تدرب وحل المسائل

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تأكد من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

تدرب وحل المسائل

الأمثلة 1, 3, 4

نوع: محتوى تعليمي

الأمثلة 1, 3, 4 أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة، هي مماسات فعلاً، وقرّب إجابتك إلى أقرب عُشر.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(6)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(7)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(8)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(9)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(10)

كعك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

11) كعك: توزّع سلمى الكعك في حفل. إذا كانت أبعاد القطعة المتبقية من الكعكة كما في الشكل المجاور، فما قطر الكعكة الأصلية؟

المثال 2

نوع: محتوى تعليمي

المثال 2 أوجد قيم المتغيرات في كل من الأشكال الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، وقرّب إجابتك إلى أقرب عُشر.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(12)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(13)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(14)

برهان

نوع: محتوى تعليمي

برهان: اكتب برهانًا من النوع المحدد لكل من النظريات الآتية:
(إرشاد: ارسم أوتارًا تصل نقاط القطع المستقيمة المتقاطعة داخل الدائرة أو خارجها بالدائرة)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

15) برهان ذي عمودين للنظرية 8.15
المعطيات: AC و DE وتران متقاطعان في B.
المطلوب: AB • BC = EB • BD

نوع: QUESTION_HOMEWORK

16) برهان حر للنظرية 8.16
المعطيات: AC و AE قاطعان لدائرة.
المطلوب: AB • AC = AD • AE

نوع: QUESTION_HOMEWORK

17) برهان ذي عمودين للنظرية 8.17
المعطيات: JK مماس، JM قاطع
المطلوب: JK² = JL • JM

🔍 عناصر مرئية

دائرة بها وتران متقاطعان في نقطة داخلية J. الوتر الأول مقسم إلى جزأين بطول 12 و x. الوتر الثاني مقسم إلى جزأين بطول 6 و 5. النقاط على الدائرة هي F, G, H, E.

دائرة بها وتران متقاطعان في نقطة داخلية O. الوتر الأول مقسم إلى جزأين بطول (x+4) و x. الوتر الثاني مقسم إلى جزأين بطول (x-5) و (x-1). النقاط على الدائرة هي X, Y, Z, W.

دائرة بها وتران متقاطعان في نقطة داخلية K. الوتر الأول مقسم إلى جزأين بطول 12 و 6. الوتر الثاني مقسم إلى جزأين بطول 2 و x. النقاط على الدائرة هي J, L, M, N.

دائرة بها مماس وقاطع ينطلقان من نقطة خارجية S. المماس SR طوله 9. القاطع STU يتكون من جزء خارجي ST طوله 5 وجزء داخلي TU طوله x.

دائرة بها قاطعان ينطلقان من نقطة خارجية A. القاطع الأول ABC يتكون من جزء خارجي AB طوله 12 وجزء داخلي BC طوله x. القاطع الثاني ADC يتكون من جزء خارجي AD طوله غير محدد صراحة (يبدو مساوياً لـ 12) وجزء داخلي DC طوله 12.

صورة لكعكة دائرية مقطوعة. يظهر وتر طوله 12 إنش. قطعة مستقيمة عمودية من منتصف الوتر إلى حافة الدائرة طولها 9 إنش.

دائرة بها مماس طوله جذر 174 وقاطع يتكون من جزء خارجي x وجزء داخلي 3x + 5.

دائرة بها وتران متقاطعان في الداخل بأجزاء طولها 6, 8, a, b. ومن نقطة خارجية ينطلق مماس طوله 10 وقاطع جزؤه الخارجي 4.

دائرة بها مماس طوله q وقاطعان من نفس النقطة الخارجية. القاطع الأول له جزء خارجي 15 وداخلي 18.5. القاطع الثاني له جزء خارجي 2 وجزء داخلي مقسم إلى r و 16.

رسم توضيحي لدائرة بها وتران AC و DE يتقاطعان في النقطة B.

رسم توضيحي لدائرة بها قاطعان AC و AE ينطلقان من النقطة A. النقاط B و D تقعان على الدائرة.

رسم توضيحي لدائرة بها مماس JK وقاطع JM ينطلقان من النقطة J. النقطة L تقع على الدائرة.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: تدرب وحل المسائل ---
تدرب وحل المسائل

--- SECTION: الأمثلة 1, 3, 4 ---
الأمثلة 1, 3, 4 أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة، هي مماسات فعلاً، وقرّب إجابتك إلى أقرب عُشر.

