مثال 2 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 إيجاد قياس قطع مستقيمة في الدائرة

المفاهيم الأساسية

نظرية الأوتار المتقاطعة: في الدائرة، حاصل ضرب طولي قطعتين من وتر واحد يساوي حاصل ضرب طولي قطعتين من وتر آخر يتقاطع معه (AB • BC = DB • BE).

خريطة المفاهيم

```markmap

إيجاد قياس قطع مستقيمة في الدائرة

مثال تطبيقي (قوس المطر)

الخطوات

#### افهم

• قوس المطر جزء من دائرة
• AC وتر في الدائرة
• DB عمود منصف للوتر AC

#### خطط

• ارسم نموذجًا هندسيًا
• استخدم نظرية الأوتار المتقاطعة

#### حل

• طبق النظرية: AB • BC = DB • BE
• استخدم مسلمة جمع القطع المستقيمة

#### تحقق

• استخدم عكس نظرية فيثاغورس للتحقق

أدوات الحل

نظريات

• نظرية الأوتار المتقاطعة
• نظرية فيثاغورس

مسلمات

• مسلمة جمع القطع المستقيمة

تطبيق آخر (قبة الصخرة)

• إيجاد المسافة بين طرفي القبة

```

نقاط مهمة

• عند حل مسائل الدوائر اللفظية، يُفضل رسم شكل ووضع القياسات عليه.
• إذا كان العمود النازل من مركز الدائرة (أو نقطة على المحيط) على وتر ما، فإنه ينصفه.
• يمكن استخدام عكس نظرية فيثاغورس للتحقق من صحة الحل في المثلثات القائمة المتكونة.

---

حل مثال

المثال 2: قوس المطر

المعطيات: قوس المطر الظاهر جزء من دائرة. AC وتر طوله 5 ميل، DB عمودي على AC وطوله 0.7 ميل، وينصفه عند B.

المطلوب: إيجاد نصف قطر الدائرة.

الحل:

بما أن DB ينصف الوتر AC، فإن AB = BC = 2.5 ميل.

بتطبيق نظرية الأوتار المتقاطعة:

AB \cdot BC = DB \cdot BE

2.5 \cdot 2.5 = 0.7 \cdot BE

6.25 = 0.7 \cdot BE

BE \approx 8.9 \text{ ميل}

باستخدام مسلمة جمع القطع المستقيمة:

DE = DB + BE

DE \approx 0.7 + 8.9 = 9.6 \text{ ميل}

(DE هو قطر الدائرة)

نصف القطر = القطر ÷ 2

\text{نصف القطر} \approx 9.6 \div 2 = 4.8 \text{ ميل}

التحقق: باستخدام عكس نظرية فيثاغورس في المثلث △BCF، تم التحقق من أن الناتج صحيح تقريباً (23.06 ≈ 23.04).

---

تحقق من فهمك

السؤال 2: مصلى قبة الصخرة

المعطيات:

• قطر الدائرة التي تحتوي على القوس المار بقمة القبة = 20 متر.
• ارتفاع أعلى نقطة في القبة عن الجزء الأسطواني = 15 متر.

المطلوب: إيجاد المسافة الأفقية بين طرفي القبة (طول الوتر).

الحل:

نصف قطر الدائرة = القطر ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10 متر.

لنفرض أن:

- مركز الدائرة هو النقطة O.

- أعلى نقطة في القبة هي النقطة A.

- أحد طرفي القبة هو النقطة B.

- المسافة الرأسية من A إلى القاعدة (الجزء الأسطواني) هي 15 م.

المسافة من مركز الدائرة O إلى الوتر (ارتفاع القطعة الدائرية) = نصف القطر - (الارتفاع الكلي - ارتفاع القبة عن الأسطوانة).

- الارتفاع الكلي للدائرة = القطر = 20 م.

- الجزء العلوي من المركز إلى A = نصف القطر = 10 م.

- إذا كان ارتفاع A عن القاعدة 15 م، فإن القاعدة تقع على بعد 5 م تحت مركز الدائرة (لأن 20 - 15 = 5).

- إذن، المسافة من المركز O إلى الوتر (القطعة المستقيمة بين طرفي القبة) هي 5 متر.

نطبق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الذي وتره هو نصف القطر (10 م)، وأحد ضلعيه القائمين هو المسافة من المركز إلى الوتر (5 م)، والضلع الآخر هو نصف طول الوتر المطلوب (ليكن x).

x^2 + 5^2 = 10^2

x^2 + 25 = 100

x^2 = 75

x = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ متر}

طول الوتر الكامل (المسافة بين طرفي القبة) = \( 2 \times x \)

\text{طول الوتر} \approx 2 \times 8.66 = 17.32 \text{ متر}

الجواب: المسافة بين طرفي القبة تساوي \( 10\sqrt{3} \) متر تقريباً، أو حوالي 17.32 متر.

