قطع مستقيمة تتقاطع خارج الدائرة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 قطع مستقيمة تتقاطع خارج الدائرة

المفاهيم الأساسية

نظرية القاطع (8.16): إذا رسم قاطعان لدائرة من نقطة خارجها، فإن حاصل ضرب طول القاطع الأول في طول الجزء الخارجي منه، يساوي حاصل ضرب طول القاطع الثاني في طول الجزء الخارجي منه.

نظرية المماس والقاطع (8.17): إذا رسم مماس وقاطع لدائرة من نقطة خارجها، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب طول القاطع في طول الجزء الخارجي منه.

خريطة المفاهيم

```markmap

إيجاد قياس قطع مستقيمة في الدائرة

مثال تطبيقي (قوس المطر)

الخطوات

#### افهم

• قوس المطر جزء من دائرة
• AC وتر في الدائرة
• DB عمود منصف للوتر AC

#### خطط

• ارسم نموذجًا هندسيًا
• استخدم نظرية الأوتار المتقاطعة

#### حل

• طبق النظرية: AB • BC = DB • BE
• استخدم مسلمة جمع القطع المستقيمة

#### تحقق

• استخدم عكس نظرية فيثاغورس للتحقق

أدوات الحل

نظريات

• نظرية الأوتار المتقاطعة
• نظرية فيثاغورس

مسلمات

• مسلمة جمع القطع المستقيمة

تطبيق آخر (قبة الصخرة)

• إيجاد المسافة بين طرفي القبة

قطع مستقيمة تتقاطع خارج الدائرة

نظرية القاطع (8.16)

• AC · AB = AE · AD
• حاصل ضرب طول القاطع × الجزء الخارجي منه ثابت

نظرية المماس والقاطع (8.17)

• JK² = JL · JM
• مربع طول المماس = حاصل ضرب طول القاطع × الجزء الخارجي منه

```

نقاط مهمة

• الأوتار غير المتوازية وغير المتقاطعة داخل الدائرة يمكن أن تمتد لتشكل قواطع تتقاطع خارجها.
• في معادلة نظرية 8.16، كل طرف هو ناتج ضرب طول الجزء الخارجي من القاطع في طول القاطع بكامله.
• تأكد من استخدام المعادلة الصحيحة: اضرب طول القاطع في طول القطعة الخارجية منه، وليس الداخلية.
• سيتم إثبات كل من النظرية 8.16 والنظرية 8.17 في أسئلة لاحقة (السؤال 16 والسؤال 17).

---

حل مثال

مثال 3: استعمال تقاطع القاطعين

* المطلوب: أوجد قيمة `x` في الشكل.

* الحل:

1. طبق نظرية 8.16: `JG · JH = JL · JK`

2. بالتعويض: `(x + 8) 8 = (10 + 6) 6`

3. بالضرب: `8x + 64 = 96`

4. بطرح 64: `8x = 32`

5. بالقسمة على 8: `x = 4`

---

تحقق من فهمك

3A: أوجد قيمة `x` في الشكل المجاور.

* الحل: طبق نظرية 8.16: `RT · RS = RV · RU`

`(x + 4) 4 = (9 + 5) * 5`

* `4x + 16 = 70`

* `4x = 54`

* `x = 13.5`

3B: أوجد قيمة `x` في الشكل المجاور.

* الحل: طبق نظرية 8.16: `TX · TY = TZ · TW`

`(x + 6) 6 = (12 + 7) * 7`

* `6x + 36 = 133`

* `6x = 97`

* `x ≈ 16.17`

---

> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

قطع مستقيمة تتقاطع خارج الدائرة

الأوتار غير المتوازية في الدائرة وغير المتقاطعة داخلها، يمكن أن تمتد لتشكل قواطع تتقاطع خارج الدائرة.

تبسيط نص النظرية: كل طرف من طرفي المعادلة في مثال النظرية 8.16، هو ناتج ضرب طول الجزء الخارجي من القاطع في طول القاطع بكامله.

نظرية القاطع التعبير اللفظي: إذا رسم قاطعان لدائرة من نقطة خارجها، فإن حاصل ضرب طول القاطع الأول في طول الجزء الخارجي منه، يساوي حاصل ضرب طول القاطع الثاني في طول الجزء الخارجي منه. مثال: AC · AB = AE · AD

ستبرهن النظرية 8.16 في السؤال 16

استعمال تقاطع القاطعين أوجد قيمة x في الشكل المجاور. نظرية 8.16: JG · JH = JL · JK بالتعويض: (x + 8)8 = (10 + 6)6 بالضرب: 8x + 64 = 96 بطرح 64 من كلا الطرفين: 8x = 32 بقسمة كلا الطرفين على 8: x = 4

استعمال المعادلة الصحيحة: تأكد من أنك تجد ناتج ضرب طول القاطع في طول القطعة الخارجية منه. وليس في طول القطعة الداخلية منه.

تحقق من فهمك

أوجد قيمة x في الشكل المجاور.

أوجد قيمة x في الشكل المجاور.

يمكنك استعمال معادلة مشابهة لمعادلة النظرية 8.16 عندما يتقاطع مماس وقاطع خارج الدائرة، وفي هذه الحالة المماس أو قطعة المماس التي يقع أحد طرفيها على الدائرة تمثل قطعة المماس الخارجية، وقطعة المماس الكلية في آن معًا.