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

--- SECTION: كعك ---
11) كعك: توزّع سلمى الكعك في حفل. إذا كانت أبعاد القطعة المتبقية من الكعكة كما في الشكل المجاور، فما قطر الكعكة الأصلية؟

--- SECTION: المثال 2 ---
المثال 2 أوجد قيم المتغيرات في كل من الأشكال الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، وقرّب إجابتك إلى أقرب عُشر.

(12)

(13)

(14)

--- SECTION: برهان ---
برهان: اكتب برهانًا من النوع المحدد لكل من النظريات الآتية:
(إرشاد: ارسم أوتارًا تصل نقاط القطع المستقيمة المتقاطعة داخل الدائرة أو خارجها بالدائرة)

15) برهان ذي عمودين للنظرية 8.15
المعطيات: AC و DE وتران متقاطعان في B.
المطلوب: AB • BC = EB • BD

16) برهان حر للنظرية 8.16
المعطيات: AC و AE قاطعان لدائرة.
المطلوب: AB • AC = AD • AE

17) برهان ذي عمودين للنظرية 8.17
المعطيات: JK مماس، JM قاطع
المطلوب: JK² = JL • JM

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: دائرة بها وتران متقاطعان في نقطة داخلية J. الوتر الأول مقسم إلى جزأين بطول 12 و x. الوتر الثاني مقسم إلى جزأين بطول 6 و 5. النقاط على الدائرة هي F, G, H, E.
Key Values: 12, x, 6, 5
Context: تطبيق نظرية قطع الوتر: حاصل ضرب طولي جزأي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب طولي جزأي الوتر الثاني.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: دائرة بها وتران متقاطعان في نقطة داخلية O. الوتر الأول مقسم إلى جزأين بطول (x+4) و x. الوتر الثاني مقسم إلى جزأين بطول (x-5) و (x-1). النقاط على الدائرة هي X, Y, Z, W.
Key Values: x+4, x, x-5, x-1
Context: تطبيق نظرية قطع الوتر مع تعابير جبرية.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: دائرة بها وتران متقاطعان في نقطة داخلية K. الوتر الأول مقسم إلى جزأين بطول 12 و 6. الوتر الثاني مقسم إلى جزأين بطول 2 و x. النقاط على الدائرة هي J, L, M, N.
Key Values: 12, 6, 2, x
Context: تطبيق نظرية قطع الوتر لإيجاد قيمة مجهول.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: دائرة بها مماس وقاطع ينطلقان من نقطة خارجية S. المماس SR طوله 9. القاطع STU يتكون من جزء خارجي ST طوله 5 وجزء داخلي TU طوله x.
Key Values: 9, 5, x
Context: تطبيق نظرية المماس والقاطع: مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب طول القاطع في طول جزئه الخارجي.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: دائرة بها قاطعان ينطلقان من نقطة خارجية A. القاطع الأول ABC يتكون من جزء خارجي AB طوله 12 وجزء داخلي BC طوله x. القاطع الثاني ADC يتكون من جزء خارجي AD طوله غير محدد صراحة (يبدو مساوياً لـ 12) وجزء داخلي DC طوله 12.
Key Values: 12, x, 12
Context: تطبيق نظرية القاطعين: حاصل ضرب طول القاطع الأول في طول جزئه الخارجي يساوي حاصل ضرب طول القاطع الثاني في طول جزئه الخارجي.

**IMAGE**: Untitled
Description: صورة لكعكة دائرية مقطوعة. يظهر وتر طوله 12 إنش. قطعة مستقيمة عمودية من منتصف الوتر إلى حافة الدائرة طولها 9 إنش.
Key Values: 12 in, 9 in
Context: مسألة حياتية تتطلب استخدام خصائص الأوتار والأقطار في الدائرة لإيجاد القطر.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: دائرة بها مماس طوله جذر 174 وقاطع يتكون من جزء خارجي x وجزء داخلي 3x + 5.
Key Values: √174, x, 3x+5
Context: تطبيق نظرية المماس والقاطع مع تعابير جبرية وجذور.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: دائرة بها وتران متقاطعان في الداخل بأجزاء طولها 6, 8, a, b. ومن نقطة خارجية ينطلق مماس طوله 10 وقاطع جزؤه الخارجي 4.
Key Values: 6, 8, a, b, 10, 4
Context: دمج نظريات قطع الأوتار والمماس والقاطع في مسألة واحدة.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: دائرة بها مماس طوله q وقاطعان من نفس النقطة الخارجية. القاطع الأول له جزء خارجي 15 وداخلي 18.5. القاطع الثاني له جزء خارجي 2 وجزء داخلي مقسم إلى r و 16.
Key Values: q, 15, 18.5, 16, r, 2
Context: تطبيق نظريات القواطع والمماسات المتعددة من نقطة واحدة.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: رسم توضيحي لدائرة بها وتران AC و DE يتقاطعان في النقطة B.
Context: رسم هندسي لدعم برهان نظرية قطع الوتر.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: رسم توضيحي لدائرة بها قاطعان AC و AE ينطلقان من النقطة A. النقاط B و D تقعان على الدائرة.
Context: رسم هندسي لدعم برهان نظرية القاطعين.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: رسم توضيحي لدائرة بها مماس JK وقاطع JM ينطلقان من النقطة J. النقطة L تقع على الدائرة.
Context: رسم هندسي لدعم برهان نظرية المماس والقاطع.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 12

سؤال 6: أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة، هي مماسات فعلاً، وقرّب إجابتك إلى أقرب عُشر. (6)

الإجابة: x = 10

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن القطعتين المماستين المرسومتين من نقطة خارج دائرة إلى هذه الدائرة تكونان متطابقتين (متساويتين في الطول).
**الخطوة 2 (التطبيق):** في الشكل، لدينا قطعتان مماستان مرسومتان من نفس النقطة الخارجية إلى الدائرة. إحدى القطعتين طولها x والأخرى طولها 10.
**الخطوة 3 (الحل):** بما أن القطعتين المماستين متطابقتان، فإن طوليهما متساويان. $$x = 10$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x هي: **10**

سؤال 7: أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة، هي مماسات فعلاً، وقرّب إجابتك إلى أقرب عُشر. (7)

الإجابة: x ≈ 0.5

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر نظرية المماس والقاطع: إذا رسم مماس وقاطع لدائرة من نقطة خارجها، فإن مربع طول قطعة المماس يساوي حاصل ضرب طولي قطعة القاطع الخارجية في قطعة القاطع الكلية.
**الخطوة 2 (التطبيق):** من الشكل، لدينا قطعة مماس طولها (x + 4) وقاطع يتكون من جزء خارجي طوله 4 وجزء داخلي طوله (x + 5). إذن طول القاطع الكلي هو $4 + (x + 5) = x + 9$.
**الخطوة 3 (الحل):** بتطبيق نظرية المماس والقاطع: $$(x + 4)^2 = 4 \times (x + 9)$$ نفك الأقواس: $$x^2 + 8x + 16 = 4x + 36$$ ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد لتكوين معادلة تربيعية: $$x^2 + 8x - 4x + 16 - 36 = 0$$ $$x^2 + 4x - 20 = 0$$ نستخدم القانون العام لحل المعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$، حيث $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. هنا $a = 1$, $b = 4$, $c = -20$. $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 1 \times (-20)}}{2 \times 1}$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 80}}{2}$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{96}}{2}$$ نحسب قيمة $\sqrt{96} \approx 9.798$. $$x = \frac{-4 \pm 9.798}{2}$$ هناك حلان محتملان: $$x_1 = \frac{-4 + 9.798}{2} = \frac{5.798}{2} \approx 2.899$$ $$x_2 = \frac{-4 - 9.798}{2} = \frac{-13.798}{2} \approx -6.899$$ بما أن الأطوال يجب أن تكون موجبة، فإننا نرفض الحل السالب.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x بالتقريب لأقرب عُشر هي: **2.9**

سؤال 8: أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة، هي مماسات فعلاً، وقرّب إجابتك إلى أقرب عُشر. (8)

