مثال 2 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 كتابة معادلة الدائرة باستعمال مركزها ونقطة عليها

المفاهيم الأساسية

معادلة الدائرة (الصيغة القياسية): (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 حيث (h, k) هي إحداثيات المركز، و r هو نصف القطر.

خريطة المفاهيم

```markmap

معادلة الدائرة

الأساس النظري

التعريف الهندسي

• جميع نقاط الدائرة تبعد مسافة ثابتة (نصف القطر r) عن المركز.

طرق الاشتقاق

• باستخدام نظرية فيثاغورس (إذا كان المركز عند نقطة الأصل).
• باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين (إذا كان المركز عند (h, k)).

الصيغة القياسية

الصيغة العامة

• r^2 = (x - h)^2 + (y - k)^2

حالات خاصة

• إذا كان المركز عند نقطة الأصل (0,0): r^2 = x^2 + y^2

التطبيق

كتابة المعادلة

• عند معرفة المركز (h, k) ونصف القطر r.
• عند معرفة المركز (h, k) ونقطة على الدائرة (x₁, y₁).

التمثيل البياني

• تمثيل الدائرة في المستوى الإحداثي عند معرفة معادلتها.
• إيجاد المركز ونصف القطر من المعادلة القياسية للتمثيل.

خطوات حل المسائل

كتابة المعادلة بمعرفة المركز ونقطة

أوجد نصف القطر r باستخدام صيغة المسافة بين المركز والنقطة.

عوّض بـ h, k, r في الصيغة القياسية.

التمثيل البياني بمعرفة المعادلة

أعد كتابة المعادلة بالصيغة القياسية لتحديد h, k, r.

حدد المركز (h, k) على المستوى.

ارسم الدائرة بنصف القطر r.

```

نقاط مهمة

• لإيجاد معادلة الدائرة عند معرفة مركزها ونقطة عليها، يتم أولاً حساب نصف القطر باستخدام صيغة المسافة: r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.
• عند تمثيل الدائرة بيانياً، يمكن تحليل معادلتها للحصول على المركز (h, k) ونصف القطر r.
• من الأفضل ترك نصف القطر على صورة جذر (مثل √13) إذا كان غير كامل، لأنه سيربع عند كتابة المعادلة.

---

حل مثال

مثال 2: اكتب معادلة الدائرة في كل مما يأتي:

a) مركزها (4, -2)، وتمر بالنقطة (7, -6).

* الخطوة 1: إيجاد نصف القطر باستخدام صيغة المسافة بين المركز (4, -2) والنقطة (7, -6).

r = \sqrt{(7 - 4)^2 + [(-6) - (-2)]^2} = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5

* الخطوة 2: كتابة المعادلة باستخدام h=4, k=-2, r=5.

(x - 4)^2 + [y - (-2)]^2 = 5^2

(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 25

b) الدائرة الممثلة بيانياً (مركزها (3, -2) وتمر بالنقطة (5, 1)).

* الخطوة 1: إيجاد نصف القطر باستخدام صيغة المسافة بين المركز (3, -2) والنقطة (5, 1).

r = \sqrt{(5 - 3)^2 + [1 - (-2)]^2} = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}

* الخطوة 2: كتابة المعادلة باستخدام h=3, k=-2, r=\sqrt{13}.

(x - 3)^2 + [y - (-2)]^2 = (\sqrt{13})^2

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 13

مثال 3: أوجد مركز ونصف قطر الدائرة التي معادلتها (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 9، ثم مثلها بيانياً.

* الخطوة: إعادة كتابة المعادلة بالصيغة القياسية للمقارنة: (x - 4)^2 + [y - (-1)]^2 = 3^2

* النتيجة: المركز هو (4, -1) ونصف القطر r = 3 وحدات.

---

تحقق من فهمك

2) اكتب معادلة الدائرة في كل مما يأتي:

* 2A) مركزها (4, 5)، وتمر بالنقطة (-3, 4).

