مثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 3: 3) هندسة إحداثية: أوجد إحداثي نقطة تقاطع قطري RSTU الذي رؤوسه R(-8, -2), S(-6, 7), T(6, 7), U(4, -2).

الإجابة: س3: نقطة التقاطع هي منتصف أحد القطرين، مثل RT: $(\frac{-8+6}{2}, \frac{-2+7}{2}) = (-1, \frac{5}{2})$ إذن إحداثيا نقطة التقاطع هما: $(-1, \frac{5}{2})$.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا رؤوس متوازي الأضلاع RSTU: - R(-8, -2) - S(-6, 7) - T(6, 7) - U(4, -2) المطلوب هو إيجاد إحداثي نقطة تقاطع قطريه.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نعلم أن قطري متوازي الأضلاع ينصّف كل منهما الآخر. هذا يعني أن نقطة تقاطع القطرين هي نقطة منتصف كل قطر. يمكننا اختيار أي من القطرين، وليكن القطر RT، لإيجاد نقطة المنتصف. صيغة نقطة المنتصف بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هي: $$(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** باستخدام إحداثيات النقطتين R(-8, -2) و T(6, 7): - إحداثي $x$ لنقطة المنتصف: $\frac{-8+6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ - إحداثي $y$ لنقطة المنتصف: $\frac{-2+7}{2} = \frac{5}{2}$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن إحداثيا نقطة تقاطع القطرين هما: **$(-1, \frac{5}{2})$**

سؤال 4: 4) اكتب برهانًا ذا عمودين. المعطيات: HJKP متوازي أضلاع، PKLM متوازي أضلاع المطلوب: HJ ≅ ML

الإجابة: س4: | العبارات | المبررات | | 1) HJKP و PKLM متوازيا أضلاع. | معطى | | 2) HJ ≅ PK | الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة | | 3) PK ≅ ML | الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة | | 4) HJ ≅ ML | خاصية التعدي للتطابق |

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لإعداد برهان ذي عمودين، نبدأ بالمعطيات ونستخدم الخصائص الهندسية المعروفة للوصول إلى المطلوب إثباته. * **البدء بالمعطيات:** أولاً، نذكر المعطيات التي لدينا. في هذا السؤال، المعطى هو أن HJKP متوازي أضلاع، وأن PKLM متوازي أضلاع. هذه هي العبارة الأولى في البرهان. * **تطبيق خصائص متوازي الأضلاع الأول:** بما أن HJKP متوازي أضلاع، فإننا نتذكر إحدى خصائص متوازي الأضلاع الأساسية، وهي أن كل ضلعين متقابلين فيه متطابقان. الضلع HJ يقابل الضلع PK في متوازي الأضلاع HJKP. لذلك، يمكننا أن نستنتج أن HJ ≅ PK. * **تطبيق خصائص متوازي الأضلاع الثاني:** بنفس المنطق، بما أن PKLM متوازي أضلاع، فإن الضلعين المتقابلين فيه متطابقان. الضلع PK يقابل الضلع ML في متوازي الأضلاع PKLM. لذلك، نستنتج أن PK ≅ ML. * **ربط الاستنتاجات بخاصية التعدي:** الآن أصبح لدينا نتيجتان: HJ ≅ PK و PK ≅ ML. نلاحظ أن الضلع PK مشترك في كلا التطابقين. هذا يقودنا إلى استخدام خاصية التعدي للتطابق، والتي تنص على أنه إذا كان جسم يطابق جسماً آخر، وهذا الجسم الآخر يطابق جسماً ثالثاً، فإن الجسم الأول يطابق الجسم الثالث. بتطبيق هذه الخاصية، إذا كان HJ يطابق PK، و PK يطابق ML، فإن HJ يطابق ML. * **الوصول إلى المطلوب:** وبهذا، نكون قد وصلنا إلى المطلوب إثباته وهو أن HJ ≅ ML. هذه الخطوات المنطقية تشكل أساس البرهان ذا العمودين.

ما صيغة إيجاد نقطة تقاطع قطري متوازي أضلاع إذا علمت إحداثيات رؤوسه؟

• أ) نقطة المنتصف لأحد الأضلاع، باستخدام الصيغة: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
• ب) نقطة المنتصف لأي من القطرين، باستخدام الصيغة: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
• ج) متوسط إحداثيات جميع الرؤوس: ((مجموع x)/4, (مجموع y)/4)
• د) نقطة تقاطع المستقيمين المارين بضلعين متقابلين.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: نقطة المنتصف لأي من القطرين، باستخدام الصيغة: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

الشرح: 1. قطري متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر. 2. لذلك، نقطة تقاطعهما هي نقطة منتصف أي قطر. 3. نطبق صيغة نقطة المنتصف على إحداثيات طرفي أحد القطرين.

تلميح: تذكر خاصية أساسية لأقطار متوازي الأضلاع.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

إذا كانت رؤوس متوازي الأضلاع FGHJ هي F(-2,4), G(3,5), H(2,-3), J(-3,-4)، فأي مما يلي يمثل إحداثي نقطة تقاطع قطريه؟

• أ) (0, 1)
• ب) (0.5, 0)
• ج) (0, 0.5)
• د) (1, 0.5)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (0, 0.5)

الشرح: 1. اختر القطر FH. 2. إحداثيات طرفيه: F(-2,4), H(2,-3). 3. إحداثي x للمنتصف: (-2+2)/2 = 0. 4. إحداثي y للمنتصف: (4+(-3))/2 = 0.5. 5. النتيجة: (0, 0.5).

تلميح: اختر قطراً (مثل FH) وطبق صيغة نقطة المنتصف.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في برهان هندسي، إذا كان ABDG متوازي أضلاع و AF ≅ CF، فما الخاصية التي تربط ∠BDG بـ ∠C؟

• أ) خاصية الانعكاس للتطابق (∠BDG ≅ ∠BDG)
• ب) خاصية التعدي للتطابق (∠BDG ≅ ∠A و ∠A ≅ ∠C، إذن ∠BDG ≅ ∠C)
• ج) خاصية التماثل للتطابق (إذا كان ∠A ≅ ∠C فإن ∠C ≅ ∠A)
• د) خاصية أضلاع متوازي الأضلاع المتطابقة

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: خاصية التعدي للتطابق (∠BDG ≅ ∠A و ∠A ≅ ∠C، إذن ∠BDG ≅ ∠C)

الشرح: 1. من خصائص متوازي الأضلاع: ∠BDG ≅ ∠A (الزوايا المتقابلة). 2. من المعطى AF ≅ CF ونظرية المثلث متطابق الضلعين: ∠C ≅ ∠A. 3. بتطبيق خاصية التعدي للتطابق على (1) و (2): ∠BDG ≅ ∠C.

تلميح: استخدم خصائص متوازي الأضلاع أولاً، ثم ربط النتائج.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب

لإثبات أن HJ ≅ ML إذا كان HJKP و PKLM متوازيا أضلاع، ما التسلسل المنطقي للبرهان ذي العمودين؟

• أ) 1. HJ ≅ ML (معطى مباشر). 2. PK ≅ ML (خاصية التماثل).
• ب) 1. HJ ≅ KP (من خصائص HJKP). 2. KP ≅ LM (من خصائص PKLM). 3. HJ ≅ LM (خاصية التعدي).
• ج) 1. HJ ≅ PK (من خصائص HJKP). 2. PK ≅ ML (من خصائص PKLM). 3. HJ ≅ ML (خاصية التعدي).
• د) 1. الزوايا المتقابلة في متوازيي الأضلاع متطابقة. 2. إذن HJ ≅ ML.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1. HJ ≅ PK (من خصائص HJKP). 2. PK ≅ ML (من خصائص PKLM). 3. HJ ≅ ML (خاصية التعدي).

الشرح: 1. في متوازي الأضلاع HJKP، الأضلاع المتقابلة متطابقة، لذا HJ ≅ PK. 2. في متوازي الأضلاع PKLM، الأضلاع المتقابلة متطابقة، لذا PK ≅ ML. 3. بما أن HJ يطابق PK، وPK يطابق ML، فإن HJ يطابق ML (خاصية التعدي للتطابق).

تلميح: ابدأ بخصائص كل متوازي أضلاع على حدة، ثم اربط النتائج.

التصنيف: خطوات | المستوى: متوسط