الإجابة: x ≈ 3.1

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر نظرية القاطعين: إذا رسم قاطعان لدائرة من نقطة خارجها، فإن حاصل ضرب طول قطعة القاطع الأولى الخارجية في طول قطعة القاطع الأولى الكلية يساوي حاصل ضرب طول قطعة القاطع الثانية الخارجية في طول قطعة القاطع الثانية الكلية.
**الخطوة 2 (التطبيق):** من الشكل، لدينا قاطعان من نقطة خارجية. - القاطع الأول: الجزء الخارجي طوله 6، والجزء الداخلي طوله x. إذن طول القاطع الكلي هو $(6 + x)$. - القاطع الثاني: الجزء الخارجي طوله 7، والجزء الداخلي طوله 8. إذن طول القاطع الكلي هو $(7 + 8) = 15$.
**الخطوة 3 (الحل):** بتطبيق نظرية القاطعين: $$6 \times (6 + x) = 7 \times (7 + 8)$$ $$6 \times (6 + x) = 7 \times 15$$ $$36 + 6x = 105$$ نطرح 36 من الطرفين: $$6x = 105 - 36$$ $$6x = 69$$ نقسم الطرفين على 6: $$x = \frac{69}{6}$$ $$x = 11.5$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x بالتقريب لأقرب عُشر هي: **11.5**

سؤال 9: أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة، هي مماسات فعلاً، وقرّب إجابتك إلى أقرب عُشر. (9)

الإجابة: x = 7

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر نظرية الأوتار المتقاطعة: إذا تقاطع وتران داخل دائرة، فإن حاصل ضرب طولي جزئي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب طولي جزئي الوتر الثاني.
**الخطوة 2 (التطبيق):** من الشكل، لدينا وتران متقاطعان داخل الدائرة. - الوتر الأول مقسوم إلى جزأين طولهما x و 8. - الوتر الثاني مقسوم إلى جزأين طولهما 4 و 14.
**الخطوة 3 (الحل):** بتطبيق نظرية الأوتار المتقاطعة: $$x \times 8 = 4 \times 14$$ $$8x = 56$$ نقسم الطرفين على 8: $$x = \frac{56}{8}$$ $$x = 7$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x هي: **7**

سؤال 10: أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة، هي مماسات فعلاً، وقرّب إجابتك إلى أقرب عُشر. (10)

الإجابة: x = 12

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن القطعتين المماستين المرسومتين من نقطة خارج دائرة إلى هذه الدائرة تكونان متطابقتين (متساويتين في الطول).
**الخطوة 2 (التطبيق):** في الشكل، لدينا قطعتان مماستان مرسومتان من نفس النقطة الخارجية إلى الدائرة. إحدى القطعتين طولها $(2x - 10)$ والأخرى طولها $(x + 2)$.
**الخطوة 3 (الحل):** بما أن القطعتين المماستين متطابقتان، فإن طوليهما متساويان: $$2x - 10 = x + 2$$ نطرح x من الطرفين: $$2x - x - 10 = 2$$ $$x - 10 = 2$$ نضيف 10 إلى الطرفين: $$x = 2 + 10$$ $$x = 12$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x هي: **12**

سؤال 11: 11) كعك: توزّع سلمى الكعك في حفل. إذا كانت أبعاد القطعة المتبقية من الكعكة كما في الشكل المجاور، فما قطر الكعكة الأصلية؟

الإجابة: 11.2

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات وتحديد الشكل):** لنفترض أن القطعة المتبقية من الكعكة تمثل جزءًا من دائرة. الأبعاد المعطاة هي طول وتر وعمود نازل من مركز الدائرة (أو امتداد نصف قطر) على هذا الوتر. - طول الوتر = 10 وحدات. - طول الجزء العمودي من الوتر إلى محيط الدائرة = 2 وحدة.
**الخطوة 2 (القوانين والمفاهيم):** - العمود النازل من مركز الدائرة على وتر ينصف الوتر. لذا، نصف طول الوتر هو $10 \div 2 = 5$ وحدات. - يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية باستخدام نصف القطر (r)، ونصف الوتر (5)، والجزء المتبقي من نصف القطر (r - 2).
**الخطوة 3 (الحل):** نرسم نصف قطر من مركز الدائرة إلى أحد طرفي الوتر. هذا النصف قطر هو وتر المثلث القائم الزاوية. الضلعان الآخران هما نصف الوتر (5) والجزء $(r - 2)$. بتطبيق نظرية فيثاغورس ($a^2 + b^2 = c^2$): $$(r - 2)^2 + 5^2 = r^2$$ نفك القوس: $$r^2 - 4r + 4 + 25 = r^2$$ $$r^2 - 4r + 29 = r^2$$ نطرح $r^2$ من الطرفين: $$-4r + 29 = 0$$ $$29 = 4r$$ نقسم على 4 لإيجاد نصف القطر r: $$r = \frac{29}{4}$$ $$r = 7.25$$ المطلوب هو قطر الكعكة الأصلية، والقطر (d) يساوي ضعف نصف القطر: $$d = 2r$$ $$d = 2 \times 7.25$$ $$d = 14.5$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قطر الكعكة الأصلية هو: **14.5**

سؤال 12: أوجد قيم المتغيرات في كل من الأشكال الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، وقرّب إجابتك إلى أقرب عُشر. (12)

الإجابة: x = 4

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن القطعتين المماستين المرسومتين من نقطة خارج دائرة إلى هذه الدائرة تكونان متطابقتين (متساويتين في الطول).
**الخطوة 2 (التطبيق):** في الشكل، لدينا قطعتان مماستان مرسومتان من نفس النقطة الخارجية إلى الدائرة. إحدى القطعتين طولها $(3x + 1)$ والأخرى طولها $(x + 9)$.
**الخطوة 3 (الحل):** بما أن القطعتين المماستين متطابقتان، فإن طوليهما متساويان: $$3x + 1 = x + 9$$ نطرح x من الطرفين: $$3x - x + 1 = 9$$ $$2x + 1 = 9$$ نطرح 1 من الطرفين: $$2x = 9 - 1$$ $$2x = 8$$ نقسم الطرفين على 2: $$x = \frac{8}{2}$$ $$x = 4$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x هي: **4**

سؤال 13: أوجد قيم المتغيرات في كل من الأشكال الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، وقرّب إجابتك إلى أقرب عُشر. (13)

الإجابة: a = 10, b = 12

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن القطعتين المماستين المرسومتين من نقطة خارج دائرة إلى هذه الدائرة تكونان متطابقتين (متساويتين في الطول). هذا يعني أن أجزاء أضلاع المثلث التي تلامس الدائرة من نفس الرأس متساوية.
**الخطوة 2 (التطبيق):** من الشكل، لدينا مثلث محيط بدائرة. هذا يعني أن أضلاع المثلث مماسات للدائرة. نحدد القطع المماسة المتطابقة: - من الرأس العلوي: القطعتان المماستان طولهما 10. إذن $a = 10$. - من الرأس الأيمن: القطعتان المماستان طولهما 12. إذن $b = 12$. - من الرأس الأيسر: القطعتان المماستان طولهما 10.
**الخطوة 3 (الحل):** بمقارنة أطوال القطع المماسة المتطابقة مباشرة من الشكل: - القطعة المماسة المقابلة للمتغير a تساوي القطعة المماسة الأخرى من نفس الرأس، والتي طولها 10. $$a = 10$$ - القطعة المماسة المقابلة للمتغير b تساوي القطعة المماسة الأخرى من نفس الرأس، والتي طولها 12. $$b = 12$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيم المتغيرات هي: **a = 10, b = 12**

سؤال 14: أوجد قيم المتغيرات في كل من الأشكال الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، وقرّب إجابتك إلى أقرب عُشر. (14)

الإجابة: q = 9, r = 14

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن القطعتين المماستين المرسومتين من نقطة خارج دائرة إلى هذه الدائرة تكونان متطابقتين (متساويتين في الطول). هذا يعني أن أجزاء أضلاع المثلث التي تلامس الدائرة من نفس الرأس متساوية.
**الخطوة 2 (التطبيق):** من الشكل، لدينا مثلث محيط بدائرة. نحدد القطع المماسة المتطابقة: - من الرأس العلوي: القطعتان المماستان طولهما 9. إذن $q = 9$. - من الرأس الأيمن: القطعتان المماستان طولهما 14. إذن $r = 14$. - من الرأس الأيسر: القطعتان المماستان طولهما 9.
**الخطوة 3 (الحل):** بمقارنة أطوال القطع المماسة المتطابقة مباشرة من الشكل: - القطعة المماسة المقابلة للمتغير q تساوي القطعة المماسة الأخرى من نفس الرأس، والتي طولها 9. $$q = 9$$ - القطعة المماسة المقابلة للمتغير r تساوي القطعة المماسة الأخرى من نفس الرأس، والتي طولها 14. $$r = 14$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيم المتغيرات هي: **q = 9, r = 14**