نظرية المماس والقاطع التعبير اللفظي: إذا رسم مماس وقاطع لدائرة من نقطة خارجها، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب طول القاطع في طول الجزء الخارجي منه. مثال: JK² = JL · JM

ستبرهن النظرية 8.17 في السؤال 17

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

226 الفصل 8 الدائرة

--- SECTION: قطع مستقيمة تتقاطع خارج الدائرة --- قطع مستقيمة تتقاطع خارج الدائرة الأوتار غير المتوازية في الدائرة وغير المتقاطعة داخلها، يمكن أن تمتد لتشكل قواطع تتقاطع خارج الدائرة. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- تبسيط نص النظرية: كل طرف من طرفي المعادلة في مثال النظرية 8.16، هو ناتج ضرب طول الجزء الخارجي من القاطع في طول القاطع بكامله. --- SECTION: نظرية 8.16 --- نظرية القاطع التعبير اللفظي: إذا رسم قاطعان لدائرة من نقطة خارجها، فإن حاصل ضرب طول القاطع الأول في طول الجزء الخارجي منه، يساوي حاصل ضرب طول القاطع الثاني في طول الجزء الخارجي منه. مثال: AC · AB = AE · AD ستبرهن النظرية 8.16 في السؤال 16 --- SECTION: مثال 3 --- استعمال تقاطع القاطعين أوجد قيمة x في الشكل المجاور. نظرية 8.16: JG · JH = JL · JK بالتعويض: (x + 8)8 = (10 + 6)6 بالضرب: 8x + 64 = 96 بطرح 64 من كلا الطرفين: 8x = 32 بقسمة كلا الطرفين على 8: x = 4 --- SECTION: تنبيه ! --- استعمال المعادلة الصحيحة: تأكد من أنك تجد ناتج ضرب طول القاطع في طول القطعة الخارجية منه. وليس في طول القطعة الداخلية منه. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3A --- أوجد قيمة x في الشكل المجاور. --- SECTION: 3B --- أوجد قيمة x في الشكل المجاور. يمكنك استعمال معادلة مشابهة لمعادلة النظرية 8.16 عندما يتقاطع مماس وقاطع خارج الدائرة، وفي هذه الحالة المماس أو قطعة المماس التي يقع أحد طرفيها على الدائرة تمثل قطعة المماس الخارجية، وقطعة المماس الكلية في آن معًا. --- SECTION: نظرية 8.17 --- نظرية المماس والقاطع التعبير اللفظي: إذا رسم مماس وقاطع لدائرة من نقطة خارجها، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب طول القاطع في طول الجزء الخارجي منه. مثال: JK² = JL · JM ستبرهن النظرية 8.17 في السؤال 17 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 226 الفصل 8 الدائرة --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Diagram for Theorem 8.16 Description: A circle with two secant lines, AC and AE, intersecting at an external point A. Secant AC intersects the circle at points B and C, with B between A and C. Secant AE intersects the circle at points D and E, with D between A and E. The segments are labeled with points A, B, C, D, E. Data: The theorem states that AC · AB = AE · AD, where AB and AD are the external segments and AC and AE are the full secant lengths. Context: Illustrates the Secant-Secant Theorem (Theorem 8.16) for calculating segment lengths when two secants intersect outside a circle. **DIAGRAM**: Diagram for Example 3 Description: A circle with two secant lines intersecting at an external point J. One secant passes through points H and G on the circle, with H between J and G. The other secant passes through points K and L on the circle, with K between J and L. Segment lengths are provided. Data: Segment JH (external part of first secant) has length 8. Segment HG (internal part of first secant) has length x. Segment JK (external part of second secant) has length 6. Segment KL (internal part of second secant) has length 10. Key Values: JH = 8, HG = x, JK = 6, KL = 10 Context: Applies the Secant-Secant Theorem (JG · JH = JL · JK) to solve for the unknown length x. The full secant lengths are JG = x + 8 and JL = 10 + 6 = 16. **DIAGRAM**: Diagram for Exercise 3A Description: A circle with two secant lines intersecting at an external point R. One secant passes through points S and T on the circle, with S between R and T. The other secant passes through points U and V on the circle, with U between R and V. Segment lengths are provided. Data: Segment RS (external part of first secant) has length 4. Segment ST (internal part of first secant) has length x. Segment RU (external part of second secant) has length 5. Segment UV (internal part of second secant) has length 9. Key Values: RS = 4, ST = x, RU = 5, UV = 9 Context: Applies the Secant-Secant Theorem (RT · RS = RV · RU) to solve for the unknown length x. The full secant lengths are RT = x + 4 and RV = 9 + 5 = 14. **DIAGRAM**: Diagram for Exercise 3B Description: A circle with two secant lines intersecting at an external point T. One secant passes through points Y and X on the circle, with Y between T and X. The other secant passes through points W and Z on the circle, with W between T and Z. Segment lengths are provided. Data: Segment TY (external part of first secant) has length 6. Segment YX (internal part of first secant) has length x. Segment TW (external part of second secant) has length 7. Segment WZ (internal part of second secant) has length 12. Key Values: TY = 6, YX = x, TW = 7, WZ = 12 Context: Applies the Secant-Secant Theorem (TX · TY = TZ · TW) to solve for the unknown length x. The full secant lengths are TX = x + 6 and TZ = 12 + 7 = 19. **DIAGRAM**: Diagram for Theorem 8.17 Description: A circle with a tangent line and a secant line intersecting at an external point J. The tangent line touches the circle at point K. The secant line passes through points L and M on the circle, with L between J and M. The segments are labeled with points J, K, L, M. Data: The theorem states that JK² = JL · JM, where JK is the length of the tangent segment, JL is the length of the external segment of the secant, and JM is the length of the entire secant. Context: Illustrates the Tangent-Secant Theorem (Theorem 8.17) for calculating segment lengths when a tangent and a secant intersect outside a circle.