إيجاد قياس قطع مستقيمة في الدائرة

مثال 2 من واقع الحياة

علوم: شكل قوس المطر الحقيقي دائرة كاملة، ولا يظهر لنا منها إلا القوس الذي يظهر فوق أفق الكرة الأرضية. ما نصف قطر الدائرة التي تحوي قوس المطر الظاهر في الشكل أدناه؟

افهم: المعطيات: قوس المطر الظاهر جزء من دائرة. AC وتر في الدائرة. DB عمود منصف للوتر AC.

المطلوب: إيجاد طول نصف قطر الدائرة التي تحوي قوس المطر الظاهر.

خطط: ارسم نموذجًا للمسألة، بما أن DE تنصف الوتر AC ، فإن DE قطر في الدائرة. استعمل ناتج ضرب أطوال الأوتار المتقاطعة لإيجاد طول قطر الدائرة.

حل: النظرية 8.15: AB • BC = DB • BE بالتعويض: 2.5 • 2.5 = 0.7 • BE بالضرب: 6.25 = 0.7BE بقسمة كلا الطرفين على 0.7: 8.9 ≈ BE مسلمة جمع القطع المستقيمة: DE = DB + BE بالتعويض: ≈ 0.7 + 8.9 بالجمع: = 9.6 بما أن قطر الدائرة يساوي 9.6 mi تقريبًا، فإن نصف قطرها يساوي 4.8 ≈ 2 ÷ 9.6 mi.

تحقق: استعمل عكس نظرية فيثاغورس؛ للتحقق من أن المثلث المتكون من نصف القطر وجزء من الوتر وجزء من القطر في الدائرة قائم الزاوية. مسلمة جمع القطع المستقيمة: DB + BF = DF بالتعويض: 0.7 + BF = 4.8 بطرح 0.7 من الطرفين: BF = 4.1 نظرية فيثاغورس: BF² + BC² = CF² بالتعويض: 4.1² + 2.5² ≈ 4.8² بالتبسيط: 23.06 ≈ 23.04 ✓

الربط مع الحياة كلما كانت الشمس قريبة من الأفق، زاد الجزء الذي تراه من قوس المطر. وعند غروب الشمس، يمكنك رؤية قوس المطر على شكل نصف دائرة، بحيث تصنع أعلى نقطة في هذا القوس زاوية مقدارها 42 درجة فوق الأفق.

إرشادات لحل المسألة ارسم شكلاً: عند حل المسائل اللفظية المتعلقة بالدوائر، يُفضل أن ترسم شكلاً وتضع عليه قياسات كل عناصر الدائرة المعطاة، وأن تُسمي القياس المجهول برمز متغير لمساعدتك على اختيار خطة الحل المناسبة.

تحقق من فهمك

2) مصلى قبة الصخرة: هو أحد أهم معالم المسجد الأقصى المبارك في مدينة القدس، وتعتبر قبته من أهم وأبرز المعالم المعمارية الإسلامية، فهي عبارة عن قبة كروية قطر الدائرة التي تحتوي على القوس المار بالقمة هي 20m ، ويبلغ ارتفاع أعلى نقطة فيها عن الجزء الأسطواني الذي يحملها 15m ، أوجد المسافة بين طرفي القبة؟

