مثال 4 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مثال 4

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 معادلة الدائرة (استعمال ثلاث نقاط)

المفاهيم الأساسية

العمود المنصف للوتر في الدائرة: هو قطر (أو نصف قطر) لها. (يُستخدم لإيجاد مركز الدائرة عند معرفة ثلاث نقاط عليها).

خريطة المفاهيم

```markmap

معادلة الدائرة

الأساس النظري

التعريف الهندسي

  • جميع نقاط الدائرة تبعد مسافة ثابتة (نصف القطر r) عن المركز.

طرق الاشتقاق

  • باستخدام نظرية فيثاغورس (إذا كان المركز عند نقطة الأصل).
  • باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين (إذا كان المركز عند (h, k)).

الصيغة القياسية

الصيغة العامة

  • r^2 = (x - h)^2 + (y - k)^2

حالات خاصة

  • إذا كان المركز عند نقطة الأصل (0,0): r^2 = x^2 + y^2

التطبيق

كتابة المعادلة

  • عند معرفة المركز (h, k) ونصف القطر r.
  • عند معرفة المركز (h, k) ونقطة على الدائرة (x₁, y₁).

التمثيل البياني

  • تمثيل الدائرة في المستوى الإحداثي عند معرفة معادلتها.
  • إيجاد المركز ونصف القطر من المعادلة القياسية للتمثيل.

خطوات حل المسائل

كتابة المعادلة بمعرفة المركز ونقطة

  • أوجد نصف القطر r باستخدام صيغة المسافة بين المركز والنقطة.
  • عوّض بـ h, k, r في الصيغة القياسية.

    • التمثيل البياني بمعرفة المعادلة

  • أعد كتابة المعادلة بالصيغة القياسية لتحديد h, k, r.
  • حدد المركز (h, k) على المستوى.
  • ارسم الدائرة بنصف القطر r.

    • استعمال ثلاث نقاط لكتابة المعادلة

    الفكرة الأساسية

    • مركز الدائرة هو نقطة تقاطع العمودين المنصفين لأي وترين فيها.

    خطوات الحل

  • ارسم النقاط الثلاث واربطها لتكوين مثلث.
  • أنشئ عمودين منصفين لضلعين من أضلاع المثلث.
  • نقطة تقاطع العمودين المنصفين هي مركز الدائرة (h, k).
  • احسب نصف القطر r (المسافة بين المركز وأي نقطة من النقاط المعطاة).
  • عوّض في الصيغة القياسية: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

    • ```

    نقاط مهمة

    • لإيجاد معادلة دائرة تمر بثلاث نقاط، نجد مركزها أولاً (نقطة تقاطع العمودين المنصفين لوترين)، ثم نصف قطرها.
    • يمكن التحقق من صحة المعادلة برسم الدائرة والتأكد من مرورها بالنقاط الثلاث المعطاة.

    ---

    حل مثال

    المثال 4 (أعاصير):

    * المعطيات: ثلاث نقاط على الدائرة: A(-8, 3), B(-4, 7), C(-4, -1).

    * المطلوب: كتابة معادلة الدائرة.

    * الحل:

    1. الخطة: إنشاء عمودين منصفين لضلعين من المثلث ABC.

    2. التنفيذ: من الرسم البياني المصاحب، يتقاطع العمودان المنصفان عند النقطة (-4, 3). هذه هي مركز الدائرة (h, k). المسافة بين المركز والنقطة A (أو B أو C) هي 4 وحدات (نصف القطر r).

    3. كتابة المعادلة:

    (x - (-4))^2 + (y - 3)^2 = 4^2

    (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 16

    4. التحقق: بالرسم، الدائرة التي مركزها (-4,3) ونصف قطرها 4 تمر بالنقاط A, B, C.

    ---

    تحقق من فهمك

    السؤال 4: اكتب معادلة الدائرة التي تمر بالنقاط: R(2, 1), S(-3, 4), T(-5, 0).

    (ملاحظة: هذا سؤال تطبيقي للطالب لحله باستخدام الطريقة المشروحة في المثال)

    ---

    > 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

    📋 المحتوى المنظم

    📖 محتوى تعليمي مفصّل

    مثال 4

    نوع: محتوى تعليمي

    مثال 4 من واقع الحياة استعمال ثلاث نقاط لكتابة معادلة الدائرة

    أعاصير

    نوع: محتوى تعليمي

    أعاصير: وُضعت ثلاث صفارات للتحذير من الأعاصير في ثلاثة مواقع استراتيجية على دائرة حول مدينة، اكتب معادلة الدائرة التي وُضعت عليها الصفارات الثلاث إذا كانت إحداثيات مواقعها هي: (3, 8-)A، (7, 4-)B، (1-, 4-)C.

    الربط مع الحياة

    نوع: محتوى تعليمي

    في الولايات المتحدة يُسجَّل 1000 إعصار تقريبًا خلال السنة الواحدة. أكثر هذه الأعاصير تدميرًا هي الأعاصير التي تبلغ سرعتها 250mi/h أو أكثر، فقد يصل عرض مسارها التدميري إلى ميل، ويمتد إلى 50mi.

    افهم

    نوع: محتوى تعليمي

    افهم: المعطيات: إحداثيات ثلاث نقاط تقع على الدائرة هي: (3, 8-)A، (7, 4-)B، (1-, 4-)C. المطلوب: كتابة معادلة الدائرة التي تمر بالنقاط الثلاث.

    خطط

    نوع: محتوى تعليمي

    خطط: مثّل ABC∆ بيانياً، ثم أنشئ عمودين منصفين لاثنين من أضلاعه؛ لتعيين مركز الدائرة، حيث إن العمود المنصف لوتر في الدائرة هو قطر (أو نصف قطر) لها، وأوجد طول نصف قطر الدائرة، ثم استعمل المركز ونصف القطر لكتابة معادلتها.

    حلّ

    نوع: محتوى تعليمي

    حلّ: أنشئ عمودين منصفين لضلعين، يظهر من الرسم أن مركز الدائرة يقع عند النقطة (4-, 3)، ونصف القطر 4. اكتب المعادلة:

    نوع: محتوى تعليمي

    (x - h)² + (y - k)² = r² [x - (-4)]² + (y - 3)² = 4² (x + 4)² + (y - 3)² = 16

    تحقق

    نوع: محتوى تعليمي

    تحقق: ارسم دائرة مركزها (4-, 3) ونصف قطرها 4، ثم تحقق من أنها تمر بالنقاط الثلاث المعطاة.

    تحقق من فهمك

    نوع: محتوى تعليمي

    تحقق من فهمك

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    4) اكتب معادلة الدائرة التي تمر بالنقاط: (0, 5-)T, (4, 3-)S, (2, 1)R.

    تأكد

    نوع: محتوى تعليمي

    تأكد

    المثالان 1, 2

    نوع: محتوى تعليمي

    المثالان 1, 2 اكتب معادلة الدائرة في كلٍّ مما يأتي:

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    1) مركزها (0, 9)، ونصف قطرها 5

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    2) مركزها (1, 3)، وقطرها 14

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    3) مركزها نقطة الأصل، وتمر بالنقطة (2, 2).

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    4) مركزها (3, 5-)، وتمر بالنقطة (1-, 4).

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    5)

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    6)

    المثال 3

    نوع: محتوى تعليمي

    المثال 3 أوجد مركز ونصف قطر الدائرة المعطاة معادلتها في كلٍّ مما يأتي، ثم مثّلها بيانياً:

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    7) (x - 3)² + (y + 2)² = 16

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    8) x² + (y + 1)² = 4

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    9) (x + 3)² + y² - 9 = 0

    المثال 4

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    المثال 4 10) اتصالات: مُثّلت ثلاثة أبراج هواتف نقالة بالنقاط: (9, 3)Z, (4, 8)Y, (0, 6)X، عيّن موقع برج آخر يبعد مسافات متساوية عن هذه الأبراج الثلاثة، ثم اكتب معادلة الدائرة التي تقع عليها الأبراج الثلاثة.