* نصف القطر: r = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50}

* المعادلة: (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 50

* 2B) مركزها (-3, 5)، وتمر بالنقطة (0, 0).

* نصف القطر: r = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}

* المعادلة: [x - (-3)]^2 + (y - 5)^2 = (\sqrt{34})^2 → (x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 34

3) أوجد مركز ونصف قطر الدائرة المعطاة معادلتها في كل مما يأتي، ثم مثلها بيانياً:

* 3A) x^2 + y^2 = 4

* يمكن كتابتها: (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2

* المركز: (0, 0) ، نصف القطر: r = 2

* 3B) (x + 4)^2 + (y - 7)^2 = 25

* يمكن كتابتها: [x - (-4)]^2 + (y - 7)^2 = 5^2

* المركز: (-4, 7) ، نصف القطر: r = 5

كتابة معادلة الدائرة باستعمال مركزها ونقطة عليها

مثال 2

اكتب معادلة الدائرة في كل مما يأتي: a) مركزها (4, -2)، وتمر بالنقطة (7, 6-). الخطوة 1: أوجد نصف القطر باستعمال صيغة المسافة بين النقطتين. صيغة المسافة بين نقطتين r = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² (x₁, y₁) = (-2, 4), (x₂, y₂) = (-6, 7) r = √[-6 - (-2)]² + (7 - 4)² بالتبسيط = √25 = 5 الخطوة 2: اكتب معادلة الدائرة باستعمال: h = -2, k = 4, r = 5. معادلة الدائرة (x - h)² + (y - k)² = r² [x - (-2)]² + (y - 4)² = 5² بالتبسيط (x + 2)² + (y - 4)² = 25

إرشادات للدراسة صيغة الجذور: في المثال 2b، من الأفضل ترك نصف القطر على صورة الجذر؛ لأن نصف القطر سيُربع عند كتابة معادلة الدائرة.

b) الدائرة الممثلة بيانياً جانباً. الخطوة 1: أوجد نصف القطر باستعمال صيغة المسافة بين النقطتين صيغة المسافة بين نقطتين r = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² بالتعويض r = √(5 - 3)² + [1 - (-2)]² بالتبسيط = √13 الخطوة 2: اكتب معادلة الدائرة باستعمال: h = 3, k = -2, r = √13. معادلة الدائرة (x - h)² + (y - k)² = r² (x - 3)² + [y - (-2)]² = (√13)² بالتبسيط (x - 3)² + (y + 2)² = 13

تحقق من فهمك

تمثيل الدوائر بيانياً: يمكنك تحليل معادلة الدائرة؛ لتجد معلومات تساعدك على تمثيلها بيانياً في المستوى الإحداثي.

مثال 3

تمثيل الدائرة بيانياً أوجد مركز ونصف قطر الدائرة التي معادلتها: 9 = (1 + y)² + (4 - x)² ، ثم مثلها بيانياً. أعد كتابة المعادلة 9 = (1 + y)² + (4 - x)² بالصيغة القياسية لإيجاد المركز ونصف القطر بسهولة. (x - 4)² + [y - (-1)]² = 3² (x - h)² + (y - k)² = r² لذا فإن: h = 4, k = -1, r = 3. أي أن المركز عند النقطة (4, -1)، ونصف القطر 3 وحدات.

إرشادات للدراسة مسلمات إقليدس: لقد درست ثلاثًا من مسلمات إقليدس في درس 5-2. وهناك مسلمة أخرى لإقليدس، وهي أنه يمكنك رسم دائرة وحيدة بنصف قطر معلوم باختيار أي نقطة لتكون مركزًا لهذه الدائرة.