سؤال 15: 15) برهان ذي عمودين للنظرية 8.15 المعطيات: AC و DE وتران متقاطعان في B. المطلوب: AB • BC = EB • BD

الإجابة: 15) المعطيات: AC و DE وتران متقاطعان في B. المطلوب: AB • BC = EB • BD البرهان: العبارات 1. AC و DE وتران متقاطعان في B. 2. ∠DBC = ∠ABE (تقابل بالرأس) 3. ∠BDA = ∠ECA (زاويتان محيطيتان تشتركان في القوس نفسه) 4. △DBC ~ △ABE (تشابه (AA)) 5. $\frac{AB}{DB} = \frac{EB}{CB}$ (النسب المتناظرة في المثلثين المتشابهين متساوية) 6. AB • CB = DB • EB (خاصية الضرب التبادلي)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات والمطلوب):** المعطيات: وتران AC و DE يتقاطعان في النقطة B داخل الدائرة. المطلوب: إثبات أن حاصل ضرب طولي جزئي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب طولي جزئي الوتر الثاني، أي $AB \cdot BC = EB \cdot BD$.
**الخطوة 2 (خطة البرهان):** لإثبات هذه العلاقة، سنحاول إثبات تشابه مثلثين يتضمنان هذه الأضلاع، ثم نستخدم خاصية تناسب الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة.
**الخطوة 3 (خطوات البرهان):** 1. **العبارة:** AC و DE وتران متقاطعان في B. **المبرر:** معطى في السؤال. 2. **العبارة:** ∠DBC = ∠ABE. **المبرر:** هاتان الزاويتان متقابلتان بالرأس، والزوايا المتقابلة بالرأس متطابقة. 3. **العبارة:** ∠BDA = ∠ECA. **المبرر:** هاتان زاويتان محيطيتان تشتركان في القوس نفسه (القوس AE). الزوايا المحيطية التي تحصر نفس القوس تكون متطابقة. 4. **العبارة:** △DBC ~ △ABE. **المبرر:** لقد أثبتنا أن زاويتين في المثلث DBC متطابقتان مع زاويتين في المثلث ABE (∠DBC = ∠ABE و ∠BDA = ∠ECA). إذن المثلثان متشابهان حسب مسلمة التشابه (AA). 5. **العبارة:** $\frac{AB}{DB} = \frac{EB}{CB}$. **المبرر:** بما أن المثلثين متشابهان، فإن النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية. هنا، AB يناظر DB، و EB يناظر CB. 6. **العبارة:** $AB \cdot CB = DB \cdot EB$. **المبرر:** باستخدام خاصية الضرب التبادلي من التناسب في الخطوة السابقة، نصل إلى العلاقة المطلوبة.
**الخطوة 4 (النتيجة):** لقد أثبتنا أن $AB \cdot BC = EB \cdot BD$ باستخدام تشابه المثلثات.

سؤال 16: 16) برهان حر للنظرية 8.16 المعطيات: AC و AE قاطعان لدائرة. المطلوب: AB • AC = AD • AE

الإجابة: 16) المعطيات: AC و AE قاطعان لدائرة. المطلوب: AB • AC = AD • AE البرهان: ارسم CD و BE. ∠A = ∠A (خاصية الانعكاس) ∠ADC = ∠ABE (زاويتان محيطيتان تشتركان في القوس نفسه) △ADC ~ △ABE (تشابه (AA)) $\frac{AD}{AB} = \frac{AC}{AE}$ (النسب المتناظرة في المثلثين المتشابهين متساوية) AD • AE = AB • AC (خاصية الضرب التبادلي)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات والمطلوب):** المعطيات: AC و AE قاطعان لدائرة من نقطة A خارج الدائرة. المطلوب: إثبات أن $AB \cdot AC = AD \cdot AE$.
**الخطوة 2 (خطة البرهان):** لإثبات هذه العلاقة، سنقوم برسم وترين إضافيين لتكوين مثلثين، ثم نثبت تشابه هذين المثلثين ونستخدم خاصية تناسب الأضلاع المتناظرة.
**الخطوة 3 (خطوات البرهان):** 1. **الإنشاء:** ارسم الوترين CD و BE. **المبرر:** لإنشاء مثلثين يمكن إثبات تشابههما. 2. **العبارة:** ∠A = ∠A. **المبرر:** هذه زاوية مشتركة بين المثلثين △ADC و △ABE (خاصية الانعكاس). 3. **العبارة:** ∠ADC = ∠ABE. **المبرر:** هاتان زاويتان محيطيتان تشتركان في القوس نفسه (القوس CE). الزوايا المحيطية التي تحصر نفس القوس تكون متطابقة. 4. **العبارة:** △ADC ~ △ABE. **المبرر:** لقد أثبتنا أن زاويتين في المثلث ADC متطابقتان مع زاويتين في المثلث ABE (∠A = ∠A و ∠ADC = ∠ABE). إذن المثلثان متشابهان حسب مسلمة التشابه (AA). 5. **العبارة:** $\frac{AD}{AB} = \frac{AC}{AE}$. **المبرر:** بما أن المثلثين متشابهان، فإن النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية. هنا، AD يناظر AB، و AC يناظر AE. 6. **العبارة:** $AD \cdot AE = AB \cdot AC$. **المبرر:** باستخدام خاصية الضرب التبادلي من التناسب في الخطوة السابقة، نصل إلى العلاقة المطلوبة.
**الخطوة 4 (النتيجة):** لقد أثبتنا أن $AB \cdot AC = AD \cdot AE$ باستخدام تشابه المثلثات.

سؤال 17: 17) برهان ذي عمودين للنظرية 8.17 المعطيات: JK مماس، JM قاطع المطلوب: JK² = JL • JM

الإجابة: 17) المعطيات: JK مماس، JM قاطع المطلوب: JK² = JL • JM البرهان: العبارات 1. JK مماس، JM قاطع 2. ∠KJM = ∠KJM (خاصية الانعكاس) 3. ∠JKM = ∠MLK (الزاوية المماسية تساوي الزاوية المحيطية المشتركة معها في القوس) 4. △JKM ~ △JLM (تشابه (AA)) 5. $\frac{JK}{JL} = \frac{JM}{JK}$ (النسب المتناظرة في المثلثين المتشابهين متساوية) 6. JK² = JL • JM (خاصية الضرب التبادلي)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات والمطلوب):** المعطيات: JK مماس للدائرة عند K، و JM قاطع للدائرة يمر بالنقطتين L و M. المطلوب: إثبات أن $JK^2 = JL \cdot JM$.
**الخطوة 2 (خطة البرهان):** لإثبات هذه العلاقة، سنقوم برسم وتر إضافي لتكوين مثلثين، ثم نثبت تشابه هذين المثلثين ونستخدم خاصية تناسب الأضلاع المتناظرة.
**الخطوة 3 (خطوات البرهان):** 1. **العبارة:** JK مماس، JM قاطع. **المبرر:** معطى في السؤال. 2. **العبارة:** ∠KJM = ∠KJM. **المبرر:** هذه زاوية مشتركة بين المثلثين △JKM و △JLM (خاصية الانعكاس). 3. **العبارة:** ∠JKM = ∠MLK. **المبرر:** الزاوية المماسية (∠JKM) تساوي قياس الزاوية المحيطية التي تشترك معها في القوس نفسه (القوس KM). الزاوية المحيطية التي تحصر القوس KM هي ∠MLK. 4. **العبارة:** △JKM ~ △JLM. **المبرر:** لقد أثبتنا أن زاويتين في المثلث JKM متطابقتان مع زاويتين في المثلث JLM (∠KJM = ∠KJM و ∠JKM = ∠MLK). إذن المثلثان متشابهان حسب مسلمة التشابه (AA). 5. **العبارة:** $\frac{JK}{JL} = \frac{JM}{JK}$. **المبرر:** بما أن المثلثين متشابهان، فإن النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية. هنا، JK يناظر JL، و JM يناظر JK. 6. **العبارة:** $JK^2 = JL \cdot JM$. **المبرر:** باستخدام خاصية الضرب التبادلي من التناسب في الخطوة السابقة، نصل إلى العلاقة المطلوبة.
**الخطوة 4 (النتيجة):** لقد أثبتنا أن $JK^2 = JL \cdot JM$ باستخدام تشابه المثلثات.