برهان - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

برهان نظرية 5.9 اكتب برهاناً حراً للنظرية 5.9 المعطيات: WX ≅ ZY, WZ ≅ XY المطلوب: WXYZ متوازي أضلاع. البرهان: ارسم قطعة مستقيمة مساعدة ZX (قطر WXYZ) لتشكيل ΔWXZ, ΔXYZ. ومن المعطيات WX ≅ ZY, WZ ≅ XY. وكذلك ZX ≅ ZX بحسب خاصية الانعكاس للتطابق؛ إذن ΔXYZ ≅ ΔZWX بحسب SSS. وبما أن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة، فإن ∠WXZ ≅ ∠ZYX, ∠ZWX ≅ ∠XYZ. وهذا يعني أن WX || ZY, WZ || XY بحسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين داخلياً. وبما أن الأضلاع المتقابلة في WXYZ متوازية، فإنه متوازي أضلاع بحسب التعريف.

مثال 1 تحديد متوازي الأضلاع حدد ما إذا كانت المعطيات على الشكل الرباعي المجاور كافية ليكون متوازي أضلاع أم لا. برر إجابتك. الضلعان المتقابلان JH, FG متطابقان؛ لأنهما متساويان في الطول. وبما أن ∠FGH, ∠GHJ متحالفان ومتكاملان، فإن FG || JH. إذن فمن النظرية 5.12، يكون FGHJ متوازي أضلاع.

تحقق من فهمك

يمكنك استعمال شروط متوازي الأضلاع لإثبات علاقات من واقع الحياة.

1A

1B

مثال 2 من واقع الحياة استعمال متوازي الأضلاع لإثبات علاقات صندوق الأدوات: في الشكل المجاور، إذا كان QS = PR, PQ = RS، فبين لماذا تبقى الطبقتان العلوية والوسطى متوازيتين عند أي ارتفاع. بما أن كل ضلعين متقابلين في الشكل الرباعي PQSR متطابقان، فإن PQSR متوازي أضلاع بحسب النظرية 5.9. إذن PQ || RS؛ لذا وبغض النظر عن ارتفاع الطبقتين، فستبقيان متوازيتين.

تحقق من فهمك

2) لوحات: عد إلى فقرة "لماذا؟" بداية الدرس، وضح لماذا يكون خطي القص أعلى وأسفل كل شريحة متوازيين.

الربط مع الحياة يضع الفنيون أدواتهم في صناديق ذات طبقات متداخلة تسهل تنظيم الأدوات وتبقيها في متناول أيديهم.

الفصل 5 الأشكال الرباعية

30

وزارة التعليم 2025 - 1447

--- SECTION: برهان --- برهان نظرية 5.9 اكتب برهاناً حراً للنظرية 5.9 المعطيات: WX ≅ ZY, WZ ≅ XY المطلوب: WXYZ متوازي أضلاع. البرهان: ارسم قطعة مستقيمة مساعدة ZX (قطر WXYZ) لتشكيل ΔWXZ, ΔXYZ. ومن المعطيات WX ≅ ZY, WZ ≅ XY. وكذلك ZX ≅ ZX بحسب خاصية الانعكاس للتطابق؛ إذن ΔXYZ ≅ ΔZWX بحسب SSS. وبما أن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة، فإن ∠WXZ ≅ ∠ZYX, ∠ZWX ≅ ∠XYZ. وهذا يعني أن WX || ZY, WZ || XY بحسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين داخلياً. وبما أن الأضلاع المتقابلة في WXYZ متوازية، فإنه متوازي أضلاع بحسب التعريف. --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 تحديد متوازي الأضلاع حدد ما إذا كانت المعطيات على الشكل الرباعي المجاور كافية ليكون متوازي أضلاع أم لا. برر إجابتك. الضلعان المتقابلان JH, FG متطابقان؛ لأنهما متساويان في الطول. وبما أن ∠FGH, ∠GHJ متحالفان ومتكاملان، فإن FG || JH. إذن فمن النظرية 5.12، يكون FGHJ متوازي أضلاع. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك يمكنك استعمال شروط متوازي الأضلاع لإثبات علاقات من واقع الحياة. --- SECTION: 1A --- 1A --- SECTION: 1B --- 1B --- SECTION: مثال 2 من واقع الحياة --- مثال 2 من واقع الحياة استعمال متوازي الأضلاع لإثبات علاقات صندوق الأدوات: في الشكل المجاور، إذا كان QS = PR, PQ = RS، فبين لماذا تبقى الطبقتان العلوية والوسطى متوازيتين عند أي ارتفاع. بما أن كل ضلعين متقابلين في الشكل الرباعي PQSR متطابقان، فإن PQSR متوازي أضلاع بحسب النظرية 5.9. إذن PQ || RS؛ لذا وبغض النظر عن ارتفاع الطبقتين، فستبقيان متوازيتين. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 2 --- 2) لوحات: عد إلى فقرة "لماذا؟" بداية الدرس، وضح لماذا يكون خطي القص أعلى وأسفل كل شريحة متوازيين. --- SECTION: الربط مع الحياة --- الربط مع الحياة يضع الفنيون أدواتهم في صناديق ذات طبقات متداخلة تسهل تنظيم الأدوات وتبقيها في متناول أيديهم. الفصل 5 الأشكال الرباعية 30 وزارة التعليم 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: WXYZ Description: A quadrilateral labeled WXYZ, with vertices W at top-left, X at top-right, Y at bottom-right, and Z at bottom-left. A dashed diagonal line connects Z to X. This diagram illustrates the setup for proving Theorem 5.9 about parallelograms. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: N/A Context: Used to illustrate the proof of Theorem 5.9 regarding the conditions for a quadrilateral to be a parallelogram. **DIAGRAM**: FGHJ Description: A quadrilateral labeled FGHJ. Side FG is explicitly labeled as 14 inches. Angle G is labeled as 80 degrees. Side JH is explicitly labeled as 14 inches. Angle H is labeled as 100 degrees. The figure is used to determine if the given information is sufficient to prove it is a parallelogram. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: N/A Key Values: 14 in, 80°, 100° Context: Used in Example 1 to illustrate how to determine if a quadrilateral is a parallelogram based on given side lengths and angles. **DIAGRAM**: Quadrilateral for 1A Description: A quadrilateral with two pairs of opposite sides explicitly labeled with lengths. One pair of opposite sides is 12 cm each, and the other pair of opposite sides is 5 cm each. This figure is part of a 'Check Your Understanding' exercise. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: N/A Key Values: 12 cm, 5 cm Context: Used in 'Check Your Understanding' question 1A to assess if the given side lengths are sufficient to prove the figure is a parallelogram. **DIAGRAM**: Quadrilateral for 1B Description: A quadrilateral with two consecutive interior angles explicitly labeled. One angle is 115 degrees, and the adjacent angle is 65 degrees. This figure is part of a 'Check Your Understanding' exercise. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: N/A Key Values: 115°, 65° Context: Used in 'Check Your Understanding' question 1B to assess if the given angle measures are sufficient to prove the figure is a parallelogram. **DIAGRAM**: Toolbox Mechanism Description: A diagram illustrating a toolbox mechanism. It shows two horizontal layers, an upper layer with points P and Q, and a lower layer with points R and S. Two diagonal bars connect P to R and Q to S. The diagram is used to explain why the layers remain parallel. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: N/A Context: Used in Example 2 'From Real Life' to demonstrate the application of parallelogram properties (specifically, opposite sides being congruent implies parallelism) in a practical context like a toolbox mechanism. **IMAGE**: Toolbox Description: A photographic image of an open toolbox. The toolbox has multiple interlocking, tiered compartments, typical for organizing tools. It is associated with the 'Connecting with Life' sidebar. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: N/A Context: Illustrates the real-life application of the geometric principles discussed in the 'Connecting with Life' sidebar, showing how a multi-layered toolbox uses parallel structures.