تحقق من فهمك أوجد مركز ونصف قطر الدائرة المعطاة معادلتها في كل مما يأتي، ثم مثلها بيانياً:

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

الفصل 8 الدائرة 232

كتابة معادلة الدائرة باستعمال مركزها ونقطة عليها --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 اكتب معادلة الدائرة في كل مما يأتي: a) مركزها (4, -2)، وتمر بالنقطة (7, 6-). الخطوة 1: أوجد نصف القطر باستعمال صيغة المسافة بين النقطتين. صيغة المسافة بين نقطتين r = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² (x₁, y₁) = (-2, 4), (x₂, y₂) = (-6, 7) r = √[-6 - (-2)]² + (7 - 4)² بالتبسيط = √25 = 5 الخطوة 2: اكتب معادلة الدائرة باستعمال: h = -2, k = 4, r = 5. معادلة الدائرة (x - h)² + (y - k)² = r² [x - (-2)]² + (y - 4)² = 5² بالتبسيط (x + 2)² + (y - 4)² = 25 a. مركزها (4, -2)، وتمر بالنقطة (7, 6-). --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة صيغة الجذور: في المثال 2b، من الأفضل ترك نصف القطر على صورة الجذر؛ لأن نصف القطر سيُربع عند كتابة معادلة الدائرة. b) الدائرة الممثلة بيانياً جانباً. الخطوة 1: أوجد نصف القطر باستعمال صيغة المسافة بين النقطتين صيغة المسافة بين نقطتين r = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² بالتعويض r = √(5 - 3)² + [1 - (-2)]² بالتبسيط = √13 الخطوة 2: اكتب معادلة الدائرة باستعمال: h = 3, k = -2, r = √13. معادلة الدائرة (x - h)² + (y - k)² = r² (x - 3)² + [y - (-2)]² = (√13)² بالتبسيط (x - 3)² + (y + 2)² = 13 b. الدائرة الممثلة بيانياً جانباً. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك 2A. مركزها (4, 5)، وتمر بالنقطة (4, 3-). 2B. مركزها (5, 3-)، وتمر بالنقطة (0, 0). --- SECTION: تمثيل الدوائر بيانياً --- تمثيل الدوائر بيانياً: يمكنك تحليل معادلة الدائرة؛ لتجد معلومات تساعدك على تمثيلها بيانياً في المستوى الإحداثي. --- SECTION: مثال 3 --- مثال 3 --- SECTION: تمثيل الدائرة بيانياً --- تمثيل الدائرة بيانياً أوجد مركز ونصف قطر الدائرة التي معادلتها: 9 = (1 + y)² + (4 - x)² ، ثم مثلها بيانياً. أعد كتابة المعادلة 9 = (1 + y)² + (4 - x)² بالصيغة القياسية لإيجاد المركز ونصف القطر بسهولة. (x - 4)² + [y - (-1)]² = 3² (x - h)² + (y - k)² = r² لذا فإن: h = 4, k = -1, r = 3. أي أن المركز عند النقطة (4, -1)، ونصف القطر 3 وحدات. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة مسلمات إقليدس: لقد درست ثلاثًا من مسلمات إقليدس في درس 5-2. وهناك مسلمة أخرى لإقليدس، وهي أنه يمكنك رسم دائرة وحيدة بنصف قطر معلوم باختيار أي نقطة لتكون مركزًا لهذه الدائرة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك أوجد مركز ونصف قطر الدائرة المعطاة معادلتها في كل مما يأتي، ثم مثلها بيانياً: 3A. x² + y² = 4 3B. (x + 4)² + (y - 7)² = 25 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 الفصل 8 الدائرة 232 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A circle centered at (3, -2) with a radius of √13. It passes through the point (5, 1). X-axis: x Y-axis: y Key Values: radius = √13 Context: Illustrates how to find the equation of a circle given its graph by identifying the center and a point on the circle. **GRAPH**: Untitled Description: A circle centered at (4, -1) with a radius of 3 units. The circle does not intersect the y-axis. X-axis: x Y-axis: y Key Values: radius = 3 Context: Illustrates how to graph a circle given its equation by identifying the center and radius.