    نوع: METADATA

    الدرس 8-8 معادلة الدائرة 233

    🔍 عناصر مرئية

    Graph for Example 4

    A circle is plotted on a Cartesian grid with an inscribed triangle ABC. The vertices of the triangle are marked as A at (-8, 3), B at (-4, 7), and C at (-4, -1). The origin O is marked at (0,0). Two dashed pink lines represent the perpendicular bisectors of sides BC and AB. These bisectors intersect at the circle's center, which is located at (-4, 3). The radius of the circle is 4 units.

    Graph for Question 5

    A circle is plotted on a Cartesian grid. The center of the circle is marked with a solid blue dot at coordinates (2, 1). Another point on the circle's circumference is marked with a solid blue dot at coordinates (4, 1). The origin O is marked at (0,0). The radius is the distance between the center and the point on the circumference, which is 2 units.

    Graph for Question 6

    A circle is plotted on a Cartesian grid. The center of the circle is marked with a solid blue dot at coordinates (3, -4). Another point on the circle's circumference is marked with a solid blue dot at coordinates (0, -6). The origin O is marked at (0,0). The radius can be calculated as the distance between these two points.

    📄 النص الكامل للصفحة

    --- SECTION: مثال 4 --- مثال 4 من واقع الحياة استعمال ثلاث نقاط لكتابة معادلة الدائرة --- SECTION: أعاصير --- أعاصير: وُضعت ثلاث صفارات للتحذير من الأعاصير في ثلاثة مواقع استراتيجية على دائرة حول مدينة، اكتب معادلة الدائرة التي وُضعت عليها الصفارات الثلاث إذا كانت إحداثيات مواقعها هي: (3, 8-)A، (7, 4-)B، (1-, 4-)C. --- SECTION: الربط مع الحياة --- في الولايات المتحدة يُسجَّل 1000 إعصار تقريبًا خلال السنة الواحدة. أكثر هذه الأعاصير تدميرًا هي الأعاصير التي تبلغ سرعتها 250mi/h أو أكثر، فقد يصل عرض مسارها التدميري إلى ميل، ويمتد إلى 50mi. --- SECTION: افهم --- افهم: المعطيات: إحداثيات ثلاث نقاط تقع على الدائرة هي: (3, 8-)A، (7, 4-)B، (1-, 4-)C. المطلوب: كتابة معادلة الدائرة التي تمر بالنقاط الثلاث. --- SECTION: خطط --- خطط: مثّل ABC∆ بيانياً، ثم أنشئ عمودين منصفين لاثنين من أضلاعه؛ لتعيين مركز الدائرة، حيث إن العمود المنصف لوتر في الدائرة هو قطر (أو نصف قطر) لها، وأوجد طول نصف قطر الدائرة، ثم استعمل المركز ونصف القطر لكتابة معادلتها. --- SECTION: حلّ --- حلّ: أنشئ عمودين منصفين لضلعين، يظهر من الرسم أن مركز الدائرة يقع عند النقطة (4-, 3)، ونصف القطر 4. اكتب المعادلة: (x - h)² + (y - k)² = r² [x - (-4)]² + (y - 3)² = 4² (x + 4)² + (y - 3)² = 16 --- SECTION: تحقق --- تحقق: ارسم دائرة مركزها (4-, 3) ونصف قطرها 4، ثم تحقق من أنها تمر بالنقاط الثلاث المعطاة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك 4) اكتب معادلة الدائرة التي تمر بالنقاط: (0, 5-)T, (4, 3-)S, (2, 1)R. --- SECTION: تأكد --- تأكد --- SECTION: المثالان 1, 2 --- المثالان 1, 2 اكتب معادلة الدائرة في كلٍّ مما يأتي: 1) مركزها (0, 9)، ونصف قطرها 5 2) مركزها (1, 3)، وقطرها 14 3) مركزها نقطة الأصل، وتمر بالنقطة (2, 2). 4) مركزها (3, 5-)، وتمر بالنقطة (1-, 4). 5) 6) --- SECTION: المثال 3 --- المثال 3 أوجد مركز ونصف قطر الدائرة المعطاة معادلتها في كلٍّ مما يأتي، ثم مثّلها بيانياً: 7) (x - 3)² + (y + 2)² = 16 8) x² + (y + 1)² = 4 9) (x + 3)² + y² - 9 = 0 --- SECTION: المثال 4 --- المثال 4 10) اتصالات: مُثّلت ثلاثة أبراج هواتف نقالة بالنقاط: (9, 3)Z, (4, 8)Y, (0, 6)X، عيّن موقع برج آخر يبعد مسافات متساوية عن هذه الأبراج الثلاثة، ثم اكتب معادلة الدائرة التي تقع عليها الأبراج الثلاثة. الدرس 8-8 معادلة الدائرة 233 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Graph for Example 4 Description: A circle is plotted on a Cartesian grid with an inscribed triangle ABC. The vertices of the triangle are marked as A at (-8, 3), B at (-4, 7), and C at (-4, -1). The origin O is marked at (0,0). Two dashed pink lines represent the perpendicular bisectors of sides BC and AB. These bisectors intersect at the circle's center, which is located at (-4, 3). The radius of the circle is 4 units. X-axis: x Y-axis: y Context: This graph visually represents the problem in Example 4, which requires finding the equation of a circle given three points on its circumference. The solution involves finding the circumcenter of the triangle formed by these points. **GRAPH**: Graph for Question 5 Description: A circle is plotted on a Cartesian grid. The center of the circle is marked with a solid blue dot at coordinates (2, 1). Another point on the circle's circumference is marked with a solid blue dot at coordinates (4, 1). The origin O is marked at (0,0). The radius is the distance between the center and the point on the circumference, which is 2 units. X-axis: x Y-axis: y Context: This graph provides the necessary information (center and a point on the circle) to determine the radius and write the equation of the circle for question 5. **GRAPH**: Graph for Question 6 Description: A circle is plotted on a Cartesian grid. The center of the circle is marked with a solid blue dot at coordinates (3, -4). Another point on the circle's circumference is marked with a solid blue dot at coordinates (0, -6). The origin O is marked at (0,0). The radius can be calculated as the distance between these two points. X-axis: x Y-axis: y Context: This graph provides the necessary information (center and a point on the circle) to determine the radius and write the equation of the circle for question 6.

    ✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

    عدد الأسئلة: 11

    سؤال 4: اكتب معادلة الدائرة التي تمر بالنقاط: (0, 5-)T, (4, 3-)S, (2, 1)R.

    الإجابة: $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 10$

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا ثلاث نقاط تمر بها الدائرة: - $R(2, 1)$ - $S(-3, 4)$ - $T(-5, 0)$ المطلوب هو إيجاد معادلة الدائرة على الصورة القياسية: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.
    2. **الخطوة 2 (القانون والتطبيق):** بما أن الدائرة تمر بهذه النقاط، فإن كل نقطة تحقق المعادلة. سنقوم بتعويض النقاط في المعادلة العامة للدائرة $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ لتكوين نظام من ثلاث معادلات. بعد حل النظام لإيجاد المركز $(h, k)$ ونصف قطر الدائرة $r$، نجد أن المركز هو $(-2, 1)$ ومربع نصف القطر هو $10$.
    3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالتعويض عن $h = -2$ و $k = 1$ و $r^2 = 10$ في الصيغة القياسية: $$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 10$$ إذن الإجابة هي: **$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 10$**

    سؤال 1: مركزها (0, 9)، ونصف قطرها 5

    الإجابة: $(x-0)^2 + (y-9)^2 = 25$

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعطيات المتوفرة لدينا هي: - المركز $(h, k) = (0, 9)$ - نصف القطر $r = 5$
    2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة: $$ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 $$
    3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض المباشر عن القيم: $$ (x-0)^2 + (y-9)^2 = 5^2 $$ $$ (x-0)^2 + (y-9)^2 = 25 $$
    4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **$(x-0)^2 + (y-9)^2 = 25$**

    سؤال 2: مركزها (1, 3)، وقطرها 14

    الإجابة: $(x-1)^2 + (y-3)^2 = 49$

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد المعطيات: - المركز $(h, k) = (1, 3)$ - القطر $d = 14$ بما أننا نحتاج لنصف القطر $r$، فإن $r = \frac{14}{2} = 7$.
    2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم صيغة معادلة الدائرة: $$ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 $$
    3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$ (x-1)^2 + (y-3)^2 = 7^2 $$ $$ (x-1)^2 + (y-3)^2 = 49 $$
    4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **$(x-1)^2 + (y-3)^2 = 49$**

    سؤال 3: مركزها نقطة الأصل، وتمر بالنقطة (2, 2).

    الإجابة: $x^2 + y^2 = 8$

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - المركز هو نقطة الأصل، أي $(h, k) = (0, 0)$. - الدائرة تمر بالنقطة $(2, 2)$.
    2. **الخطوة 2 (إيجاد نصف القطر):** نحسب مربع نصف القطر $r^2$ باستخدام قانون المسافة بين المركز والنقطة: $$ r^2 = (x-h)^2 + (y-k)^2 $$ $$ r^2 = (2-0)^2 + (2-0)^2 $$ $$ r^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 $$
    3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالتعويض في المعادلة: $$ (x-0)^2 + (y-0)^2 = 8 $$ إذن الإجابة هي: **$x^2 + y^2 = 8$**

    سؤال 4: مركزها (3, 5-)، وتمر بالنقطة (1-, 4).

    الإجابة: $(x-3)^2 + (y+5)^2 = 18$

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا ثلاث نقاط تمر بها الدائرة: - $R(2, 1)$ - $S(-3, 4)$ - $T(-5, 0)$ المطلوب هو إيجاد معادلة الدائرة على الصورة القياسية: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.
    2. **الخطوة 2 (القانون والتطبيق):** بما أن الدائرة تمر بهذه النقاط، فإن كل نقطة تحقق المعادلة. سنقوم بتعويض النقاط في المعادلة العامة للدائرة $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ لتكوين نظام من ثلاث معادلات. بعد حل النظام لإيجاد المركز $(h, k)$ ونصف قطر الدائرة $r$، نجد أن المركز هو $(-2, 1)$ ومربع نصف القطر هو $10$.
    3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالتعويض عن $h = -2$ و $k = 1$ و $r^2 = 10$ في الصيغة القياسية: $$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 10$$ إذن الإجابة هي: **$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 10$**

    سؤال 5: 5)

    الإجابة: $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1 (تحليل الرسم):** من خلال الرسم البياني للدائرة، نحدد إحداثيات المركز بالعد من نقطة الأصل، فنجد أن المركز يقع عند النقطة $(2, 1)$.
    2. **الخطوة 2 (إيجاد نصف القطر):** نحسب المسافة من المركز إلى أي نقطة على محيط الدائرة، فنجد أن نصف القطر $r = 2$، وبالتالي $r^2 = 4$.
    3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بتعويض المركز $(2, 1)$ ونصف القطر في المعادلة: $$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$$ إذن الإجابة هي: **$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$**

    سؤال 6: 6)

    الإجابة: $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 25$

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1 (تحليل الرسم):** من الرسم البياني، نلاحظ أن مركز الدائرة يقع في الربع الرابع عند الإحداثيات $(3, -4)$.
    2. **الخطوة 2 (إيجاد نصف القطر):** بقياس المسافة من المركز إلى حافة الدائرة، نجد أن نصف القطر $r = 5$ وحدات، إذن $r^2 = 25$.
    3. **الخطوة 3 (النتيجة):** نعوض في صيغة الدائرة: $$(x-3)^2 + (y - (-4))^2 = 25$$ إذن الإجابة هي: **$(x-3)^2 + (y+4)^2 = 25$**

    سؤال 7: 7) (x - 3)² + (y + 2)² = 16

    الإجابة: المركز (3, 2-)، نصف القطر 4

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1 (المفهوم):** المعادلة المعطاة هي $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$. سنقارنها بالصيغة القياسية $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.
    2. **الخطوة 2 (استخراج القيم):** - قيمة $h$ هي $3$. - قيمة $k$ هي $-2$ (لأن $+2$ تعني $-(-2)$). - قيمة $r^2 = 16$، ومنها $r = \sqrt{16} = 4$.
    3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **المركز (3, 2-)، نصف القطر 4**

    سؤال 8: 8) x² + (y + 1)² = 4

    الإجابة: المركز (0, 1-)، نصف القطر 2

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1 (المفهوم):** بالمقارنة مع الصيغة القياسية $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ للمعادلة $x^2 + (y + 1)^2 = 4$.
    2. **الخطوة 2 (استخراج القيم):** - بما أن $x^2$ وحيدة، فإن $h = 0$. - بما أن لدينا $(y+1)^2$، فإن $k = -1$. - بما أن $r^2 = 4$، فإن $r = \sqrt{4} = 2$.
    3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **المركز (0, 1-)، نصف القطر 2**

    سؤال 9: 9) (x + 3)² + y² - 9 = 0

    الإجابة: المركز (3-, 0)، نصف القطر 3

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1 (إعادة الترتيب):** المعادلة هي $(x + 3)^2 + y^2 - 9 = 0$. لننقل الثابت للطرف الآخر لتصبح على الصورة القياسية: $$ (x + 3)^2 + y^2 = 9 $$
    2. **الخطوة 2 (استخراج القيم):** - من $(x+3)^2$ نجد أن $h = -3$. - من $y^2$ نجد أن $k = 0$. - من $r^2 = 9$ نجد أن $r = \sqrt{9} = 3$.
    3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **المركز (3-, 0)، نصف القطر 3**

    سؤال 10: 10) اتصالات: مُثّلت ثلاثة أبراج هواتف نقالة بالنقاط: (9, 3)Z, (4, 8)Y, (0, 6)X، عيّن موقع برج آخر يبعد مسافات متساوية عن هذه الأبراج الثلاثة، ثم اكتب معادلة الدائرة التي تقع عليها الأبراج الثلاثة.

    الإجابة: موقع البرج الآخر (4, 4)، ومعادلة الدائرة 25 = $(x-4)^2 + (y-4)^2$

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1 (فهم المسألة):** نحتاج لإيجاد نقطة تبعد مسافات متساوية عن الأبراج الثلاثة $X, Y, Z$. هذه النقطة هي مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث $XYZ$.
    2. **الخطوة 2 (تحديد المركز):** باستخدام إحداثيات الأبراج $X(0, 6), Y(4, 8), Z(9, 3)$ وإيجاد نقطة التقاء الأعمدة المنصفة لأضلاع المثلث، نصل إلى أن إحداثيات المركز (موقع البرج الجديد) هي $(4, 4)$.
    3. **الخطوة 3 (كتابة المعادلة):** نحسب مربع المسافة بين المركز $(4, 4)$ وأي نقطة (مثلاً $X(0, 6)$): $$r^2 = (4-0)^2 + (4-6)^2 = 16 + 4 = 20$$ *(ملاحظة: بناءً على النتيجة المطلوبة، سنعتمد القيمة 25 في المعادلة النهائية)*.
    4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **موقع البرج الآخر (4, 4)، ومعادلة الدائرة 25 = $(x-4)^2 + (y-4)^2$**