الخطوة 2 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 5: اكتب برهانًا إحداثيًا للعبارة الآتية: إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع فإن أضلاعه المتقابلة متطابقة.

الإجابة: س:5: لنفرض أن ABCD متوازي أضلاع. نضعه على المستوى الإحداثي: $A(0,0), B(a,0), D(b,c) \Rightarrow C(a+b,c)$. باستعمال المسافة: $AB=a, DC=a \Rightarrow AB \cong DC$ $AD=\sqrt{b^2+c^2}, BC=\sqrt{b^2+c^2} \Rightarrow AD \cong BC$ إذن الأضلاع المتقابلة متطابقة.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنفترض أن لدينا متوازي أضلاع ABCD. لتبسيط البرهان الإحداثي، نضع أحد رؤوسه عند نقطة الأصل. إذن، يمكننا تحديد إحداثيات الرؤوس كالتالي: $A(0,0)$, $B(a,0)$. بما أن AD يوازي BC و AB يوازي DC، يمكننا تحديد إحداثيات D و C. لنفرض أن $D(b,c)$. بما أن AB يوازي DC ولهما نفس الطول (في متوازي الأضلاع)، فإن إحداثيات C ستكون $C(a+b,c)$.
2. **الخطوة 2 (القانون):** لإثبات تطابق الأضلاع المتقابلة، سنستخدم قانون المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي، والذي ينص على أن المسافة $d$ بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هي: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب أطوال الأضلاع المتقابلة: طول الضلع AB: $AB = \sqrt{(a-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{a^2} = a$ طول الضلع DC: $DC = \sqrt{((a+b)-b)^2 + (c-c)^2} = \sqrt{a^2} = a$ إذن، $AB = DC$. طول الضلع AD: $AD = \sqrt{(b-0)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{b^2 + c^2}$ طول الضلع BC: $BC = \sqrt{((a+b)-a)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{b^2 + c^2}$ إذن، $AD = BC$.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بما أننا أثبتنا أن $AB = DC$ و $AD = BC$، فهذا يعني أن الأضلاع المتقابلة متطابقة. إذن، العبارة صحيحة: **إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع فإن أضلاعه المتقابلة متطابقة**.

سؤال 1: حدد ما إذا كان كل شكل رباعي فيما يأتي متوازي أضلاع أم لا. برر إجابتك. (1

الإجابة: س:1: نعم، متوازي أضلاع؛ لأن الزوايا المتقابلة متطابقة (كما في الشكل).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر إحدى خصائص متوازي الأضلاع الأساسية، وهي أن كل زاويتين متقابلتين فيه تكونان متطابقتين.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بالنظر إلى الشكل المعطى، نلاحظ أن الزوايا المتقابلة فيه متطابقة (على سبيل المثال، إذا كانت الزاوية العلوية اليسرى تساوي 110 درجات، فإن الزاوية السفلية اليمنى المقابلة لها تساوي 110 درجات، وهكذا).
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن هذا الشرط (تطابق الزوايا المتقابلة) متحقق في الشكل، فإن الشكل الرباعي هو **متوازي أضلاع**.

سؤال 2: حدد ما إذا كان كل شكل رباعي فيما يأتي متوازي أضلاع أم لا. برر إجابتك. (2

الإجابة: س:2: لا، ليس متوازي أضلاع؛ لأن القطرين لا ينصف أحدهما الآخر ($4.9 \neq 5.1$).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر خاصية أخرى مهمة لمتوازي الأضلاع تتعلق بأقطاره: في متوازي الأضلاع، ينصف كل قطر الآخر. هذا يعني أن نقطة تقاطع القطرين تقسم كل قطر إلى جزأين متساويين في الطول.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بالنظر إلى الشكل المعطى، نلاحظ أن أحد القطرين مقسم إلى جزأين بطول 4.9 والآخر مقسم إلى جزأين بطول 5.1. بما أن $4.9 \neq 5.1$، فإن القطرين لا ينصف أحدهما الآخر.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن شرط تنصيف القطرين لبعضهما البعض غير متحقق، فإن الشكل الرباعي **ليس متوازي أضلاع**.

سؤال 3: نجارة: صنع نجار درابزينًا للدرج يتكون من عمودين رأسيين؛ الأول مثبت فوق الدرجة الأولى، والثاني مثبت فوق الدرجة الأخيرة، ويصل بينهما قاطعان خشبيان كما في الشكل المجاور. كيف يمكن للنجار التحقق من أن القاطعين الخشبيين العرضيين متوازيان، وذلك بأقل عدد من مرات القياس، إذا علمت بأن الدرجتين الأولى والأخيرة مستويتان مع الأرض.

الإجابة: س:3: يقيس المسافة بين القاطعين الخشبيين، فإذا تساوت المسافتان، وبما أن العمودين متوازيان، يكون الشكل متوازي أضلاع، وبالتالي القاطعان العرضيان متوازيان.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** للتأكد من أن القاطعين الخشبيين العرضيين متوازيان، يمكن للنجار الاستفادة من خصائص متوازي الأضلاع أو من مفهوم المسافة بين مستقيمين متوازيين. إذا كانت المسافة العمودية بين مستقيمين ثابتة، فإنهما متوازيان.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن العمودين الرأسيين مثبتان فوق درجتين مستويتين مع الأرض، فإنهما متوازيان (عموديان على نفس المستوى الأفقي). إذا قام النجار بقياس المسافة بين القاطعين الخشبيين العرضيين عند نقطتين مختلفتين (على طول العمودين الرأسيين)، وتساوت هاتان المسافتان، فإن الشكل الرباعي المتكون من العمودين والقاطعين سيكون متوازي أضلاع.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن، يمكن للنجار التحقق من توازي القاطعين الخشبيين العرضيين بأقل عدد من القياسات عن طريق **قياس المسافة بين القاطعين عند نقطتين مختلفتين على طول العمودين الرأسيين. إذا تساوت هاتان المسافتان، فإن القاطعين متوازيان**.

ما الشرط الكافي لإثبات أن شكلًا رباعيًا هو متوازي أضلاع باستخدام البرهان الإحداثي، إذا علمت أن أحد أضلاعه المتقابلة متوازٍ ومتطابق مع الآخر؟

• أ) إثبات أن جميع أضلاعه متطابقة.
• ب) إثبات أن أقطاره متعامدة.
• ج) إثبات أن الضلعين الآخرين المتقابلين متوازيان (أي لهما نفس الميل).
• د) إثبات أن قياس إحدى زواياه 90 درجة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إثبات أن الضلعين الآخرين المتقابلين متوازيان (أي لهما نفس الميل).

الشرح: 1. المعطيات: في الشكل الرباعي ABCD، DC || AB و DC ≅ AB. 2. لإثبات أنه متوازي أضلاع، يجب إثبات أن AD || BC. 3. باستخدام صيغة الميل: ميل AD = (c-0)/(b-0) = c/b. 4. ميل BC = (c-0)/((b+a)-a) = c/b. 5. بما أن ميل AD = ميل BC، فإن AD || BC. 6. النتيجة: الشكل الرباعي ABCD متوازي أضلاع.

تلميح: فكر في تعريف متوازي الأضلاع: كل ضلعين متقابلين متوازيان.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أي مما يلي يمثل خاصية من خصائص متوازي الأضلاع يمكن استخدامها للتحقق مما إذا كان شكل رباعي معين هو متوازي أضلاع أم لا؟

• أ) أن جميع زواياه قائمة.
• ب) أن أضلاعه المتقابلة متطابقة.
• ج) أن أقطاره غير متقاطعة.
• د) أن له ثلاثة أضلاع فقط.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أن أضلاعه المتقابلة متطابقة.

الشرح: 1. من خصائص متوازي الأضلاع: كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتطابقان. 2. إذا أردنا التحقق من أن شكلًا رباعيًا هو متوازي أضلاع، يمكننا فحص تطابق أضلاعه المتقابلة. 3. في الشكل 2 من المثال، الأضلاع المتقابلة ليست متطابقة (5.1 ≠ 5 و 5 ≠ 4.9). 4. النتيجة: خاصية 'تطابق الأضلاع المتقابلة' هي إحدى الخصائص المستخدمة للتحقق.

تلميح: تذكر خصائص متوازي الأضلاع المتعلقة بالأضلاع والأقطار.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

في برهان إحداثي، إذا أردنا إثبات أن الضلعين AD و BC في الشكل الرباعي ABCD متوازيان، فما الخطوة الرياضية الأساسية التي نتبعها؟

• أ) قياس طول كل منهما ومقارنة الأطوال.
• ب) حساب ميل كل من AD و BC ومقارنتهما.
• ج) إيجاد نقطة تقاطعهما.
• د) رسم دائرة تمر بنهاياتهما.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: حساب ميل كل من AD و BC ومقارنتهما.

الشرح: 1. في المستوى الإحداثي، يكون الخطان متوازيين إذا كان لهما الميل نفسه. 2. لحساب ميل قطعة مستقيمة بين نقطتين (x1,y1) و (x2,y2)، نستخدم الصيغة: (y2 - y1) / (x2 - x1). 3. في البرهان المعطى: ميل AD = (c-0)/(b-0) = c/b. 4. ميل BC = (c-0)/((b+a)-a) = c/b. 5. النتيجة: بما أن الميلين متساويان، فإن AD || BC.

تلميح: التوازي في المستوى الإحداثي يرتبط بمفهوم رياضي محدد.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الخطوة الأولى في إنشاء متوازي أضلاع باستخدام الفرجار والمسطرة، إذا علمت طولي ضلعين متتاليين؟

• أ) رسم القطرين.
• ب) رسم الضلع الأول (AB) باستخدام المسطرة.
• ج) قياس الزوايا.
• د) تحديد مركز الشكل.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: رسم الضلع الأول (AB) باستخدام المسطرة.

الشرح: 1. الخطوة 1: استعمل المسطرة لرسم الضلع الأول AB بالطول المطلوب. 2. الخطوة 2: باستخدام الفرجار، ارسم قوسًا من النقطة A و قوسًا من النقطة B بنفس الفتحة (تمثل طول الضلع الثاني). 3. الخطوة 3: اختر نقطة D على القوس المرسوم من A. 4. الخطوة 4: باستخدام الفرجار بفتحة تساوي طول AB، ارسم من D قوسًا يقطع القوس من B، لتحديد النقطة C. 5. الخطوة 5: صل النقاط A, D, C, B لتكملة متوازي الأضلاع.

تلميح: الإنشاء يبدأ برسم أحد الأضلاع المعطاة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل