2-4 المحددات وقاعدة كرامر (الصفحات: 92-85)

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 دليل الدراسة والمراجعة (ص 100)

المفاهيم الأساسية

قاعدة كرامر: قاعدة لحل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المحددات.

النظير الضربي للمصفوفة: مصفوفة عند ضربها في المصفوفة الأصلية تعطي مصفوفة الوحدة.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

ملخص الفصل

المفاهيم الأساسية

المصفوفات

التعريف

المصفوفات المتساوية

العمليات على المصفوفات

الجمع والطرح

الضرب في عدد ثابت

#### مثال: 3A + 2B

##### 1. اضرب كل مصفوفة في العدد

##### 2. اجمع المصفوفتين الناتجتين

ضرب مصفوفتين

#### شروط الضرب

#### طريقة الضرب (صف × عمود)

#### تطبيق: حساب التكلفة الإجمالية

المحددات وقاعدة كرامر

محدد مصفوفة 2×2

#### مثال: |a b|

#### |c d| = ad - bc

الاستعمالات

#### حل أنظمة المعادلات

##### مثال: 3x - y = 0

##### 5x + 2y = 22

النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية

مصفوفة الوحدة

النظير الضربي

#### شرط الوجود: محدد المصفوفة ≠ 0

#### إيجاد نظير مصفوفة 2×2

حل المعادلة المصفوفية AX = B

#### الخطوة 1: إيجاد A⁻¹

#### الخطوة 2: X = A⁻¹B

#### مثال: [2 3; -5 -6][x; y] = [15; 36]

#### الحل: (30, 9)

تطبيق: حل مسائل كلامية

#### مثال: سعر المكسرات والقهوة

المفردات

اختبر مفرداتك

المطويات منظم أفكار

```

نقاط مهمة

لحساب محدد مصفوفة ٢×٢: \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
لحل نظام معادلات باستخدام قاعدة كرامر، يتم استبدال أعمدة معاملات المتغيرات بأعمدة الثوابت وحساب محددات المصفوفات الناتجة.
لمعرفة إذا كان للمصفوفة نظير ضربي، تحسب محددها. إذا كان المحدد ≠ ٠، فإن لها نظيراً.
لحل معادلة مصفوفية على الصورة AX = B، نضرب طرفي المعادلة في النظير الضربي لـ A من اليسار: X = A⁻¹B.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

أوجد قيمة كل محدد فيما يأتي:
(17)
2
3
-1
0
2
4
-2
5
6
(16)
2
7
-3
استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات فيما يأتي:
(18)
3x - y = 0
5x + 2y = 22
(19)
5x + 2y = 4
3x + 4y + 2z = 6
7x + 3y + 4z = 29

مثال 4

نوع: محتوى تعليمي

أوجد قيمة:
4
2
-6
5
= 4(5) - 2(-6)
= 20 + 12 = 32

مثال 5

نوع: محتوى تعليمي

استعمل قاعدة كرامر لحل النظام:
2a + 6b = -1
a + 8b = 2
قاعدة كرامر
-1
6
2
8
2
6
1
8
= -8 - 12
16 - 6
= -20
10
= -2
احسب المحددات
بسط
a =
b =
الحل هو (2, -1/2)

2-5 النظير الضربي للمصفوفات وأنظمة المعادلات الخطية (الصفحات: 98-93)

نوع: محتوى تعليمي

أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي، إن وجد:
(21)
7
4
3
2
(22)
2
-5
5
-13
(23)
6
-3
-8
4
حل المعادلة المصفوفية فيما يأتي:
(24)
5
3
3
2
[x]
[y]
= [4
0]
(25)
3
1
-1
2
[a]
[b]
= [5
4]
(26) مشتريات: اشترى سعود 2kg مكسرات و 2kg قهوة
بمبلغ 140 ريالاً. واشترى ناصر 3kg مكسرات و كيلو جرامًا
قهوة بمبلغ 170 ريالاً. فما سعر الكيلوجرام الواحد من كلا
النوعين؟

مثال 6

نوع: محتوى تعليمي

حل المعادلة المصفوفية:
[2
3
-5
-6]
[x]
[y]
= [15
36]
الخطوة 1: جد النظير الضربي للمصفوفة المعاملات.
A-1 =
1
-12 - (-15)
-6
-3
5
2
= 1/3
-6
-3
5
2
الخطوة 2: حل المعادلة المصفوفية باستعمال A-1 B
[x]
[y]
= 1/3
-6
-3
5
2
[15
36]
[x]
[y]
= 1/3
[90
27]
[x]
[y]
= [30
9]
. إذن الحل هو (30, 9).

الفصل 2 المصفوفات

نوع: محتوى تعليمي

100

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: 2-4 المحددات وقاعدة كرامر (الصفحات: 92-85) ---
أوجد قيمة كل محدد فيما يأتي:
(17)
2
3
-1
0
2
4
-2
5
6
(16)
2
7
-3
استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات فيما يأتي:
(18)
3x - y = 0
5x + 2y = 22
(19)
5x + 2y = 4
3x + 4y + 2z = 6
7x + 3y + 4z = 29

--- SECTION: مثال 4 ---
أوجد قيمة:
4
2
-6
5
= 4(5) - 2(-6)
= 20 + 12 = 32

--- SECTION: مثال 5 ---
استعمل قاعدة كرامر لحل النظام:
2a + 6b = -1
a + 8b = 2
قاعدة كرامر
-1
6
2
8
2
6
1
8
= -8 - 12
16 - 6
= -20
10
= -2
احسب المحددات
بسط
a =
b =
الحل هو (2, -1/2)

--- SECTION: 2-5 النظير الضربي للمصفوفات وأنظمة المعادلات الخطية (الصفحات: 98-93) ---
أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي، إن وجد:
(21)
7
4
3
2
(22)
2
-5
5
-13
(23)
6
-3
-8
4
حل المعادلة المصفوفية فيما يأتي:
(24)
5
3
3
2
[x]
[y]
= [4
0]
(25)
3
1
-1
2
[a]
[b]
= [5
4]
(26) مشتريات: اشترى سعود 2kg مكسرات و 2kg قهوة
بمبلغ 140 ريالاً. واشترى ناصر 3kg مكسرات و كيلو جرامًا
قهوة بمبلغ 170 ريالاً. فما سعر الكيلوجرام الواحد من كلا
النوعين؟

--- SECTION: مثال 6 ---
حل المعادلة المصفوفية:
[2
3
-5
-6]
[x]
[y]
= [15
36]
الخطوة 1: جد النظير الضربي للمصفوفة المعاملات.
A-1 =
1
-12 - (-15)
-6
-3
5
2
= 1/3
-6
-3
5
2
الخطوة 2: حل المعادلة المصفوفية باستعمال A-1 B
[x]
[y]
= 1/3
-6
-3
5
2
[15
36]
[x]
[y]
= 1/3
[90
27]
[x]
[y]
= [30
9]
. إذن الحل هو (30, 9).

--- SECTION: الفصل 2 المصفوفات ---
100

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 3 بطاقة لهذه الصفحة

ما هي الصيغة الرياضية الصحيحة لإيجاد قيمة محددة مصفوفة من الدرجة الثانية على الصورة [a b ; c d]؟

أ) حاصل جمع عناصر القطر الرئيسي وعناصر القطر الآخر (ad + bc)
ب) حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي مطروحاً منه حاصل ضرب عناصر القطر الآخر (ad - bc)
ج) حاصل ضرب عناصر القطر الآخر مطروحاً منه حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي (bc - ad)
د) قسمة حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي على حاصل ضرب عناصر القطر الآخر (ad / bc)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي مطروحاً منه حاصل ضرب عناصر القطر الآخر (ad - bc)

الشرح: لإيجاد قيمة محددة الدرجة الثانية: 1. نضرب عنصري القطر الرئيسي (a × d). 2. نضرب عنصري القطر الآخر (b × c). 3. نطرح الناتج الثاني من الناتج الأول (ad - bc). مثال من الصفحة: في المصفوفة [4 2 ; -6 5]، القيمة هي (4 × 5) - (2 × -6) = 20 - (-12) = 32.

تلميح: تذكر أننا نبدأ بالضرب من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين ثم نطرح ناتج ضرب القطر الثاني.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما القاعدة المتبعة لإيجاد النظير الضربي للمصفوفة A من الرتبة 2×2، بشرط أن قيمة محددها لا تساوي صفراً؟

أ) ضرب محدد المصفوفة في مصفوفة ناتجة عن تغيير جميع إشارات عناصر المصفوفة الأصلية.
ب) ضرب مقلوب محدد المصفوفة في المصفوفة الناتجة عن تبديل عنصري القطر الرئيسي وتغيير إشارتي عنصري القطر الآخر.
ج) قسمة جميع عناصر المصفوفة الأصلية على مجموع عناصر القطر الرئيسي والقطر الآخر.
د) ضرب مقلوب محدد المصفوفة في المصفوفة الأصلية كما هي دون أي تعديل في ترتيب أو إشارات العناصر.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ضرب مقلوب محدد المصفوفة في المصفوفة الناتجة عن تبديل عنصري القطر الرئيسي وتغيير إشارتي عنصري القطر الآخر.

الشرح: لإيجاد النظير الضربي للمصفوفة A: 1. نوجد قيمة المحدد (|A| = ad - bc). 2. نبدل أماكن عناصر القطر الرئيسي (a مكان d والعكس). 3. نغير إشارات عناصر القطر الآخر (b و c) دون تبديل أماكنهما. 4. نضرب المصفوفة الناتجة في مقلوب قيمة المحدد (1/|A|). إذا كان المحدد يساوي صفراً، فليس للمصفوفة نظير ضربي.

تلميح: فكر في التغييرات التي تطرأ على القطر الرئيسي والقطر الآخر وكيفية استخدام قيمة المحدد (ad-bc).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي الخطوات الرياضية الصحيحة لحل المعادلة المصفوفية التي تكون على الصورة AX = B، حيث A هي مصفوفة المعاملات؟

أ) إيجاد النظير الضربي للمصفوفة A (يُرمز له A⁻¹)، ثم ضربه في مصفوفة الثوابت B من جهة اليسار (X = A⁻¹B).
ب) ضرب مصفوفة المعاملات A في مصفوفة الثوابت B مباشرة دون الحاجة لإيجاد النظير الضربي.
ج) إيجاد النظير الضربي للمصفوفة A، ثم ضرب مصفوفة الثوابت B فيه من جهة اليمين (X = BA⁻¹).
د) قسمة عناصر المصفوفة B على عناصر المصفوفة A للحصول على مصفوفة المجاهيل X.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: إيجاد النظير الضربي للمصفوفة A (يُرمز له A⁻¹)، ثم ضربه في مصفوفة الثوابت B من جهة اليسار (X = A⁻¹B).

الشرح: 1. نجد النظير الضربي لمصفوفة المعاملات A، ويشترط أن يكون محددها لا يساوي صفراً. 2. نضرب طرفي المعادلة من جهة اليسار في A⁻¹ لتصبح المعادلة: A⁻¹(AX) = A⁻¹B. 3. بما أن حاصل ضرب المصفوفة في نظيرها يعطي مصفوفة الوحدة (I)، فإن IX = A⁻¹B. 4. النتيجة النهائية هي قيمة مصفوفة المتغيرات X = A⁻¹B.

تلميح: تذكر أن عملية ضرب المصفوفات ليست إبدالية، لذا فإن مكان وضع النظير الضربي (يميناً أو يساراً) يغير النتيجة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط