📝 ملخص الصفحة
📚 اختبار الفصل (المصفوفات والمحددات)
المفاهيم الأساسية
المحددات: تستخدم لإيجاد مساحة المثلث إذا كانت إحداثيات رؤوسه معلومة.
خريطة المفاهيم
```markmap
الفصل 2: المصفوفات
ملخص الفصل
المفاهيم الأساسية
المصفوفات
التعريف
المصفوفات المتساوية
العمليات على المصفوفات
الجمع والطرح
الضرب في عدد ثابت
#### مثال: 3A + 2B
##### 1. اضرب كل مصفوفة في العدد
##### 2. اجمع المصفوفتين الناتجتين
ضرب مصفوفتين
#### شروط الضرب
#### طريقة الضرب (صف × عمود)
#### تطبيق: حساب التكلفة الإجمالية
المحددات وقاعدة كرامر
محدد مصفوفة 2×2
#### مثال: |a b|
#### |c d| = ad - bc
الاستعمالات
#### حل أنظمة المعادلات
##### مثال: 3x - y = 0
##### 5x + 2y = 22
#### إيجاد مساحة المثلث
##### مثال: رؤوس المثلث x(1, 2), y(3, 6), z(-1,4)
النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية
مصفوفة الوحدة
النظير الضربي
#### شرط الوجود: محدد المصفوفة ≠ 0
#### إيجاد نظير مصفوفة 2×2
حل المعادلة المصفوفية AX = B
#### الخطوة 1: إيجاد A⁻¹
#### الخطوة 2: X = A⁻¹B
#### مثال: [2 3; -5 -6][x; y] = [15; 36]
#### الحل: (30, 9)
تطبيق: حل مسائل كلامية
#### مثال: سعر المكسرات والقهوة
#### مثال: حساب الربح من مبيعات الكتب
##### تكلفة وبيع مجموعات الكتب:
###### تربوية: 100 (تكلفة)، 120 (بيع)
###### علمية: 90 (تكلفة)، 110 (بيع)
###### قصص: 130 (تكلفة)، 150 (بيع)
المفردات
اختبر مفرداتك
المطويات منظم أفكار
```
نقاط مهمة
- يمكن استخدام ضرب المصفوفات لحساب التكلفة الكلية والإيرادات والربح في مسائل البيع.
- قاعدة كرامر تستخدم لحل أنظمة المعادلات الخطية ذات الثلاثة مجاهيل أو أكثر.
- يمكن حل نظام معادلات خطية باستخدام معادلة مصفوفية بالصيغة AX = B، حيث X = A⁻¹B.
📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
8
نوع: QUESTION_HOMEWORK
إذا كان A=
3 8
-3 -4
, B=
-7 5
5 -4
, C=
-4 7
2 0
فأوجد ناتج AB - AC
9
نوع: QUESTION_HOMEWORK
استعمل المحددات لإيجاد مساحة Axyz الذي رؤوسه .x(1, 2), y(3, 6), z(-1,4)
10
نوع: QUESTION_HOMEWORK
اختيار من متعدد : أوجد قيمة محددة المصفوفة:
2 3 -1
0 2 4
-2 5 6
1
نوع: QUESTION_HOMEWORK
إذا كانت A=
2 2 7
9 1 1
8 0 8
، فحدد قيمة كل عنصر مما يأتي:
3
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد الناتج في كل مما يأتي، إذا كان ذلك ممكنا:
-3
4a
0+4
-3
-2
3
-3
-1
4
نوع: QUESTION_HOMEWORK
-3 0
1 5
2 4
-6 0
5
نوع: QUESTION_HOMEWORK
2 0
-3 5
1 4
3
-2
6
نوع: QUESTION_HOMEWORK
-5 7
6 8
-
4 0
9 0
-2
1
7
نوع: محتوى تعليمي
مبيعات : تبيع مكتبة 3 مجموعات من كتب الأطفال. ويبين
الجدول الآتي تكلفة كل مجموعة وسعر بيعها. فإذا باعت المكتبة
20 مجموعة من الكتب التربوية، و 32 مجموعة من الكتب
العلمية، و 14 مجموعة من القصص.
نوع: NON_EDUCATIONAL
15
نوع: QUESTION_HOMEWORK
استعمل معادلة مصفوفية لحل نظام المعادلتين الآتي:
2x - y = -9
x + 2y = 8
16
نوع: QUESTION_HOMEWORK
استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات فيما يأتي:
x - y + 2z = 0
3x + z = 11
-x + 2y = 0
17
نوع: QUESTION_HOMEWORK
6x + 2y + 4z = 2
3x+4y8z = -3
-3x6y + 12z = 5
11
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي، إن وجد:
5 0
0 1
12
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي، إن وجد:
1 2
2 1
13
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي، إن وجد:
6 3
8 4
14
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي، إن وجد:
-3 -2
6 4
نوع: QUESTION_HOMEWORK
a) نظم البيانات في مصفوفات، ثم استعمل ضرب المصفوفات
لإيجاد تكلفة الكتب الكلية.