الدرس 7-8 قطع مستقيمة خاصة في الدائرة

225

إيجاد قياس قطع مستقيمة في الدائرة --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 من واقع الحياة علوم: شكل قوس المطر الحقيقي دائرة كاملة، ولا يظهر لنا منها إلا القوس الذي يظهر فوق أفق الكرة الأرضية. ما نصف قطر الدائرة التي تحوي قوس المطر الظاهر في الشكل أدناه؟ --- SECTION: افهم --- افهم: المعطيات: قوس المطر الظاهر جزء من دائرة. AC وتر في الدائرة. DB عمود منصف للوتر AC. --- SECTION: المطلوب --- المطلوب: إيجاد طول نصف قطر الدائرة التي تحوي قوس المطر الظاهر. --- SECTION: خطط --- خطط: ارسم نموذجًا للمسألة، بما أن DE تنصف الوتر AC ، فإن DE قطر في الدائرة. استعمل ناتج ضرب أطوال الأوتار المتقاطعة لإيجاد طول قطر الدائرة. --- SECTION: حل --- حل: النظرية 8.15: AB • BC = DB • BE بالتعويض: 2.5 • 2.5 = 0.7 • BE بالضرب: 6.25 = 0.7BE بقسمة كلا الطرفين على 0.7: 8.9 ≈ BE مسلمة جمع القطع المستقيمة: DE = DB + BE بالتعويض: ≈ 0.7 + 8.9 بالجمع: = 9.6 بما أن قطر الدائرة يساوي 9.6 mi تقريبًا، فإن نصف قطرها يساوي 4.8 ≈ 2 ÷ 9.6 mi. --- SECTION: تحقق --- تحقق: استعمل عكس نظرية فيثاغورس؛ للتحقق من أن المثلث المتكون من نصف القطر وجزء من الوتر وجزء من القطر في الدائرة قائم الزاوية. مسلمة جمع القطع المستقيمة: DB + BF = DF بالتعويض: 0.7 + BF = 4.8 بطرح 0.7 من الطرفين: BF = 4.1 نظرية فيثاغورس: BF² + BC² = CF² بالتعويض: 4.1² + 2.5² ≈ 4.8² بالتبسيط: 23.06 ≈ 23.04 ✓ --- SECTION: الربط مع الحياة --- الربط مع الحياة كلما كانت الشمس قريبة من الأفق، زاد الجزء الذي تراه من قوس المطر. وعند غروب الشمس، يمكنك رؤية قوس المطر على شكل نصف دائرة، بحيث تصنع أعلى نقطة في هذا القوس زاوية مقدارها 42 درجة فوق الأفق. --- SECTION: إرشادات لحل المسألة --- إرشادات لحل المسألة ارسم شكلاً: عند حل المسائل اللفظية المتعلقة بالدوائر، يُفضل أن ترسم شكلاً وتضع عليه قياسات كل عناصر الدائرة المعطاة، وأن تُسمي القياس المجهول برمز متغير لمساعدتك على اختيار خطة الحل المناسبة. تحقق من فهمك --- SECTION: 2 --- 2) مصلى قبة الصخرة: هو أحد أهم معالم المسجد الأقصى المبارك في مدينة القدس، وتعتبر قبته من أهم وأبرز المعالم المعمارية الإسلامية، فهي عبارة عن قبة كروية قطر الدائرة التي تحتوي على القوس المار بالقمة هي 20m ، ويبلغ ارتفاع أعلى نقطة فيها عن الجزء الأسطواني الذي يحملها 15m ، أوجد المسافة بين طرفي القبة؟ الدرس 7-8 قطع مستقيمة خاصة في الدائرة 225 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: An image depicting a rainbow arc over a body of water. The arc is labeled 'D' at its highest point. A horizontal line segment 'AC' represents the water level, with its length indicated as '5 mi'. A vertical segment 'B' extends from the midpoint of AC upwards to the arc, with its length indicated as '0.7 mi'. This visual represents the real-life scenario for the geometry problem. Key Values: AC = 5 mi, DB = 0.7 mi Context: Illustrates the real-world context of the geometry problem involving chords and segments in a circle. **DIAGRAM**: Untitled Description: A geometric model of the rainbow problem. It shows a circle with a horizontal chord AC. A vertical segment DE passes through the center of the circle and is perpendicular to AC. Point B is on AC, and point D is on the circle. Point E is on the circle, opposite to D. The chord AC is divided into two segments, each labeled '2.5'. The segment DB is labeled '0.7'. Key Values: AB = 2.5, BC = 2.5, DB = 0.7 Context: A geometric model used to solve the problem by applying the intersecting chords theorem. **DIAGRAM**: Untitled Description: A geometric model used to verify the solution. It shows a circle with a horizontal chord AC. A vertical segment DE passes through the center of the circle and is perpendicular to AC. Point B is on AC, and point D is on the circle. Point E is on the circle, opposite to D. Point F is the center of the circle. The chord AC is divided into two segments, each labeled '2.5'. The segment DB is labeled '0.7'. The radius DF is labeled '4.8'. The segment EF is labeled '4.8'. Key Values: AB = 2.5, BC = 2.5, DB = 0.7, DF = 4.8, EF = 4.8 Context: A geometric model used to verify the solution using the Pythagorean theorem, showing the radius and segments. **IMAGE**: Untitled Description: An image of the Dome of the Rock in Jerusalem, featuring its iconic golden dome and octagonal structure. The image provides a visual reference for the geometry problem described in the 'Check Your Understanding' section. Context: Provides a real-world architectural example for a geometry problem involving a spherical dome.