معادلة الدائرة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 معادلة الدائرة

المفاهيم الأساسية

الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة (standard form): هي الصيغة التي تكتب بها معادلة الدائرة التي مركزها `(h, k)` وطول نصف قطرها `r`. تُسمى أيضًا صيغة المركز ونصف القطر.

خريطة المفاهيم

```markmap

معادلة الدائرة

الأساس النظري

التعريف الهندسي

• جميع نقاط الدائرة تبعد مسافة ثابتة (نصف القطر r) عن المركز.

طرق الاشتقاق

• باستخدام نظرية فيثاغورس (إذا كان المركز عند نقطة الأصل).
• باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين (إذا كان المركز عند (h, k)).

الصيغة القياسية

الصيغة العامة

• r^2 = (x - h)^2 + (y - k)^2

حالات خاصة

• إذا كان المركز عند نقطة الأصل (0,0): r^2 = x^2 + y^2

التطبيق

كتابة المعادلة

• عند معرفة المركز (h, k) ونصف القطر r.

التمثيل البياني

• تمثيل الدائرة في المستوى الإحداثي عند معرفة معادلتها.

```

نقاط مهمة

• يمكن اشتقاق معادلة الدائرة باستخدام صيغة المسافة: d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} حيث d = r، و(x_1, y_1) = (h, k)، و(x_2, y_2) = (x, y).
• ليس من الضروري فك التربيع (x - h)^2 و (y - k)^2 عند كتابة المعادلة بالصيغة القياسية.
• من التطبيقات العملية للدائرة: تحديد المنطقة الدائرية لتغطية أبراج الاتصالات الهاتفية.

---

حل مثال

مثال 1: كتابة معادلة الدائرة باستعمال المركز ونصف القطر

أ) مركزها عند `(1, -8)`، وطول نصف قطرها `7`.

* المعطيات: `(h, k) = (1, -8)` ، `r = 7`.

* الصيغة القياسية: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

* الحل:

(x - 1)^2 + [y - (-8)]^2 = 7^2

(x - 1)^2 + (y + 8)^2 = 49

* معادلة الدائرة: (x - 1)^2 + (y + 8)^2 = 49

ب) الدائرة الممثلة بيانيًا (مركزها عند `(0, 4)` وطول نصف قطرها `3`).

* المعطيات: `(h, k) = (0, 4)` ، `r = 3`.

* الصيغة القياسية: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

* الحل:

(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = 3^2

x^2 + (y - 4)^2 = 9

* معادلة الدائرة: x^2 + (y - 4)^2 = 9

---

تحقق من فهمك

اكتب معادلة الدائرة في كل مما يأتي:

1A) مركزها نقطة الأصل، ونصف قطرها `√10`.

* المعطيات: `(h, k) = (0, 0)` ، `r = √10`.

* الصيغة (حالة خاصة): r^2 = x^2 + y^2

* الحل:

(√10)^2 = x^2 + y^2

10 = x^2 + y^2

* معادلة الدائرة: x^2 + y^2 = 10

1B) مركزها النقطة `(4, -1)`، وقطرها `8`.

* المعطيات: `(h, k) = (4, -1)` ، `القطر = 8`، إذن `نصف القطر r = 4`.

* الصيغة القياسية: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

* الحل:

(x - 4)^2 + [y - (-1)]^2 = 4^2

(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 16

* معادلة الدائرة: (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 16

8-8

معادلة الدائرة Equation of Circle

فيما سبق: درست كتابة معادلة المستقيم وتمثيله بيانيًا في المستوى الإحداثي. (مهارة سابقة)

والآن: أكتب معادلة الدائرة. أمثل الدائرة بيانيًا في المستوى الإحداثي.

المفردات: الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة standard form of an equation of a circle

لماذا؟ تستعمل أبراج الاتصالات الهاتفية إشارات الراديو لبث مكالمات الهواتف النقالة. ويغطي كل برج منطقة دائرية. وتُصمم الأبراج بحيث تلتقط إشارات البث في أي مكان ضمن المنطقة التغطية.

معادلة الدائرة: بما أن نقاط الدائرة جميعها تبعد مسافات متساوية عن مركزها، فإنه يمكنك إيجاد معادلتها باستعمال صيغة المسافة بين نقطتين أو نظرية فيثاغورس. إذا مثل (x, y) نقطة على دائرة مركزها عند نقطة الأصل كما في الشكل المجاور، فإنه يمكنك أن تستعمل نظرية فيثاغورس؛ لتجد أن معادلة هذه الدائرة r² = x² + y². وإذا لم يقع مركز الدائرة عند نقطة الأصل، ولكن عند النقطة (h, k) كما في الشكل المبين في المفهوم الأساسي أدناه، فإنه يمكنك أن تستعمل صيغة المسافة بين نقطتين لتحصل على معادلة الدائرة.

صيغة المسافة بين نقطتين d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² d = r, (x₁, y₁) = (h, k), (x₂, y₂) = (x, y) r = √(x - h)² + (y - k)² بتربيع كلا الطرفين r² = (x - h)² + (y - k)²

مفهوم أساسي الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة التي مركزها (h, k) ، وطول نصف قطرها r هي: r² = (x - h)² + (y - k)². الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة تُسمى أيضًا صيغة المركز ونصف القطر.

مثال 1 كتابة معادلة الدائرة باستعمال المركز ونصف القطر اكتب معادلة الدائرة في كل مما يأتي: a) مركزها عند (1, -8)، وطول نصف قطرها 7 (x - h)² + (y - k)² = r² (x - 1)² + [y - (-8)]² = 7² (x - 1)² + (y + 8)² = 49 معادلة الدائرة (h, k) = (1, -8), r = 7 بالتبسيط b) الدائرة الممثلة بيانيًا في الشكل المجاور. مركز الدائرة عند (0, 4) وطول نصف قطرها 3 (x - h)² + (y - k)² = r² (x - 0)² + (y - 4)² = 3² x² + (y - 4)² = 9 معادلة الدائرة (h, k) = (0, 4), r = 3 بالتبسيط

تحقق من فهمك

إرشادات للدراسة معادلة الدائرة: في المثال 1، لاحظ أن معادلة الدائرة بقيت على الصورة القياسية، إذ ليس من الضروري فك التربيع.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

وزارة التعليم الدرس 8-8 معادلة الدائرة 231 2025 - 1447

8-8 معادلة الدائرة Equation of Circle --- SECTION: فيما سبق --- فيما سبق: درست كتابة معادلة المستقيم وتمثيله بيانيًا في المستوى الإحداثي. (مهارة سابقة) --- SECTION: والآن --- والآن: أكتب معادلة الدائرة. أمثل الدائرة بيانيًا في المستوى الإحداثي. --- SECTION: المفردات --- المفردات: الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة standard form of an equation of a circle --- SECTION: لماذا؟ --- لماذا؟ تستعمل أبراج الاتصالات الهاتفية إشارات الراديو لبث مكالمات الهواتف النقالة. ويغطي كل برج منطقة دائرية. وتُصمم الأبراج بحيث تلتقط إشارات البث في أي مكان ضمن المنطقة التغطية. --- SECTION: معادلة الدائرة --- معادلة الدائرة: بما أن نقاط الدائرة جميعها تبعد مسافات متساوية عن مركزها، فإنه يمكنك إيجاد معادلتها باستعمال صيغة المسافة بين نقطتين أو نظرية فيثاغورس. إذا مثل (x, y) نقطة على دائرة مركزها عند نقطة الأصل كما في الشكل المجاور، فإنه يمكنك أن تستعمل نظرية فيثاغورس؛ لتجد أن معادلة هذه الدائرة r² = x² + y². وإذا لم يقع مركز الدائرة عند نقطة الأصل، ولكن عند النقطة (h, k) كما في الشكل المبين في المفهوم الأساسي أدناه، فإنه يمكنك أن تستعمل صيغة المسافة بين نقطتين لتحصل على معادلة الدائرة. --- SECTION: صيغة المسافة بين نقطتين --- صيغة المسافة بين نقطتين d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² d = r, (x₁, y₁) = (h, k), (x₂, y₂) = (x, y) r = √(x - h)² + (y - k)² بتربيع كلا الطرفين r² = (x - h)² + (y - k)² --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة التي مركزها (h, k) ، وطول نصف قطرها r هي: r² = (x - h)² + (y - k)². الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة تُسمى أيضًا صيغة المركز ونصف القطر. --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 كتابة معادلة الدائرة باستعمال المركز ونصف القطر اكتب معادلة الدائرة في كل مما يأتي: a) مركزها عند (1, -8)، وطول نصف قطرها 7 (x - h)² + (y - k)² = r² (x - 1)² + [y - (-8)]² = 7² (x - 1)² + (y + 8)² = 49 معادلة الدائرة (h, k) = (1, -8), r = 7 بالتبسيط b) الدائرة الممثلة بيانيًا في الشكل المجاور. مركز الدائرة عند (0, 4) وطول نصف قطرها 3 (x - h)² + (y - k)² = r² (x - 0)² + (y - 4)² = 3² x² + (y - 4)² = 9 معادلة الدائرة (h, k) = (0, 4), r = 3 بالتبسيط --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك 1A. مركزها نقطة الأصل، ونصف قطرها √10. 1B. مركزها النقطة (1-, 4)، وقطرها 8. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة معادلة الدائرة: في المثال 1، لاحظ أن معادلة الدائرة بقيت على الصورة القياسية، إذ ليس من الضروري فك التربيع. --- SECTION: رابط الدرس الرقمي --- رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa وزارة التعليم الدرس 8-8 معادلة الدائرة 231 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: A tall metal cell tower with multiple dish antennas and other communication equipment, set against a blue sky. This image provides a real-world context for the circular coverage areas mentioned in the 'Why?' section of the lesson. Context: Illustrates the practical application of circles in telecommunications, specifically the circular coverage area of a cell tower. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle centered at the origin (0, 0) of a Cartesian coordinate system. A point (x, y) is shown on the circumference. A right-angled triangle is formed with vertices at (0, 0), (x, 0), and (x, y). The horizontal leg has length x, the vertical leg has length y, and the hypotenuse, which is the radius of the circle, has length r. X-axis: x Y-axis: y Context: This diagram visually explains the derivation of the equation of a circle centered at the origin using the Pythagorean theorem, where x and y are the legs of a right triangle and r is the hypotenuse (radius). **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle centered at the point (h, k) on a Cartesian coordinate system. A point (x, y) is shown on the circumference. A right-angled triangle is formed with vertices at (h, k), (x, k), and (x, y). The horizontal leg has length (x - h), the vertical leg has length (y - k), and the hypotenuse, which is the radius of the circle, has length r. X-axis: x Y-axis: y Context: This diagram illustrates the derivation of the standard form of the equation of a circle centered at (h, k) using the distance formula and Pythagorean theorem, where (x-h) and (y-k) are the legs of a right triangle and r is the hypotenuse (radius). **GRAPH**: Untitled Description: A circle plotted on a Cartesian coordinate grid. The grid lines are spaced at 1-unit intervals. The origin (0, 0) is marked. The circle is centered at (0, 4) and has a radius of 3 units. X-axis: x Y-axis: y Context: This graph provides the visual information (center and radius) needed to write the equation of the circle, serving as an example problem for applying the standard form of the circle equation.