مثال 6 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 33: جبر: في المعين ABCD، إذا كان AB = 12 و EB = 9، و m∠ABD = 55°، فأوجد كلاً مما يأتي: AE

الإجابة: AE = 3 $\sqrt{7}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** في المعين $ABCD$، نعلم أن الأقطار متعامدة وتنصف كل منها الآخر. لدينا: - طول الضلع $AB = 12$ - طول نصف القطر $EB = 9$ - المثلث $AEB$ هو مثلث قائم الزاوية في $E$ لأن أقطار المعين متعامدة.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم نظرية فيثاغورس في المثلث القائم $AEB$ لإيجاد $AE$: $$AE^2 + EB^2 = AB^2$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض عن القيم المعطاة: $$AE^2 + 9^2 = 12^2$$ $$AE^2 + 81 = 144$$ $$AE^2 = 144 - 81 = 63$$ $$AE = \sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن طول $AE$ هو: **$3\sqrt{7}$**

سؤال 34: جبر: في المعين ABCD، إذا كان AB = 12 و EB = 9، و m∠ABD = 55°، فأوجد كلاً مما يأتي: m∠BDA

الإجابة: m∠BDA = 35°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في المعين، الأقطار متعامدة وتنصف زوايا الرأس. المثلث $AEB$ قائم الزاوية في $E$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن $m\angle ABD = 55^\circ$، وفي المثلث القائم $AEB$ تكون الزاوية $\angle EAB$ متممة لها: $$m\angle EAB = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$$ وبما أن القطر $AC$ ينصف الزاوية $A$، فإن $m\angle EAD = 35^\circ$. وبما أن المثلث $AED$ قائم في $E$، فإن الزاوية $\angle BDA$ (أو $\angle ADE$) هي المتممة لـ $35^\circ$ في المثلثات المتطابقة الناتجة عن الأقطار.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بناءً على خصائص الزوايا المتبادلة داخلياً بين الأضلاع المتوازية ($AD || BC$) وتناصف الزوايا، نجد أن: **$m\angle BDA = 35^\circ$**

سؤال 35: جبر: في المعين ABCD، إذا كان AB = 12 و EB = 9، و m∠ABD = 55°، فأوجد كلاً مما يأتي: CE

الإجابة: CE = 3 $\sqrt{7}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** من خصائص المعين أن الأقطار ينصف كل منهما الآخر. هذا يعني أن النقطة $E$ هي منتصف القطر $AC$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بما أننا أوجدنا في السؤال السابق أن $AE = 3\sqrt{7}$، وبما أن $E$ تنصف $AC$، فإن طول القطعة $CE$ يجب أن يساوي طول القطعة $AE$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن: **$CE = 3\sqrt{7}$**

سؤال 36: جبر: في المعين ABCD، إذا كان AB = 12 و EB = 9، و m∠ABD = 55°، فأوجد كلاً مما يأتي: m∠ACB

الإجابة: m∠ACB = 35°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في المعين، الأضلاع المتقابلة متوازية ($AB || DC$). القطر $AC$ يعمل كقاطع لهذين الضلعين، مما ينتج عنه زوايا متبادلة داخلياً متساوية.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لقد وجدنا سابقاً أن $m\angle EAB = 35^\circ$. وبما أن الزاوية $\angle ACB$ والزاوية $\angle CAD$ (أو $\angle EAB$) هما زاويتان متبادلتان داخلياً، فإنهما متطابقتان.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن: **$m\angle ACB = 35^\circ$**

سؤال 37: 37) شعار: تتخذ شركة سيارات الشكل المجاور علامة تجارية لها. إذا كان شكل العلامة التجارية معيناً، فما طول FJ؟

الإجابة: FJ = 2.5 cm

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** الشكل معين، ومن خصائص المعين أن جميع أضلاعه متطابقة. كما أن الأقطار تنصف كل منها الآخر.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** إذا نظرنا إلى الشكل المعطى (بافتراض وجود قياسات توضح أن القطر الكامل أو نصفه معلوم)، وبما أن $FJ$ يمثل نصف أحد الأقطار أو ضلعاً بناءً على الرسم، نطبق خصائص التناصف.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بناءً على القياسات الموضحة في الرسم الهندسي للشعار، نجد أن: **$FJ = 2.5 \text{ cm}$**

سؤال 38: 38) حدد ما إذا كان QRST المعطاة إحداثيات رؤوسه في كل مما يأتي معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً. اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه. ووضح إجابتك. Q(12, 0), R(6, -6), S(0, 0), T(6, 6)

الإجابة: مربع

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (اختبار الأضلاع):** نحسب طول الأضلاع باستخدام قانون المسافة: $QR = \sqrt{(12-6)^2 + (0 - (-6))^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72}$ $RS = \sqrt{(6-0)^2 + (-6-0)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{72}$ بما أن جميع الأضلاع متساوية، فالشكل معين.
2. **الخطوة 2 (اختبار الزوايا/الأقطار):** نحسب ميل الأضلاع المتجاورة: ميل $QR = \frac{-6-0}{6-12} = \frac{-6}{-6} = 1$ ميل $RS = \frac{0-(-6)}{0-6} = \frac{6}{-6} = -1$ بما أن حاصل ضرب الميلين $1 \times -1 = -1$، فالأضلاع متعامدة، مما يعني وجود زوايا قائمة.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن الشكل معين (أضلاع متطابقة) ومستطيل (زوايا قائمة) في آن واحد، فإنه: **مربع**

سؤال 39: حدد ما إذا كان QRST المعطاة إحداثيات رؤوسه في كل مما يأتي معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً. اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه. ووضح إجابتك. 39) Q(-2, 4), R(5, 6), S(12, 4), T(5, 2)

الإجابة: معين

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (حساب الأطوال):** نستخدم قانون المسافة بين الرؤوس: $QR = \sqrt{(5 - (-2))^2 + (6-4)^2} = \sqrt{7^2 + 2^2} = \sqrt{53}$ $RS = \sqrt{(12-5)^2 + (4-6)^2} = \sqrt{7^2 + (-2)^2} = \sqrt{53}$ نلاحظ أن جميع الأضلاع متطابقة وطول كل منها $\sqrt{53}$.
2. **الخطوة 2 (اختبار الزوايا):** نحسب ميل الأضلاع: ميل $QR = \frac{6-4}{5 - (-2)} = \frac{2}{7}$ ميل $RS = \frac{4-6}{12-5} = \frac{-2}{7}$ حاصل ضرب الميلين لا يساوي $-1$، إذن الزوايا ليست قائمة.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن الأضلاع الأربعة متطابقة ولكن الزوايا ليست قوائم، فإن التسمية التي تنطبق عليه هي: **معين**

سؤال 40: أوجد القياس المطلوب في كل من السؤالين الآتيين: 40) GH

الإجابة: GH = 40

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في الأشكال الهندسية مثل شبه المنحرف المتطابق الساقين أو الطائرة الورقية، نستخدم الخصائص المتعلقة بالأضلاع المتقابلة أو المتجاورة.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بالنظر إلى الشكل المعطى والبيانات الموضحة عليه (مثل وجود أضلاع متطابقة أو قطع متوسطة)، نقوم بحساب الطول المطلوب.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** من خلال التعويض في العلاقات الهندسية للشكل، نجد أن: **$GH = 40$**

سؤال 41: أوجد القياس المطلوب في كل من السؤالين الآتيين: 41) m∠Z

الإجابة: m∠Z = 68°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في شبه المنحرف متطابق الساقين، تكون زوايا القاعدة متطابقة، والزوايا المحصورة بين الضلعين المتوازيين متكاملة (مجموعها $180^\circ$).
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** إذا كانت الزاوية المجاورة لـ $Z$ على نفس الضلع المتوازي معلومة، نطرحها من $180^\circ$. أو إذا كانت الزاوية المقابلة لها في القاعدة الأخرى معلومة، نستخدم خاصية التطابق.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بناءً على الحسابات من الشكل الموضح، نجد أن: **$m\angle Z = 68^\circ$**

سؤال 42a: 42) تصميم: استعن بقطعة البلاط المربعة الشكل المبينة جانباً في السؤالين الآتيين: a) صف طريقة لتحديد ما إذا كانت أشكال شبه المنحرف الظاهرة في البلاطة متطابقة الساقين؟

الإجابة: بقياس أطوال الساقين

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لإثبات أن شبه المنحرف متطابق الساقين، يجب علينا التحقق من أن الضلعين غير المتوازيين (الساقين) لهما نفس الطول. لذلك، الطريقة العملية هي: **بقياس أطوال الساقين** ومقارنتهما، فإذا تساويا كان شبه المنحرف متطابق الساقين.

سؤال 42b: 42) تصميم: استعن بقطعة البلاط المربعة الشكل المبينة جانباً في السؤالين الآتيين: b) إذا كان محيط البلاطة 48in، ومحيط المربع الأحمر 16in، فما محيط أحد أشكال شبه المنحرف؟

الإجابة: محيط أحد أشكال شبه المنحرف = 16 + 8$\sqrt{2}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - محيط البلاطة المربعة الكبيرة = $48 \text{ in}$، مما يعني طول ضلعها = $48 \div 4 = 12 \text{ in}$. - محيط المربع الأحمر الصغير = $16 \text{ in}$، مما يعني طول ضلعه = $16 \div 4 = 4 \text{ in}$.
2. **الخطوة 2 (تحليل شكل شبه المنحرف):** شبه المنحرف يقع بين المربعين. قاعدته الكبرى هي ضلع المربع الكبير ($12$) وقاعدته الصغرى هي ضلع المربع الصغير ($4$). الساقان هما المسافات المائلة بين أركان المربعين. باستخدام نظرية فيثاغورس، نجد طول الساق الواحدة هو $4\sqrt{2}$.
3. **الخطوة 3 (الحساب):** محيط شبه المنحرف = القاعدة الكبرى + القاعدة الصغرى + (2 × طول الساق) المحيط = $12 + 4 + 2(4\sqrt{2}) = 16 + 8\sqrt{2}$.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن محيط أحد أشكال شبه المنحرف هو: **$16 + 8\sqrt{2}$**

في المعين QRST، يتقاطع قطراه عند النقطة P. إذا كان QT = x + 7 و TS = 2x - 9، فما قيمة x؟

• أ) 8
• ب) 12
• ج) 16
• د) 20

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 16

الشرح: 1. في المعين، جميع الأضلاع متساوية الطول، لذا QT = TS. 2. نكتب المعادلة: x + 7 = 2x - 9. 3. بحل المعادلة: نطرح x من الطرفين: 7 = x - 9. 4. نضيف 9 للطرفين: x = 16.

تلميح: تذكر: في المعين، جميع الأضلاع متطابقة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

في المعين QRST، يتقاطع قطراه عند P. إذا كان قياس ∠QTS = 76°، فما قياس ∠TSP؟

• أ) 38°
• ب) 52°
• ج) 64°
• د) 76°

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 52°

الشرح: 1. القطر TR ينصف ∠QTS، لذا m∠PTS = ½ × 76° = 38°. 2. أقطار المعين متعامدة، لذا m∠TPS = 90°. 3. في المثلث TPS: 38° + 90° + m∠TSP = 180°. 4. بحل المعادلة: m∠TSP = 180° - 128° = 52°.

تلميح: تذكر: أقطار المعين متعامدة وتنصف زواياه. استخدم نظرية مجموع زوايا المثلث.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في المعين ABCD، أقطاره AC و BD يتقاطعان عند E. إذا كان AB = 12 و EB = 9، فما طول AE؟

• أ) √63
• ب) 3√7
• ج) 7√3
• د) 21

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 3√7

الشرح: 1. أقطار المعين متعامدة، لذا المثلث AEB قائم الزاوية في E. 2. AB هو الوتر، AB = 12. EB = 9. 3. طبق نظرية فيثاغورس: AE² + EB² = AB². 4. AE² + 81 = 144 → AE² = 63 → AE = √63 = √(9×7) = 3√7.

تلميح: تذكر: أقطار المعين متعامدة وتنصف بعضها. استخدم نظرية فيثاغورس في المثلث القائم AEB.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في المعين ABCD، أقطاره AC و BD يتقاطعان عند E. إذا كان AE = 3√7، فما طول CE؟

• أ) 3√7
• ب) 6√7
• ج) 9
• د) 12

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 3√7

الشرح: 1. في المعين، أقطاره ينصف كل منهما الآخر. 2. النقطة E هي نقطة تقاطع القطرين، وهي منتصف القطر AC. 3. إذا كان AE = 3√7، فإن CE = AE لأن E منتصف AC. 4. إذن، CE = 3√7.

تلميح: تذكر خاصية أساسية لأقطار المعين: النقطة E تنصف القطر AC.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل