قراءة الرياضيات

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 القطعة المتوسطة لشبه المنحرف

المفاهيم الأساسية

القطعة المتوسطة لشبه المنحرف: قطعة مستقيمة تصل بين منتصفي ساقيه. وتسمى أيضًا القطعة المنصفة.

رمز التوازي: الرمز `||` يعني يوازي، والرمز `≯` يعني لا يوازي.

خريطة المفاهيم

```markmap

شبه المنحرف وشكل الطائرة الورقية

خصائص شبه المنحرف

التعريف

شكل رباعي
ضلعان متوازيان فقط (القاعدتان)
ضلعان غير متوازيين (الساقان)

شبه المنحرف المتطابق الساقين

ساقاه متطابقتان

نظريات شبه المنحرف المتطابق الساقين

النظرية 5.21

إذا كان متطابق الساقين ← زاويتا كل قاعدة متطابقتان

النظرية 5.22

إذا كانت زاويتا قاعدة متطابقتين ← متطابق الساقين

النظرية 5.23

متطابق الساقين ←→ قطراه متطابقان

برهان (جزء من النظرية 5.23)

الحالة الأولى

المعطيات: ABCD شبه منحرف متطابق الساقين
المطلوب: AC ≅ BD
خطوات البرهان (معطاة)

شكل الطائرة الورقية

ذكر اسمه فقط

استعمال الخصائص

في المسائل الهندسية

إيجاد قياسات الزوايا (باستخدام نظرية الزاويتين المتحالفتين)
إيجاد أطوال الأضلاع (باستخدام تطابق القطرين ومسلمة جمع القطع)

في الهندسة الإحداثية

تحديد إذا ما كان الشكل الرباعي شبه منحرف متطابق الساقين
مقارنة ميول الأضلاع المتقابلة

القطعة المتوسطة لشبه المنحرف

التعريف

قطعة تصل بين منتصفي ساقي شبه المنحرف
تسمى أيضًا القطعة المنصفة

نظرية 5.24

القطعة المتوسطة لشبه المنحرف:

- توازي كلاً من القاعدتين

- طولها = نصف مجموع طولي القاعدتين

```

نقاط مهمة

لتحديد إذا ما كان شكل رباعي شبه منحرف في المستوى الإحداثي، نقارن ميول الأضلاع المتقابلة. إذا كان ميل ضلعين متقابلين فقط متساويين، فهو شبه منحرف.
لتحديد إذا ما كان شبه المنحرف متطابق الساقين، نقارن أطوال ساقيه باستخدام صيغة المسافة.
نظرية القطعة المتوسطة (5.24): إذا كانت `BE` قطعة متوسطة لشبه المنحرف `ACDF`، فإن:

- `BE || AF || CD`

- `BE = ½ (AF + CD)`

سيتم برهان النظرية 5.24 في سؤال لاحق (السؤال 25).

---

حل مثال

المثال 1 (الميل والمسافة):

الهدف: تحديد نوع الشكل الرباعي ABCD وإذا ما كان متطابق الساقين.

الإحداثيات: A(-3, 4), B(2, 5), C(3, 3), D(-1, 0)

الخطوة 1: التحقق من التوازي (شبه منحرف أم لا)

ميل BC = (3-5)/(3-2) = -2
ميل AD = (0-4)/(-1-(-3)) = -4/2 = -2
إذن: BC || AD
ميل AB = (5-4)/(2-(-3)) = 1/5
ميل DC = (0-3)/(-1-3) = -3/-4 = 3/4
إذن: AB لا يوازي DC (AB ≯ DC)
النتيجة: الشكل ABCD فيه ضلعان فقط متوازيان (BC و AD)، لذلك هو شبه منحرف.

الخطوة 2: التحقق من تطابق الساقين

طول الساق AB = √((-3-2)² + (4-5)²) = √(25 + 1) = √26
طول الساق DC = √((-1-3)² + (0-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5
بما أن √26 ≠ 5، فإن AB ≠ DC.
النتيجة: شبه المنحرف ABCD ليس متطابق الساقين.

---

تحقق من فهمك

السؤال 2:

المعطيات: رؤوس الشكل الرباعي QRST هي Q(-8, -4), R(0, 8), S(6, 8), T(-6, -10).

المطلوب: بين أن QRST شبه منحرف، وحدد ما إذا كان متطابق الساقين.

الحل:

حساب الميول لتحديد الأضلاع المتوازية:

- ميل QR = (8 - (-4)) / (0 - (-8)) = 12 / 8 = 3/2

- ميل TS = (-10 - 8) / (-6 - 6) = (-18) / (-12) = 3/2

- إذن: QR || TS

- ميل RS = (8 - 8) / (6 - 0) = 0 / 6 = 0

- ميل QT = (-10 - (-4)) / (-6 - (-8)) = (-6) / 2 = -3

- إذن: RS لا يوازي QT

- الاستنتاج: QRST فيه ضلعان متوازيان فقط (QR و TS)، لذلك هو شبه منحرف.

حساب أطوال الساقين لتحديد إذا كان متطابق الساقين:

- طول الساق RS = √((6-0)² + (8-8)²) = √(36 + 0) = √36 = 6

- طول الساق QT = √((-6 - (-8))² + (-10 - (-4))²) = √((2)² + (-6)²) = √(4 + 36) = √40 = 2√10 ≈ 6.32

- بما أن 6 ≠ 2√10، فإن RS ≠ QT.

- الاستنتاج: شبه المنحرف QRST ليس متطابق الساقين.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: METADATA

الفصل 5 الأشكال الرباعية

نوع: METADATA

54

نوع: محتوى تعليمي

رمز التوازي، تذكر أن الرمز || يعني يوازي، والرمز ≯ يعني لا يوازي.

Example 1 (Slopes)

نوع: محتوى تعليمي

الضلعان المتقابلان: BC, AD
ميل BC = (3-5)/(3-2) = -2/1 = -2
ميل AD = (0-4)/(-1-(-3)) = -4/2 = -2
بما أن ميلي AD, BC متساويان، فإن BC || AD.
الضلعان المتقابلان: AB, DC
ميل AB = (5-4)/(2-(-3)) = 1/5
ميل DC = (0-3)/(-1-3) = -3/-4 = 3/4
بما أن ميلي AB و DC ليسا متساويين، فإن AB ≯ DC. وبما أن ABCD فيه ضلعان فقط متوازيان، فإنه شبه منحرف.

الخطوة 2

نوع: محتوى تعليمي

الخطوة 2: استعمل صيغة المسافة بين نقطتين للمقارنة بين طولي الساقين AB, DC وتحديد ما إذا كان شبه المنحرف ABCD متطابق الساقين.

Example 1 (Distance Formula)

نوع: محتوى تعليمي

AB = √((-3-2)² + (4-5)²) = √( (-5)² + (-1)² ) = √(25 + 1) = √26
DC = √((-1-3)² + (0-3)²) = √( (-4)² + (-3)² ) = √(16 + 9) = √25 = 5
بما أن AB ≠ DC، فإن شبه المنحرف ABCD ليس متطابق الساقين.

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

رؤوس الشكل الرباعي QRST هي Q(-8, -4), R(0, 8), S(6, 8), T(-6, -10). بين أن QRST شبه منحرف، وحدد ما إذا كان متطابق الساقين. ووضح إجابتك.

القطعة المتوسطة لشبه المنحرف

نوع: محتوى تعليمي

القطعة المتوسطة لشبه المنحرف هي قطعة مستقيمة تصل بين منتصفي ساقيه. وتبين النظرية الآتية العلاقة بين القطعة المتوسطة وقاعدتي شبه المنحرف.

قراءة الرياضيات

نوع: محتوى تعليمي

القطعة المتوسطة: تسمى القطعة المتوسطة لشبه المنحرف أيضًا القطعة المنصفة.

نظرية 5.24 نظرية القطعة المتوسطة لشبه المنحرف

نوع: محتوى تعليمي

القطعة المتوسطة لشبه المنحرف توازي كلاً من القاعدتين، وطولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين.

مثال (Theorem 5.24 Application)

نوع: محتوى تعليمي

مثال: إذا كانت BE قطعة متوسطة لشبه المنحرف ACDF، فإن BE || AF || CD، و BE = ½ (AF + CD).

أضف إلى مطويتك

نوع: محتوى تعليمي

أضف إلى مطويتك

نوع: FIGURE_REFERENCE

سوف تبرهن النظرية 5.24 في السؤال 25.

نوع: METADATA

وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

A quadrilateral ABCD plotted on a Cartesian coordinate plane. The x-axis ranges from -4 to 4, and the y-axis ranges from -1 to 6. The origin (0,0) is labeled 'O'.

القطعة المتوسطة

A generic trapezoid with its two parallel bases (top and bottom) and two non-parallel legs (sides). A red line segment is drawn horizontally, connecting the midpoints of the two non-parallel legs. This red segment is labeled 'القطعة المتوسطة'.

A trapezoid labeled ACDF. AF and CD are the parallel bases, and AC and FD are the legs. BE is a vertical line segment connecting the midpoints of the legs AC and FD. B is the midpoint of AC (indicated by double tick marks on AB and BC). E is the midpoint of FD (indicated by double tick marks on FE and ED). Arrows on AF, BE, and CD indicate that these three segments are parallel.

📄 النص الكامل للصفحة

الفصل 5 الأشكال الرباعية

54

--- SECTION: قراءة الرياضيات ---
رمز التوازي، تذكر أن الرمز || يعني يوازي، والرمز ≯ يعني لا يوازي.

--- SECTION: Example 1 (Slopes) ---
الضلعان المتقابلان: BC, AD
ميل BC = (3-5)/(3-2) = -2/1 = -2
ميل AD = (0-4)/(-1-(-3)) = -4/2 = -2
بما أن ميلي AD, BC متساويان، فإن BC || AD.
الضلعان المتقابلان: AB, DC
ميل AB = (5-4)/(2-(-3)) = 1/5
ميل DC = (0-3)/(-1-3) = -3/-4 = 3/4
بما أن ميلي AB و DC ليسا متساويين، فإن AB ≯ DC. وبما أن ABCD فيه ضلعان فقط متوازيان، فإنه شبه منحرف.

--- SECTION: الخطوة 2 ---
الخطوة 2: استعمل صيغة المسافة بين نقطتين للمقارنة بين طولي الساقين AB, DC وتحديد ما إذا كان شبه المنحرف ABCD متطابق الساقين.

--- SECTION: Example 1 (Distance Formula) ---
AB = √((-3-2)² + (4-5)²) = √( (-5)² + (-1)² ) = √(25 + 1) = √26
DC = √((-1-3)² + (0-3)²) = √( (-4)² + (-3)² ) = √(16 + 9) = √25 = 5
بما أن AB ≠ DC، فإن شبه المنحرف ABCD ليس متطابق الساقين.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك

--- SECTION: 2 ---
رؤوس الشكل الرباعي QRST هي Q(-8, -4), R(0, 8), S(6, 8), T(-6, -10). بين أن QRST شبه منحرف، وحدد ما إذا كان متطابق الساقين. ووضح إجابتك.

--- SECTION: القطعة المتوسطة لشبه المنحرف ---
القطعة المتوسطة لشبه المنحرف هي قطعة مستقيمة تصل بين منتصفي ساقيه. وتبين النظرية الآتية العلاقة بين القطعة المتوسطة وقاعدتي شبه المنحرف.

--- SECTION: قراءة الرياضيات ---
القطعة المتوسطة: تسمى القطعة المتوسطة لشبه المنحرف أيضًا القطعة المنصفة.

--- SECTION: نظرية 5.24 نظرية القطعة المتوسطة لشبه المنحرف ---
القطعة المتوسطة لشبه المنحرف توازي كلاً من القاعدتين، وطولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين.

--- SECTION: مثال (Theorem 5.24 Application) ---
مثال: إذا كانت BE قطعة متوسطة لشبه المنحرف ACDF، فإن BE || AF || CD، و BE = ½ (AF + CD).

--- SECTION: أضف إلى مطويتك ---
أضف إلى مطويتك

سوف تبرهن النظرية 5.24 في السؤال 25.

وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447

--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Untitled
Description: A quadrilateral ABCD plotted on a Cartesian coordinate plane. The x-axis ranges from -4 to 4, and the y-axis ranges from -1 to 6. The origin (0,0) is labeled 'O'.
X-axis: x
Y-axis: y
Context: Used to demonstrate calculation of slopes and distances of sides of a quadrilateral to determine if it is a trapezoid and if it is isosceles.

**DIAGRAM**: القطعة المتوسطة
Description: A generic trapezoid with its two parallel bases (top and bottom) and two non-parallel legs (sides). A red line segment is drawn horizontally, connecting the midpoints of the two non-parallel legs. This red segment is labeled 'القطعة المتوسطة'.
Context: Illustrates the definition of the midsegment of a trapezoid.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A trapezoid labeled ACDF. AF and CD are the parallel bases, and AC and FD are the legs. BE is a vertical line segment connecting the midpoints of the legs AC and FD. B is the midpoint of AC (indicated by double tick marks on AB and BC). E is the midpoint of FD (indicated by double tick marks on FE and ED). Arrows on AF, BE, and CD indicate that these three segments are parallel.
Context: Illustrates Theorem 5.24, showing that the midsegment BE of trapezoid ACDF is parallel to its bases AF and CD, and its length is half the sum of the lengths of the bases.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 2: رؤوس الشكل الرباعي QRST هي Q(-8, -4), R(0, 8), S(6, 8), T(-6, -10). بين أن QRST شبه منحرف، وحدد ما إذا كان متطابق الساقين. ووضح إجابتك.

الإجابة: 2 الميول: $m_{QR} = \frac{3}{2}, m_{ST} = \frac{3}{2} \Rightarrow QR \parallel ST$ $m_{RS} = 0, m_{TQ} = -3$ إذن الشكل شبه منحرف. المسافة: $RS = 6, TQ = \sqrt{40}$ بما أن $RS \neq TQ$ فإن شبه المنحرف ليس متطابق الساقين.

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي QRST: Q(-8, -4), R(0, 8), S(6, 8), T(-6, -10). - المطلوب: إثبات أن الشكل شبه منحرف، ثم تحديد ما إذا كان متطابق الساقين.
**الخطوة 2 (الفكرة):** نتذكر تعريف شبه المنحرف: هو شكل رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان على الأقل. لإثبات التوازي، نحسب ميل كل ضلع. ميل الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هو: $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ إذا كان ميلا ضلعين متقابلين متساويين، فهما متوازيان. بعد إثبات أنه شبه منحرف، نتحقق مما إذا كان متطابق الساقين. شبه المنحرف متطابق الساقين هو الذي فيه الضلعان غير المتوازيين (الساقان) متساويان في الطول. لحساب طول قطعة مستقيمة بين نقطتين، نستخدم قانون المسافة: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
**الخطوة 3 (حساب الميل):** لنحسب ميل كل ضلع: 1. ميل الضلع QR: $$m_{QR} = \frac{8 - (-4)}{0 - (-8)} = \frac{8 + 4}{0 + 8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$ 2. ميل الضلع RS: $$m_{RS} = \frac{8 - 8}{6 - 0} = \frac{0}{6} = 0$$ 3. ميل الضلع ST: $$m_{ST} = \frac{-10 - 8}{-6 - 6} = \frac{-18}{-12} = \frac{3}{2}$$ 4. ميل الضلع TQ: $$m_{TQ} = \frac{-4 - (-10)}{-8 - (-6)} = \frac{-4 + 10}{-8 + 6} = \frac{6}{-2} = -3$$ نلاحظ أن: $$m_{QR} = \frac{3}{2} \quad \text{و} \quad m_{ST} = \frac{3}{2}$$ إذن، $QR \parallel ST$ (الضلعان متوازيان). بما أن الشكل الرباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان (QR و ST)، فهو شبه منحرف.
**الخطوة 4 (التحقق من تطابق الساقين):** الضلعان غير المتوازيان هما RS و TQ (الساقان). لنحسب طول كل منهما: 1. طول الضلع RS: $$RS = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 8)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$$ 2. طول الضلع TQ: $$TQ = \sqrt{(-8 - (-6))^2 + (-4 - (-10))^2} = \sqrt{(-8 + 6)^2 + (-4 + 10)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$$ نلاحظ أن: $$RS = 6 \quad \text{و} \quad TQ = \sqrt{40}$$ بما أن $6 \neq \sqrt{40}$، فإن الضلعين غير المتوازيين غير متساويين في الطول. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن: - الشكل الرباعي QRST هو **شبه منحرف** لأن فيه ضلعان متقابلان متوازيان (QR و ST). - شبه المنحرف هذا **ليس متطابق الساقين** لأن ساقيه (RS و TQ) غير متساويتين في الطول.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما الشرط الأساسي لإثبات أن شكلًا رباعيًا هو شبه منحرف باستخدام الإحداثيات؟

أ) أن تكون أطوال أضلاعه الأربعة متساوية.
ب) أن تكون زواياه الأربع قائمة.
ج) أن يكون ميلا ضلعين متقابلين على الأقل متساويين، مما يدل على أنهما متوازيان.
د) أن يكون مجموع زواياه الداخلية 360 درجة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أن يكون ميلا ضلعين متقابلين على الأقل متساويين، مما يدل على أنهما متوازيان.

الشرح: 1. شبه المنحرف هو شكل رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان على الأقل. 2. ميل الخط المستقيم بين نقطتين (x₁, y₁) و (x₂, y₂) هو (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). 3. إذا تساوى ميلا ضلعين متقابلين، فهما متوازيان، وبالتالي يكون الشكل شبه منحرف.

تلميح: فكر في الخاصية الهندسية التي تميز شبه المنحرف عن بقية الأشكال الرباعية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

كيف نحدد ما إذا كان شبه المنحرف متطابق الساقين باستخدام إحداثيات رؤوسه؟

أ) نحسب ميل جميع أضلاعه، فإذا تساوت ميلان فقط، فهو متطابق الساقين.
ب) نحسب أطوال الضلعين المتوازيين، فإذا تساويا، فهو متطابق الساقين.
ج) نحسب أطوال الضلعين غير المتوازيين (الساقين) باستخدام قانون المسافة. إذا تساويا في الطول، فهو متطابق الساقين.
د) نحسب قياس زواياه القائمة، فإذا كان له زاويتان قائمتان، فهو متطابق الساقين.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نحسب أطوال الضلعين غير المتوازيين (الساقين) باستخدام قانون المسافة. إذا تساويا في الطول، فهو متطابق الساقين.

الشرح: 1. شبه المنحرف متطابق الساقين هو الذي يكون فيه الضلعان غير المتوازيان متساويين في الطول. 2. قانون المسافة بين نقطتين (x₁, y₁) و (x₂, y₂) هو √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]. 3. نطبق القانون على إحداثيات طرفي كل ساق ونقارن النتائج.

تلميح: تذكر أن الساقين في شبه المنحرف هما الضلعان غير المتوازيين.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما تعريف القطعة المتوسطة (المنصفة) لشبه المنحرف؟

أ) هي قطعة مستقيمة تصل بين منتصفي قاعدتي شبه المنحرف.
ب) هي قطعة مستقيمة تصل بين منتصفي ساقي شبه المنحرف.
ج) هي قطعة مستقيمة تصل بين رأس شبه المنحرف ومنتصف القاعدة المقابلة.
د) هي قطعة مستقيمة تصل بين نقطتي تقاطع أقطار شبه المنحرف.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هي قطعة مستقيمة تصل بين منتصفي ساقي شبه المنحرف.

الشرح: القطعة المتوسطة لشبه المنحرف تُعرّف هندسيًا بأنها القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتي منتصف ضلعيه غير المتوازيين، واللذين يُسميان ساقي شبه المنحرف.

تلميح: ركز على النقاط التي تربطها هذه القطعة.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما نص نظرية القطعة المتوسطة لشبه المنحرف؟

أ) القطعة المتوسطة لشبه المنحرف توازي ساقيه، وطولها يساوي نصف طول القاعدة الكبرى.
ب) القطعة المتوسطة لشبه المنحرف توازي كلاً من القاعدتين، وطولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين.
ج) القطعة المتوسطة لشبه المنحرف تنصف زوايا القاعدة، وطولها يساوي متوسط طول الساقين.
د) القطعة المتوسطة لشبه المنحرف عمودية على القاعدتين، وطولها يساوي طول الساق.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: القطعة المتوسطة لشبه المنحرف توازي كلاً من القاعدتين، وطولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين.

الشرح: تنص النظرية على خاصيتين مترابطتين للقطعة المتوسطة في شبه المنحرف: 1. علاقة التوازي: تكون موازية للقاعدتين المتوازيتين. 2. علاقة الطول: طولها يساوي نصف حاصل جمع طولي القاعدتين (الضلعين المتوازيين).

تلميح: تتعلق النظرية بخواصين: اتجاه القطعة المتوسطة وطولها.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كانت BE هي القطعة المتوسطة لشبه المنحرف ACDF حيث AF و CD هما القاعدتان، فأي العلاقات التالية صحيحة؟

أ) BE = AF + CD
ب) BE = ½ (AC + FD)
ج) BE = ½ (AF + CD)
د) BE = AF - CD

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: BE = ½ (AF + CD)

الشرح: وفقًا لنظرية القطعة المتوسطة لشبه المنحرف، فإن طول القطعة المتوسطة (BE) يساوي نصف مجموع أطوال القاعدتين المتوازيتين (AF و CD). أي: الطول = (طول القاعدة الأولى + طول القاعدة الثانية) ÷ ٢.

تلميح: تذكر العلاقة بين طول القطعة المتوسطة وأطوال القاعدتين.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: صعب