نوع: QUESTION_HOMEWORK

رياضة: يُمثل الشكل المجاور ملعبًا رياضيًا متعدد الأغراض، إذا كان: mABC = 200°، فأوجد كلاً من القياسين الآتيين:

المثالان 3, 4

نوع: محتوى تعليمي

المثالان 3, 4
أوجد كلاً من القياسات الآتية:

15

نوع: QUESTION_HOMEWORK

m∠A

16

نوع: QUESTION_HOMEWORK

mXY

17

نوع: QUESTION_HOMEWORK

mSU

18

نوع: QUESTION_HOMEWORK

مجوهرات: يظهر في الشكل المجاور جزء من قلادة، A و B نقطتا تماس فيها، إذا كانت °x = 260، فأوجد قيمة °y؟

19

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تصوير: استعمل مصور لالتقاط صورة بآلة الدوامة الدائرية، بحيث كان خطأ النظر مماسين لها، كما في الشكل المجاور.

نوع: محتوى تعليمي

الدرس 8-6 القاطع والمماس وقياسات الزوايا

نوع: METADATA

221

🔍 عناصر مرئية

A circle with two chords intersecting inside. The intercepted arcs are labeled. One arc is 90°, the other is 74°. An angle labeled '3' is formed by the intersection of the chords.

A circle with two chords, HK and LJ, intersecting inside at point M. The intercepted arc HJ measures 79°. The intercepted arc LK measures 77°. Angle JMK is formed by the intersection.

A circle with a tangent line LK and a secant line JK. Point K is the point of tangency and also the intersection point of the tangent and secant. The major arc JL measures 194°. Angle K is formed by the tangent and secant.

A circle with a tangent line QM and a secant line RM. Point M is the point of tangency and also the intersection point of the tangent and secant. The angle QMR, formed by the tangent and secant, measures 72°. Arc PM is intercepted by this angle.

A circle with two secant lines, AB and AD, intersecting outside the circle at point A. The intercepted arc BC measures 110°. The other intercepted arc is CD. Angle DAB is formed by the two secants.

A circle with a tangent line GH and a secant line FJ. Point G is the point of tangency. The angle GHF, formed by the tangent and secant, measures 82°. Arc GF is intercepted by this angle.

An aerial view of a baseball field. A circular arc ABC is shown. Point E is outside the circle, and lines EA and EC are drawn, appearing tangent to the circle at A and C. Point D is also outside, with lines DA and DC. The question states that the measure of arc ABC is 200°.

A circle with two tangent lines, AB and AC, intersecting outside the circle at point A. Points B and C are the points of tangency. The minor arc BC measures 99°. Angle A is formed by the two tangents.

A circle with two secant lines, WX and WY, intersecting outside the circle at point W. The intercepted arc XZ measures 103°. The angle W, formed by the two secants, measures 41°. Arc XY is the other intercepted arc.

A circle with two secant lines, RT and UV, intersecting inside the circle at point S. The intercepted arc RV measures 23°. The angle RSV, formed by the intersection of the secants, measures 68°. Arc SU is the other intercepted arc.

A diagram showing a circular part of a necklace. Two lines are tangent to the circle at points A and B, intersecting outside the circle. The major arc intercepted by the tangents is labeled x°. The angle formed by the tangents outside the circle is labeled y°. The question states x° = 260°.

A diagram showing a circular vortex machine. A camera is positioned outside the circle, and its lines of sight are tangent to the circle, forming a 'viewing angle' (زاوية الرؤية). The intercepted arc is also shown. The diagram includes labels for 'الدوامة' (vortex), 'زاوية الرؤية' (viewing angle), and 'آلة تصوير' (camera).

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: تدرب وحل المسائل ---
تدرب وحل المسائل

--- SECTION: المثالان 1, 2 ---
المثالان 1, 2
أوجد كلاً من القياسات الآتية:

--- SECTION: 8 ---
m∠3

--- SECTION: 9 ---
m∠JMK

--- SECTION: 10 ---
m∠K

--- SECTION: 11 ---
mPM

--- SECTION: 12 ---
m∠DAB

--- SECTION: 13 ---
mGF

--- SECTION: 14 ---
رياضة: يُمثل الشكل المجاور ملعبًا رياضيًا متعدد الأغراض، إذا كان: mABC = 200°، فأوجد كلاً من القياسين الآتيين:
a. m∠ACE
b. m∠ADC

--- SECTION: المثالان 3, 4 ---
المثالان 3, 4
أوجد كلاً من القياسات الآتية:

--- SECTION: 15 ---
m∠A

--- SECTION: 16 ---
mXY

--- SECTION: 17 ---
mSU

--- SECTION: 18 ---
مجوهرات: يظهر في الشكل المجاور جزء من قلادة، A و B نقطتا تماس فيها، إذا كانت °x = 260، فأوجد قيمة °y؟

--- SECTION: 19 ---
تصوير: استعمل مصور لالتقاط صورة بآلة الدوامة الدائرية، بحيث كان خطأ النظر مماسين لها، كما في الشكل المجاور.
a. إذا كانت زاوية الرؤية لآلة التصوير تساوي 35°، فما قياس قوس الدوامة الذي سيظهر في الصورة؟
b. إذا أردت التقاط صورة لقوس قياسه 150°، فما قياس زاوية الرؤية التي يجب استعمالها؟

الدرس 8-6 القاطع والمماس وقياسات الزوايا

221

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two chords intersecting inside. The intercepted arcs are labeled. One arc is 90°, the other is 74°. An angle labeled '3' is formed by the intersection of the chords.
X-axis: N/A
Y-axis: N/A
Data: Two intercepted arcs: 90° and 74°.
Key Values: Arc 1: 90°, Arc 2: 74°
Context: Used to find the measure of an angle formed by two intersecting chords inside a circle.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two chords, HK and LJ, intersecting inside at point M. The intercepted arc HJ measures 79°. The intercepted arc LK measures 77°. Angle JMK is formed by the intersection.
X-axis: N/A
Y-axis: N/A
Data: Two intercepted arcs: HJ = 79° and LK = 77°.
Key Values: Arc HJ: 79°, Arc LK: 77°
Context: Used to find the measure of an angle formed by two intersecting chords inside a circle.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with a tangent line LK and a secant line JK. Point K is the point of tangency and also the intersection point of the tangent and secant. The major arc JL measures 194°. Angle K is formed by the tangent and secant.
X-axis: N/A
Y-axis: N/A
Data: Major arc JL = 194°.
Key Values: Major arc JL: 194°
Context: Used to find the measure of an angle formed by a tangent and a secant intersecting on the circle.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with a tangent line QM and a secant line RM. Point M is the point of tangency and also the intersection point of the tangent and secant. The angle QMR, formed by the tangent and secant, measures 72°. Arc PM is intercepted by this angle.
X-axis: N/A
Y-axis: N/A
Data: Angle QMR = 72°.
Key Values: Angle QMR: 72°
Context: Used to find the measure of an arc intercepted by an angle formed by a tangent and a secant intersecting on the circle.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two secant lines, AB and AD, intersecting outside the circle at point A. The intercepted arc BC measures 110°. The other intercepted arc is CD. Angle DAB is formed by the two secants.
X-axis: N/A
Y-axis: N/A
Data: Intercepted arc BC = 110°.
Key Values: Arc BC: 110°
Context: Used to find the measure of an angle formed by two secants intersecting outside a circle.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with a tangent line GH and a secant line FJ. Point G is the point of tangency. The angle GHF, formed by the tangent and secant, measures 82°. Arc GF is intercepted by this angle.
X-axis: N/A
Y-axis: N/A
Data: Angle GHF = 82°.
Key Values: Angle GHF: 82°
Context: Used to find the measure of an arc intercepted by an angle formed by a tangent and a secant intersecting on the circle.

**IMAGE**: Untitled
Description: An aerial view of a baseball field. A circular arc ABC is shown. Point E is outside the circle, and lines EA and EC are drawn, appearing tangent to the circle at A and C. Point D is also outside, with lines DA and DC. The question states that the measure of arc ABC is 200°.
X-axis: N/A
Y-axis: N/A
Data: Measure of arc ABC = 200°.
Key Values: mABC: 200°
Context: Applies circle theorems (angles formed by tangents/secants) to a real-world sports field scenario.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two tangent lines, AB and AC, intersecting outside the circle at point A. Points B and C are the points of tangency. The minor arc BC measures 99°. Angle A is formed by the two tangents.
X-axis: N/A
Y-axis: N/A
Data: Minor arc BC = 99°.
Key Values: Minor arc BC: 99°
Context: Used to find the measure of an angle formed by two tangents intersecting outside a circle.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two secant lines, WX and WY, intersecting outside the circle at point W. The intercepted arc XZ measures 103°. The angle W, formed by the two secants, measures 41°. Arc XY is the other intercepted arc.
X-axis: N/A
Y-axis: N/A
Data: Intercepted arc XZ = 103°, Angle W = 41°.
Key Values: Arc XZ: 103°, Angle W: 41°
Context: Used to find the measure of an arc given an angle formed by two secants intersecting outside a circle and another intercepted arc.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two secant lines, RT and UV, intersecting inside the circle at point S. The intercepted arc RV measures 23°. The angle RSV, formed by the intersection of the secants, measures 68°. Arc SU is the other intercepted arc.
X-axis: N/A
Y-axis: N/A
Data: Intercepted arc RV = 23°, Angle RSV = 68°.
Key Values: Arc RV: 23°, Angle RSV: 68°
Context: Used to find the measure of an arc given an angle formed by two secants intersecting inside a circle and another intercepted arc.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A diagram showing a circular part of a necklace. Two lines are tangent to the circle at points A and B, intersecting outside the circle. The major arc intercepted by the tangents is labeled x°. The angle formed by the tangents outside the circle is labeled y°. The question states x° = 260°.
X-axis: N/A
Y-axis: N/A
Data: Major arc x° = 260°.
Key Values: Major arc x: 260°
Context: Applies circle theorems (angles formed by two tangents) to a real-world jewelry design scenario.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A diagram showing a circular vortex machine. A camera is positioned outside the circle, and its lines of sight are tangent to the circle, forming a 'viewing angle' (زاوية الرؤية). The intercepted arc is also shown. The diagram includes labels for 'الدوامة' (vortex), 'زاوية الرؤية' (viewing angle), and 'آلة تصوير' (camera).
X-axis: N/A
Y-axis: N/A
Data: The viewing angle is 35° in sub-question (a). The desired arc measure is 150° in sub-question (b).
Context: Applies circle theorems (angles formed by two tangents) to a real-world photography scenario involving a circular object.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 14

سؤال 8: m∠3

الإجابة: 82°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** نلاحظ من الرسم أن الزاوية المطلوبة (∠3) ناتجة عن تقاطع قاطعين داخل الدائرة، والأقواس المقابلة لها وللزاوية المقابلة لها بالرأس هي 128° و 36°.
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم نظرية الزاوية الناتجة عن تقاطع داخل الدائرة، والتي تنص على أن قياس الزاوية يساوي نصف مجموع قياسي القوسين المقابلين لها: $$m\angle3 = \frac{1}{2} (128^\circ + 36^\circ)$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالجمع ثم القسمة: $$m\angle3 = \frac{1}{2} (164^\circ) = 82^\circ$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية هو **82°**

سؤال 9: m∠JMK

الإجابة: 78°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** الزاوية ∠JMK هي زاوية ناتجة عن تقاطع وترين داخل الدائرة، والأقواس المرتبطة بها هي 45° و 111°.
**الخطوة 2 (القانون):** نطبق القاعدة التي تنص على أن قياس الزاوية يساوي نصف مجموع القوسين المقابلين: $$m\angle JMK = \frac{1}{2} (45^\circ + 111^\circ)$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض والحساب: $$m\angle JMK = \frac{1}{2} (156^\circ) = 78^\circ$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي **78°**

سؤال 10: m∠K

الإجابة: 102°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** الزاوية ∠K هي زاوية ناتجة عن تقاطع قاطعين خارج الدائرة، والقوسان المحصوران هما 258° و 54°.
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم نظرية الزاوية خارج الدائرة، حيث يساوي قياس الزاوية نصف الفرق بين قياسي القوسين المحصورين: $$m\angle K = \frac{1}{2} (258^\circ - 54^\circ)$$
**الخطوة 3 (الحل):** نطرح ثم نقسم على 2: $$m\angle K = \frac{1}{2} (204^\circ) = 102^\circ$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية هو **102°**

سؤال 11: mPM

الإجابة: 144°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا زاوية خارج الدائرة قياسها 36°، وأحد الأقواس المحصورة هو 72°، والمطلوب إيجاد قياس القوس الأكبر PM.
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم علاقة الزاوية الخارجية بالأقواس: $$36^\circ = \frac{1}{2} (mPM - 72^\circ)$$
**الخطوة 3 (الحل):** نضرب الطرفين في 2 للتخلص من الكسر: $$72^\circ = mPM - 72^\circ$$ ثم ننقل 72° للطرف الآخر بعكس الإشارة: $$mPM = 72^\circ + 72^\circ = 144^\circ$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس القوس PM يساوي **144°**

سؤال 12: m∠DAB

الإجابة: 125°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** الزاوية ∠DAB هي زاوية مماسية، وهي الزاوية المحصورة بين مماس ووتر يمر بنقطة التماس.
**الخطوة 2 (القانون):** تنص النظرية على أن قياس الزاوية المماسية يساوي نصف قياس القوس المحصور بين ضلعيها: $$m\angle DAB = \frac{1}{2} (mADB)$$
**الخطوة 3 (الحل):** بما أن قياس القوس ADB هو 250°: $$m\angle DAB = \frac{1}{2} (250^\circ) = 125^\circ$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية هو **125°**

سؤال 13: mGF

الإجابة: 164°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا زاوية مماسية قياسها 82°، والمطلوب إيجاد قياس القوس GF المحصور داخل هذه الزاوية.
**الخطوة 2 (القانون):** نعلم أن قياس الزاوية المماسية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها: $$82^\circ = \frac{1}{2} (mGF)$$
**الخطوة 3 (الحل):** لإيجاد قياس القوس، نضرب قياس الزاوية في 2: $$mGF = 82^\circ \times 2 = 164^\circ$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس القوس GF هو **164°**

سؤال 14 أ: رياضة: يُمثل الشكل المجاور ملعبًا رياضيًا متعدد الأغراض، إذا كان: mABC = 200°، فأوجد كلاً من القياسين الآتيين: (a) m∠ACE

الإجابة: 100°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** الزاوية ∠ACE هي زاوية مماسية ناتجة عن مماس وقاطع، والقوس المحصور بينهما هو القوس ABC.
**الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن قياس القوس ABC معطى ويساوي 200°، فإن قياس الزاوية المماسية يساوي نصف قياس هذا القوس: $$m\angle ACE = \frac{1}{2} (200^\circ)$$
**الخطوة 3 (النتيجة):** بالحساب نجد أن: $$m\angle ACE = 100^\circ$$ إذن الإجابة هي **100°**

سؤال 14 ب: رياضة: يُمثل الشكل المجاور ملعبًا رياضيًا متعدد الأغراض، إذا كان: mABC = 200°، فأوجد كلاً من القياسين الآتيين: (b) m∠ADC

الإجابة: 20°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** نحتاج لإيجاد قياس الزاوية ∠ADC، وهي زاوية ناتجة عن تقاطع قاطعين خارج الدائرة. القوس الأكبر هو ABC = 200°.
**الخطوة 2 (الحل):** أولاً نوجد قياس القوس الأصغر AC بطرح القوس الأكبر من الدورة الكاملة: $$360^\circ - 200^\circ = 160^\circ$$ ثم نطبق قانون الزاوية الخارجية: $$m\angle ADC = \frac{1}{2} (200^\circ - 160^\circ)$$
**الخطوة 3 (النتيجة):** بالحساب: $$m\angle ADC = \frac{1}{2} (40^\circ) = 20^\circ$$ إذن الإجابة هي **20°**

سؤال 15: m∠A

الإجابة: 81°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** الزاوية ∠A ناتجة عن تقاطع مماسين خارج الدائرة. القوس الأصغر هو 99°.
**الخطوة 2 (الحل):** نوجد القوس الأكبر أولاً: $$360^\circ - 99^\circ = 261^\circ$$ ثم نطبق قانون الفرق بين القوسين: $$m\angle A = \frac{1}{2} (261^\circ - 99^\circ)$$
**الخطوة 3 (النتيجة):** بالحساب: $$m\angle A = \frac{1}{2} (162^\circ) = 81^\circ$$ إذن قياس الزاوية هو **81°**

سؤال 16: mXY

الإجابة: 185°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا زاوية خارجية قياسها 40°، والقوس الأصغر المحصور هو 105°، والمطلوب إيجاد قياس القوس الأكبر XY.
**الخطوة 2 (القانون):** نطبق صيغة الزاوية الخارجية: $$40^\circ = \frac{1}{2} (mXY - 105^\circ)$$
**الخطوة 3 (الحل):** نضرب في 2: $$80^\circ = mXY - 105^\circ$$ نجمع 105° للطرفين: $$mXY = 80^\circ + 105^\circ = 185^\circ$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس القوس XY هو **185°**

سؤال 17: mSU

الإجابة: 113°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** الزاوية الخارجية قياسها 46°، والقوس الأكبر المحصور هو 205°، والمطلوب إيجاد القوس الأصغر SU.
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم القانون: $$46^\circ = \frac{1}{2} (205^\circ - mSU)$$
**الخطوة 3 (الحل):** نضرب في 2: $$92^\circ = 205^\circ - mSU$$ بترتيب المعادلة: $$mSU = 205^\circ - 92^\circ = 113^\circ$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس القوس SU هو **113°**

سؤال 18: مجوهرات: يظهر في الشكل المجاور جزء من قلادة، A و B نقطتا تماس فيها، إذا كانت °x = 260، فأوجد قيمة °y؟

الإجابة: 80°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا قلادة بشكل دائري، والمماسان يلتقيان في نقطة تشكل زاوية قياسها y. القوس الأكبر x معطى وقيمته 260°.
**الخطوة 2 (الحل):** أولاً نجد قياس القوس الأصغر: $$360^\circ - 260^\circ = 100^\circ$$ ثم نطبق قانون الزاوية الناتجة عن مماسين: $$y = \frac{1}{2} (260^\circ - 100^\circ)$$
**الخطوة 3 (النتيجة):** بالحساب: $$y = \frac{1}{2} (160^\circ) = 80^\circ$$ إذن قيمة y هي **80°**

سؤال 19 أ: تصوير: استعمل مصور لالتقاط صورة بآلة الدوامة الدائرية، بحيث كان خطأ النظر مماسين لها، كما في الشكل المجاور. (a) إذا كانت زاوية الرؤية لآلة التصوير تساوي 35°، فما قياس قوس الدوامة الذي سيظهر في الصورة؟

الإجابة: 145°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** زاوية الرؤية هي الزاوية المحصورة بين مماسين للدائرة. إذا كان قياس الزاوية 35°، فإننا نحتاج لإيجاد قياس القوس المقابل (الأصغر).
**الخطوة 2 (الحل):** نفرض أن القوس الأصغر هو g، فيكون القوس الأكبر هو $360 - g$. نطبق القانون: $$35 = \frac{1}{2} ((360 - g) - g)$$ $$70 = 360 - 2g$$ $$2g = 360 - 70 = 290$$
**الخطوة 3 (النتيجة):** بقسمة الطرفين على 2: $$g = 145^\circ$$ إذن قياس القوس هو **145°**

سؤال 19 ب: تصوير: استعمل مصور لالتقاط صورة بآلة الدوامة الدائرية، بحيث كان خطأ النظر مماسين لها، كما في الشكل المجاور. (b) إذا أردت التقاط صورة لقوس قياسه 150°، فما قياس زاوية الرؤية التي يجب استعمالها؟

الإجابة: 30°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب إيجاد زاوية الرؤية إذا كان قياس القوس الظاهر (الأصغر) هو 150°.
**الخطوة 2 (الحل):** أولاً نوجد قياس القوس الأكبر المكمل للدائرة: $$360^\circ - 150^\circ = 210^\circ$$ ثم نطبق قانون الزاوية الخارجية: $$\text{Angle} = \frac{1}{2} (210^\circ - 150^\circ)$$
**الخطوة 3 (النتيجة):** بالحساب: $$\text{Angle} = \frac{1}{2} (60^\circ) = 30^\circ$$ إذن قياس زاوية الرؤية يجب أن يكون **30°**