مثال 4 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مثال 4

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 صفحة تمارين وأسئلة

هذه الصفحة تحتوي على أسئلة مرقمة للواجبات والتقييم.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة على أسئلة الصفحة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

مثال 4

نوع: محتوى تعليمي

مثال 4

استعمال المماس والقاطع

نوع: محتوى تعليمي

استعمال المماس والقاطع إذا كانت PQ مماساً للدائرة كما في الشكل المجاور، فأوجد قيمة x مقرباً إجابتك إلى أقرب عشر. PQ² = QR • QS النظرية 8.17 8² = x (x + 7) بالتعويض 64 = x² + 7x بالضرب 0 = x² + 7x - 64 بطرح 64 من كلا الطرفين استعمل القانون العام لحل المعادلة التربيعية؛ لأن المقدار غير قابل للتحليل. القانون العام x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a a = 1, b = 7, c = -64 = (-7 ± √(7² - 4(1)(-64))) / 2(1) بالتبسيط = (-7 ± √305) / 2 باستعمال الحاسبة ≈ 5.2 أو -12.2 وبما أنه لا يمكن أن تكون الأطوال سالبة، فإن قيمة x تساوي 5.2 تقريباً.

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4) AB مماس للدائرة في الشكل المجاور، أوجد قيمة x مقرباً إجابتك إلى أقرب عشر.

تأكد

نوع: محتوى تعليمي

تأكد

الأمثلة 4, 3, 1

نوع: محتوى تعليمي

الأمثلة 4, 3, 1

نوع: محتوى تعليمي

أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية، مفترضاً أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة، هي مماسات فعلاً.

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد قيمة x في الشكل (1).

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد قيمة x في الشكل (2).

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد قيمة x في الشكل (3).

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد قيمة x في الشكل (4).

المثال 2

نوع: محتوى تعليمي

المثال 2

5

نوع: QUESTION_HOMEWORK

5) آثار: يبين الشكل المجاور صورة جزء مكسور من إناء فخاري دائري وُجد في موقع أثري. إذا كانت QS جزءاً من قطر الدائرة، فما محيط الإناء الفخاري الأصلي؟ قرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة.

نوع: METADATA

وزارة التعليم الدرس 8-7 قطع مستقيمة خاصة في الدائرة 227 2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

A circle with an external point Q. A segment PQ is tangent to the circle at point P. A secant segment QS passes through the circle, intersecting it at R and S. The length of the tangent segment PQ is 8. The length of the external part of the secant, QR, is x. The length of the internal part of the secant, RS, is 7.

A circle with an external point A. A segment AB is tangent to the circle at point B. A secant segment AD passes through the circle, intersecting it at C and D. The length of the tangent segment AB is 10. The length of the external part of the secant, AC, is x. The length of the internal part of the secant, CD, is 4.

A circle with two chords, SU and RT, intersecting inside the circle at point V. Chord SU is divided into segments SR = x and RU = 8. Chord RT is divided into segments RV = 4 and VT = 4.

A circle with two chords, ZY and WX, intersecting inside the circle at point P. Chord ZY is divided into segments ZP = x+3 and PY = x+9. Chord WX is divided into segments WP = x and PX = x+4.

A circle with an external point J. A segment GJ is tangent to the circle at point G. A secant segment JK passes through the circle, intersecting it at H and K. The length of the tangent segment GJ is x. The length of the external part of the secant, JH, is 4. The length of the internal part of the secant, HK, is 6.

A circle with an external point A. Two secant segments, AE and AD, originate from A. Secant AE intersects the circle at B and E. The external part AB has length 5. The internal part BE has length x. The whole secant AE = 5 + x. Secant AD intersects the circle at C and D. The external part AC has length 7.5. The internal part CD has length 4.5. The whole secant AD = 7.5 + 4.5 = 12.

A diagram showing a broken piece of circular pottery. A chord PR is visible, with a segment QS perpendicular to PR. Point S is the midpoint of PR. The length of PS is 10 cm, and the length of SR is 10 cm, making the total chord length PR = 20 cm. The length of the segment QS is 6 cm. Q is on the circumference, and S is on the chord PR. QS is stated to be part of the diameter.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: مثال 4 --- مثال 4 --- SECTION: استعمال المماس والقاطع --- استعمال المماس والقاطع إذا كانت PQ مماساً للدائرة كما في الشكل المجاور، فأوجد قيمة x مقرباً إجابتك إلى أقرب عشر. PQ² = QR • QS النظرية 8.17 8² = x (x + 7) بالتعويض 64 = x² + 7x بالضرب 0 = x² + 7x - 64 بطرح 64 من كلا الطرفين استعمل القانون العام لحل المعادلة التربيعية؛ لأن المقدار غير قابل للتحليل. القانون العام x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a a = 1, b = 7, c = -64 = (-7 ± √(7² - 4(1)(-64))) / 2(1) بالتبسيط = (-7 ± √305) / 2 باستعمال الحاسبة ≈ 5.2 أو -12.2 وبما أنه لا يمكن أن تكون الأطوال سالبة، فإن قيمة x تساوي 5.2 تقريباً. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- 4) AB مماس للدائرة في الشكل المجاور، أوجد قيمة x مقرباً إجابتك إلى أقرب عشر. --- SECTION: تأكد --- تأكد --- SECTION: الأمثلة 4, 3, 1 --- الأمثلة 4, 3, 1 أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية، مفترضاً أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة، هي مماسات فعلاً. --- SECTION: 1 --- أوجد قيمة x في الشكل (1). --- SECTION: 2 --- أوجد قيمة x في الشكل (2). --- SECTION: 3 --- أوجد قيمة x في الشكل (3). --- SECTION: 4 --- أوجد قيمة x في الشكل (4). --- SECTION: المثال 2 --- المثال 2 --- SECTION: 5 --- 5) آثار: يبين الشكل المجاور صورة جزء مكسور من إناء فخاري دائري وُجد في موقع أثري. إذا كانت QS جزءاً من قطر الدائرة، فما محيط الإناء الفخاري الأصلي؟ قرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. وزارة التعليم الدرس 8-7 قطع مستقيمة خاصة في الدائرة 227 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with an external point Q. A segment PQ is tangent to the circle at point P. A secant segment QS passes through the circle, intersecting it at R and S. The length of the tangent segment PQ is 8. The length of the external part of the secant, QR, is x. The length of the internal part of the secant, RS, is 7. Context: Illustrates the Tangent-Secant Theorem: (Tangent Segment)² = (External Secant Segment) × (Whole Secant Segment). Here, PQ² = QR × QS. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with an external point A. A segment AB is tangent to the circle at point B. A secant segment AD passes through the circle, intersecting it at C and D. The length of the tangent segment AB is 10. The length of the external part of the secant, AC, is x. The length of the internal part of the secant, CD, is 4. Context: Applies the Tangent-Secant Theorem: (Tangent Segment)² = (External Secant Segment) × (Whole Secant Segment). Here, AB² = AC × AD. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with two chords, SU and RT, intersecting inside the circle at point V. Chord SU is divided into segments SR = x and RU = 8. Chord RT is divided into segments RV = 4 and VT = 4. Context: Applies the Chord-Chord Product Theorem: If two chords intersect inside a circle, then the product of the lengths of the segments of one chord is equal to the product of the lengths of the segments of the other chord. Here, SR × RU = RV × VT. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with two chords, ZY and WX, intersecting inside the circle at point P. Chord ZY is divided into segments ZP = x+3 and PY = x+9. Chord WX is divided into segments WP = x and PX = x+4. Context: Applies the Chord-Chord Product Theorem: ZP × PY = WP × PX. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with an external point J. A segment GJ is tangent to the circle at point G. A secant segment JK passes through the circle, intersecting it at H and K. The length of the tangent segment GJ is x. The length of the external part of the secant, JH, is 4. The length of the internal part of the secant, HK, is 6. Context: Applies the Tangent-Secant Theorem: GJ² = JH × JK. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with an external point A. Two secant segments, AE and AD, originate from A. Secant AE intersects the circle at B and E. The external part AB has length 5. The internal part BE has length x. The whole secant AE = 5 + x. Secant AD intersects the circle at C and D. The external part AC has length 7.5. The internal part CD has length 4.5. The whole secant AD = 7.5 + 4.5 = 12. Context: Applies the Secant-Secant Theorem: If two secant segments share the same external endpoint, then the product of the length of one secant segment and its external segment is equal to the product of the length of the other secant segment and its external segment. Here, AB × AE = AC × AD. **FIGURE**: Untitled Description: A diagram showing a broken piece of circular pottery. A chord PR is visible, with a segment QS perpendicular to PR. Point S is the midpoint of PR. The length of PS is 10 cm, and the length of SR is 10 cm, making the total chord length PR = 20 cm. The length of the segment QS is 6 cm. Q is on the circumference, and S is on the chord PR. QS is stated to be part of the diameter. Context: This diagram can be used to find the radius or diameter of the original circular object. If QS is part of the diameter and perpendicular to chord PR, then S is the midpoint of PR. Let the radius be r. Let the center of the circle be O. The distance from O to PR is OS. Then OS = r - QS. In the right triangle OSP, OS² + PS² = r². Substituting values: (r - 6)² + 10² = r².

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 6

سؤال 4: AB مماس للدائرة في الشكل المجاور، أوجد قيمة x مقرباً إجابتك إلى أقرب عشر.

الإجابة: x ≈ 6.1

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحلل الشكل المعطى: لدينا دائرة، وهناك قطعة مستقيمة $AB$ تمس الدائرة عند النقطة $B$ وطولها $x$. كما يوجد قاطع للدائرة يبدأ من نفس النقطة $A$؛ الجزء الخارجي منه طوله $4$ وحدات، والجزء الداخلي طوله $5.3$ وحدات.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** بما أن لدينا مماس وقاطع من نقطة خارج الدائرة، نستخدم نظرية (المماس والقاطع) التي تنص على أن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب طول الجزء الخارجي من القاطع في طول القاطع كاملاً. الصيغة الرياضية: $$(AB)^2 = (الجزء الخارجي) \times (القاطع كاملاً)$$ $$x^2 = 4 \times (4 + 5.3)$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نقوم بتبسيط المعادلة وحساب القيمة: $$x^2 = 4 \times 9.3$$ $$x^2 = 37.2$$ الآن نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد قيمة $x$: $$x = \sqrt{37.2} \approx 6.099$$ بما أن المطلوب هو التقريب لأقرب عشر، وبما أن الرقم في منزلة الأجزاء من مئة هو $9$ (أكبر من $5$)، فإننا نزيد منزلة الأعشار بمقدار واحد.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قيمة $x$ مقربة إلى أقرب عشر هي **6.1**

سؤال 1: أوجد قيمة x في الشكل (1).

الإجابة: x = 4

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** عند النظر إلى الشكل (1)، نجد وترين متقاطعين داخل الدائرة. الوتر الأول مقسم إلى جزأين طولهما $x$ و $6$، والوتر الثاني مقسم إلى جزأين طولهما $3$ و $8$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نطبق نظرية الأوتار المتقاطعة، والتي تخبرنا أن حاصل ضرب طولي جزأي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب طولي جزأي الوتر الثاني. المعادلة هي: $$x \times 6 = 3 \times 8$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نقوم بحل المعادلة البسيطة الناتجة: $$6x = 24$$ بقسمة الطرفين على $6$: $$x = \frac{24}{6} = 4$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قيمة $x$ في هذا الشكل هي **4**

سؤال 2: أوجد قيمة x في الشكل (2).

الإجابة: x = 6

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** في الشكل (2)، نلاحظ وجود مماس طوله $x$ وقاطع للدائرة. الجزء الخارجي من القاطع طوله $4$ وحدات، بينما الجزء الداخلي (الوتر) طوله $5$ وحدات.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم نظرية المماس والقاطع التي تربط بين طول المماس وأجزاء القاطع: $$(المماس)^2 = (الجزء الخارجي) \times (الطول الكلي للقاطع)$$ $$x^2 = 4 \times (4 + 5)$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب القيم داخل المعادلة: $$x^2 = 4 \times 9$$ $$x^2 = 36$$ بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $$x = \sqrt{36} = 6$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قيمة $x$ المطلوبة هي **6**

سؤال 3: أوجد قيمة x في الشكل (3).

الإجابة: x = 5

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** نلاحظ في الشكل (3) وجود قاطعين يلتقيان في نقطة خارج الدائرة. القاطع الأول أجزاؤه $4$ (خارجي) و $6$ (داخلي). القاطع الثاني أجزاؤه $x$ (خارجي) و $3$ (داخلي).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نطبق نظرية القاطعين: حاصل ضرب طول الجزء الخارجي في طول القاطع كاملاً للقاطع الأول يساوي نفس القيمة للقاطع الثاني. $$4 \times (4 + 6) = x \times (x + 3)$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نبسط المعادلة: $$4 \times 10 = x^2 + 3x$$ $$40 = x^2 + 3x$$ نحولها إلى معادلة صفرية: $$x^2 + 3x - 40 = 0$$ بتحليل المقدار الثلاثي، نبحث عن عددين ضربهما $-40$ وجمعهما $3$، وهما $8$ و $-5$: $$(x + 8)(x - 5) = 0$$ إما $x = -8$ (مرفوض لأنه طول) أو $x = 5$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قيمة $x$ الصحيحة هي **5**

سؤال 4: أوجد قيمة x في الشكل (4).

الإجابة: x = 13

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحلل الشكل المعطى: لدينا دائرة، وهناك قطعة مستقيمة $AB$ تمس الدائرة عند النقطة $B$ وطولها $x$. كما يوجد قاطع للدائرة يبدأ من نفس النقطة $A$؛ الجزء الخارجي منه طوله $4$ وحدات، والجزء الداخلي طوله $5.3$ وحدات.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** بما أن لدينا مماس وقاطع من نقطة خارج الدائرة، نستخدم نظرية (المماس والقاطع) التي تنص على أن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب طول الجزء الخارجي من القاطع في طول القاطع كاملاً. الصيغة الرياضية: $$(AB)^2 = (الجزء الخارجي) \times (القاطع كاملاً)$$ $$x^2 = 4 \times (4 + 5.3)$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نقوم بتبسيط المعادلة وحساب القيمة: $$x^2 = 4 \times 9.3$$ $$x^2 = 37.2$$ الآن نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد قيمة $x$: $$x = \sqrt{37.2} \approx 6.099$$ بما أن المطلوب هو التقريب لأقرب عشر، وبما أن الرقم في منزلة الأجزاء من مئة هو $9$ (أكبر من $5$)، فإننا نزيد منزلة الأعشار بمقدار واحد.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قيمة $x$ مقربة إلى أقرب عشر هي **6.1**

سؤال 5: آثار: يبين الشكل المجاور صورة جزء مكسور من إناء فخاري دائري وُجد في موقع أثري. إذا كانت QS جزءاً من قطر الدائرة، فما محيط الإناء الفخاري الأصلي؟ قرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة.

الإجابة: ≈ 71.24 cm

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا جزء من إناء دائري. القطعة $QS$ هي جزء من القطر وطولها $6$ سم، وهي عمودية على وتر طوله $20$ سم (بافتراض أن الرسم يوضح تنصيف الوتر، فيكون كل جزء $10$ سم).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم نظرية الأوتار المتقاطعة لإيجاد القطر كاملاً. إذا كان الجزء المتبقي من القطر هو $y$، فإن: $$6 \times y = 10 \times 10$$ بعد إيجاد القطر $d = 6 + y$، نستخدم قانون المحيط: $$C = \pi \times d$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب $y$ أولاً: $$6y = 100 \Rightarrow y = 16.6667$$ إذن القطر كاملاً: $$d = 6 + 16.6667 = 22.6667 \text{ cm}$$ نحسب المحيط: $$C = 3.14159 \times 22.6667 \approx 71.209$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بتقريب النتيجة لأقرب جزء من مئة، نحصل على المحيط: **71.24 cm**