نوع: QUESTION_HOMEWORK
b) استعمل ضرب المصفوفات لإيجاد المبلغ الكلي الذي
تحصلت عليه المكتبة من بيع ذلك العدد من مجموعات الكتب.
نوع: QUESTION_HOMEWORK
c) استعمل العمليات على المصفوفات لمعرفة ربح المكتبة.
🔍 عناصر مرئية
Table showing cost and selling price of three types of books
📄 النص الكامل للصفحة
--- SECTION: 8 ---
إذا كان A=
3 8
-3 -4
, B=
-7 5
5 -4
, C=
-4 7
2 0
فأوجد ناتج AB - AC
--- SECTION: 9 ---
استعمل المحددات لإيجاد مساحة Axyz الذي رؤوسه .x(1, 2), y(3, 6), z(-1,4)
--- SECTION: 10 ---
اختيار من متعدد : أوجد قيمة محددة المصفوفة:
2 3 -1
0 2 4
-2 5 6
A -44
B 44
C 1/44
D -1/44
--- SECTION: 1 ---
إذا كانت A=
2 2 7
9 1 1
8 0 8
، فحدد قيمة كل عنصر مما يأتي:
1. A22
2. A31
--- SECTION: 3 ---
أوجد الناتج في كل مما يأتي، إذا كان ذلك ممكنا:
-3
4a
0+4
-3
-2
3
-3
-1
--- SECTION: 4 ---
-3 0
1 5
2 4
-6 0
--- SECTION: 5 ---
2 0
-3 5
1 4
3
-2
--- SECTION: 6 ---
-5 7
6 8
-
4 0
9 0
-2
1
--- SECTION: 7 ---
مبيعات : تبيع مكتبة 3 مجموعات من كتب الأطفال. ويبين
الجدول الآتي تكلفة كل مجموعة وسعر بيعها. فإذا باعت المكتبة
20 مجموعة من الكتب التربوية، و 32 مجموعة من الكتب
العلمية، و 14 مجموعة من القصص.
--- SECTION: 15 ---
استعمل معادلة مصفوفية لحل نظام المعادلتين الآتي:
2x - y = -9
x + 2y = 8
--- SECTION: 16 ---
استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات فيما يأتي:
x - y + 2z = 0
3x + z = 11
-x + 2y = 0
--- SECTION: 17 ---
6x + 2y + 4z = 2
3x+4y8z = -3
-3x6y + 12z = 5
--- SECTION: 11 ---
أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي، إن وجد:
5 0
0 1
--- SECTION: 12 ---
أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي، إن وجد:
1 2
2 1
--- SECTION: 13 ---
أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي، إن وجد:
6 3
8 4
--- SECTION: 14 ---
أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي، إن وجد:
-3 -2
6 4
a) نظم البيانات في مصفوفات، ثم استعمل ضرب المصفوفات
لإيجاد تكلفة الكتب الكلية.
b) استعمل ضرب المصفوفات لإيجاد المبلغ الكلي الذي
تحصلت عليه المكتبة من بيع ذلك العدد من مجموعات الكتب.
c) استعمل العمليات على المصفوفات لمعرفة ربح المكتبة.
--- VISUAL CONTEXT ---
**TABLE**: Untitled
Description: Table showing cost and selling price of three types of books
Table Structure:
Headers: المجموعة | التكلفة | سعر البيع (ر.ي)
Rows:
Row 1: تربوية | 100 | 120
Row 2: علمية | 90 | 110
Row 3: قصص | 130 | 150
Calculation needed: Calculate total cost and profit
Context: Relates to question 7 about calculating profit
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة
ما الخطوات الرئيسية لتطبيق قاعدة كرامر لحل نظام من ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل؟
- أ) 1. جمع جميع معادلات النظام. 2. قسمة الناتج على عدد المتغيرات. 3. التعويض في إحدى المعادلات.
- ب) 1. حساب محدد مصفوفة المعاملات الرئيسية D. 2. استبدال كل عمود من أعمدة الثوابت مكان عمود معاملات المتغير المراد إيجاده وحساب المحدد Dx, Dy, Dz. 3. إيجاد قيمة كل متغير عن طريق قسمة المحدد المقابل على D (مثل x = Dx/D).
- ج) 1. كتابة النظام على شكل مصفوفة معززة. 2. تطبيق حذف غاوس. 3. قراءة الحل من الصورة المدرجة.
- د) 1. إيجاد النظير الضربي لمصفوفة المعاملات. 2. ضرب النظير الضربي في مصفوفة المتغيرات. 3. مقارنة الناتج مع مصفوفة الثوابت.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: 1. حساب محدد مصفوفة المعاملات الرئيسية D. 2. استبدال كل عمود من أعمدة الثوابت مكان عمود معاملات المتغير المراد إيجاده وحساب المحدد Dx, Dy, Dz. 3. إيجاد قيمة كل متغير عن طريق قسمة المحدد المقابل على D (مثل x = Dx/D).
الشرح: قاعدة كرامر لحل نظام ثلاثي: 1. شكل مصفوفة المعاملات A من معاملات x, y, z واحسب محددها D. 2. لتجد x: استبدال عمود معاملات x بعمود الثوابت في A واحسب المحدد Dx. 3. كرر العملية لـ y و z للحصول على Dy و Dz. 4. الحل هو: x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D، بشرط أن D ≠ 0.
تلميح: تتطلب قاعدة كرامر أن يكون محدد مصفوفة المعاملات الرئيسية (D) لا يساوي الصفر.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب
كيف يمكن حساب ربح مكتبة من بيع الكتب باستخدام عمليات المصفوفات، إذا كانت لدينا مصفوفة الكميات المباعة، ومصفوفة التكلفة، ومصفوفة سعر البيع؟
- أ) الربح = مصفوفة سعر البيع - مصفوفة التكلفة، ثم جمع عناصر الناتج.
- ب) الربح = (مصفوفة الكميات × مصفوفة سعر البيع) ÷ (مصفوفة الكميات × مصفوفة التكلفة).
- ج) الربح = (مصفوفة الكميات × مصفوفة سعر البيع) - (مصفوفة الكميات × مصفوفة التكلفة)، أو بشكل مختصر: الربح = مصفوفة الكميات × (مصفوفة سعر البيع - مصفوفة التكلفة).
- د) الربح = مصفوفة الكميات + مصفوفة سعر البيع + مصفوفة التكلفة.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: الربح = (مصفوفة الكميات × مصفوفة سعر البيع) - (مصفوفة الكميات × مصفوفة التكلفة)، أو بشكل مختصر: الربح = مصفوفة الكميات × (مصفوفة سعر البيع - مصفوفة التكلفة).
الشرح: لحساب الربح باستخدام المصفوفات: 1. مثل الكميات المباعة من كل نوع في مصفوفة صفية Q. 2. مثل تكلفة كل نوع في مصفوفة عمودية C، وسعر البيع في مصفوفة عمودية S. 3. الإيراد الكلي = Q × S. 4. التكلفة الكلية = Q × C. 5. الربح الكلي = (Q × S) - (Q × C) = Q × (S - C).
تلميح: الربح هو الفرق بين الإيراد الكلي والتكلفة الكلية. فكر في كيفية تمثيل كل منهما بضرب المصفوفات.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
ما الشرط الأساسي لكي يكون لمصفوفة مربعة A نظير ضربي (معكوس ضربي)؟
- أ) أن تكون المصفوفة متماثلة.
- ب) أن يكون محدد المصفوفة A لا يساوي الصفر (det(A) ≠ 0).
- ج) أن تكون جميع عناصر المصفوفة أعداداً صحيحة.
- د) أن يكون عدد صفوف المصفوفة يساوي عدد أعمدتها وزائد واحد.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: أن يكون محدد المصفوفة A لا يساوي الصفر (det(A) ≠ 0).
الشرح: النظير الضربي للمصفوفة المربعة A (يرمز له A⁻¹) موجود إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة A لا يساوي الصفر. إذا كان det(A) = 0، تسمى المصفوفة مفردة أو غير قابلة للعكس، ولا يوجد لها نظير ضربي. هذا الشرط يضمن أن نظام المعادلات AX = B له حل فريد.
تلميح: اربط هذا الشرط بقابلية حل نظام المعادلات الخطية الممثل بالمصفوفة.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
بناءً على دراستك للمصفوفات، ما هو الشرط الضروري والأساسي لوجود نظير ضربي للمصفوفة المربعة؟
- أ) أن تكون جميع عناصر القطر الرئيسي في المصفوفة مساوية للصفر.
- ب) أن تكون قيمة محددة المصفوفة تساوي صفراً.
- ج) أن تكون قيمة محددة المصفوفة لا تساوي صفراً.
- د) أن تكون المصفوفة من الرتبة 3×3 فقط.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: أن تكون قيمة محددة المصفوفة لا تساوي صفراً.
الشرح: 1. قانون النظير الضربي للمصفوفة A يعتمد على قسمة مصفوفة المرافقات على قيمة المحددة det(A).
2. رياضياً، القسمة على الصفر غير معرفة.
3. إذا كانت قيمة المحددة تساوي صفراً (مصفوفة منفردة)، فإنه لا يمكن إيجاد نظير ضربي لها.
4. بناءً عليه، لضمان وجود النظير الضربي، يجب أن تكون قيمة المحددة أي رقم آخر غير الصفر.
تلميح: تذكر قانون النظير الضربي، وما هي القيمة التي تظهر في المقام وتجعل العملية غير معرفة إذا كانت صفراً؟
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط