حل المسألة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: حل المسألة

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 حل أنظمة المعادلات باستخدام المصفوفات

المفاهيم الأساسية

حل نظام المعادلات باستعمال المصفوفات: طريقة أسرع وأسهل من الحل الجبري، باستخدام مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت والنظير الضربي.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

ملخص الفصل

المفاهيم الأساسية

المصفوفات

التعريف

المصفوفات المتساوية

العمليات على المصفوفات

الجمع والطرح

الضرب في عدد ثابت

#### مثال: 3A + 2B

##### 1. اضرب كل مصفوفة في العدد

##### 2. اجمع المصفوفتين الناتجتين

ضرب مصفوفتين

#### شروط الضرب

#### طريقة الضرب (صف × عمود)

#### تطبيق: حساب التكلفة الإجمالية

المحددات وقاعدة كرامر

محدد مصفوفة 2×2

#### مثال: |a b|

#### |c d| = ad - bc

الاستعمالات

#### حل أنظمة المعادلات

##### مثال: 3x - y = 0

##### 5x + 2y = 22

#### إيجاد مساحة المثلث

##### مثال: رؤوس المثلث x(1, 2), y(3, 6), z(-1,4)

النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية

مصفوفة الوحدة

النظير الضربي

#### شرط الوجود: محدد المصفوفة ≠ 0

#### إيجاد نظير مصفوفة 2×2

حل المعادلة المصفوفية AX = B

#### الخطوة 1: إيجاد A⁻¹

#### الخطوة 2: X = A⁻¹B

#### مثال: [2 3; -5 -6][x; y] = [15; 36]

#### الحل: (30, 9)

تطبيق: حل مسائل كلامية

#### مثال: سعر المكسرات والقهوة

#### مثال: حساب الربح من مبيعات الكتب

##### تكلفة وبيع مجموعات الكتب:

###### تربوية: 100 (تكلفة)، 120 (بيع)

###### علمية: 90 (تكلفة)، 110 (بيع)

###### قصص: 130 (تكلفة)، 150 (بيع)

الإعداد للاختبارات المعيارية

أسئلة الإجابات الشبكية

#### استراتيجيات الحل

##### الخطوة 1: حل المسألة

###### اقرأ المسألة بإمعان

###### تأكد من أن إجابتك لها معنى

###### تحقق من إجابتك إذا كان الوقت كافيًا

##### الخطوة 2: كتابة الإجابة

###### اكتب في مربع الإجابة

###### اكتب عددًا واحدًا أو رمزًا في كل مربع

###### لا تكتب خارج المربعات

###### أنواع الإجابات: أعداد كلية، كسور عشرية، كسور اعتيادية

##### الخطوة 3: تدوين الإجابة

###### ظلل دائرة واحدة لكل مربع إجابة

###### تأكد من تطابق الظل مع القيمة في المربع

###### ظلل بصورة واضحة وكاملة

#### مثال تطبيقي

##### مسألة: تزويد السيارة بالوقود

###### محطة أولى: 1.50 ريال/لتر

###### محطة ثانية: 1.45 ريال/لتر

###### المجموع: 100 لتر بـ 147.25 ريال

###### المطلوب: كم لتر من كل محطة؟

###### الحل باستخدام المصفوفات:

x + y = 100

1.50x + 1.45y = 147.25

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.50 & 1.45 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100 \\ 147.25 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 55 \end{bmatrix}

###### النتيجة: 45 لترًا من المحطة الأولى، 55 لترًا من المحطة الثانية.

تمارين ومسائل

أوجد محددة المصفوفة

#### 1. \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 4 & 20 \end{bmatrix}

#### 2. H = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 3 \\ -5 & -7 & -1 \\ 4 & -8 & 1 \end{bmatrix}

المفردات

اختبر مفرداتك

المطويات منظم أفكار

```

نقاط مهمة

  • يمكن حل نظام المعادلات الخطية بسرعة وسهولة باستخدام المصفوفات والحاسبة البيانية.
  • الخطوات: أدخل مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت، ثم استخدم النظير الضربي لإيجاد الحل.
  • مثال تطبيقي: مسألة تزويد السيارة بالوقود تم حلها لإيجاد أن محمد زود سيارته بـ 45 لترًا من المحطة الأولى و 55 لترًا من الثانية.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

اقرأ المسألة جيدا، إذ يمكن حلها باستعمال نظام من معادلتين. لتكن x تمثل عدد اللترات من المحطة الأولى، و لا تمثل عدد اللترات من المحطة الثانية، لذا يكتب نظام المعادلتبن الذي يمثل هذه الحالة على النحو الآتي: x + y = 100 1.50x + 1.45y = 147.25 من الممكن حل هذا النظام جبريًا، ولكن يمكن حله بشكل أسرع وبطريقة أسهل باستعمال المصفوفات والحاسبة البيانية.

حل المسألة

نوع: محتوى تعليمي

حل المسألة

نوع: محتوى تعليمي

أدخل كلا من مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت إلى الحاسبة البيانية، ثم أوجد الحل باستعمال النظير الضربي.

نوع: محتوى تعليمي

[1 1][xy]=[100147.25],[xy]=[4555]

نوع: محتوى تعليمي

إذن زود محمد سيارته بـ 45 لترًا من المحطة الأولى، و 55 لترا من المحطة الثانية.

تمارين ومسائل

نوع: محتوى تعليمي

تمارين ومسائل

نوع: محتوى تعليمي

اقرأ كل مسألة، وحدّد ما تحتاج إلى معرفته، ثم استعمل المعطيات لحلها. انسخ نموذج الإجابة، واستعمله في الإجابة.

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد محددة المصفوفة [−1 −3 4 20]

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد محددة المصفوفة:

نوع: محتوى تعليمي

H = [-2 0 3-5 -7 -14 -8 1]

🔍 عناصر مرئية

Unknown

Table with circles to fill in

📄 النص الكامل للصفحة

اقرأ المسألة جيدا، إذ يمكن حلها باستعمال نظام من معادلتين. لتكن x تمثل عدد اللترات من المحطة الأولى، و لا تمثل عدد اللترات من المحطة الثانية، لذا يكتب نظام المعادلتبن الذي يمثل هذه الحالة على النحو الآتي: x + y = 100 1.50x + 1.45y = 147.25 من الممكن حل هذا النظام جبريًا، ولكن يمكن حله بشكل أسرع وبطريقة أسهل باستعمال المصفوفات والحاسبة البيانية. --- SECTION: حل المسألة --- حل المسألة أدخل كلا من مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت إلى الحاسبة البيانية، ثم أوجد الحل باستعمال النظير الضربي. [1 1][xy]=[100147.25],[xy]=[4555] إذن زود محمد سيارته بـ 45 لترًا من المحطة الأولى، و 55 لترا من المحطة الثانية. --- SECTION: تمارين ومسائل --- تمارين ومسائل اقرأ كل مسألة، وحدّد ما تحتاج إلى معرفته، ثم استعمل المعطيات لحلها. انسخ نموذج الإجابة، واستعمله في الإجابة. --- SECTION: 1 --- أوجد محددة المصفوفة [−1 −3 4 20] --- SECTION: 2 --- أوجد محددة المصفوفة: H = [-2 0 3-5 -7 -14 -8 1] --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Unknown Description: Table with circles to fill in Table Structure: Headers: 4 | 5 Rows: Row 1: EMPTY | EMPTY Row 2: EMPTY | EMPTY Row 3: EMPTY | EMPTY Row 4: EMPTY | EMPTY Row 5: EMPTY | EMPTY Row 6: EMPTY | EMPTY Row 7: EMPTY | EMPTY Row 8: EMPTY | EMPTY Row 9: EMPTY | EMPTY Row 10: EMPTY | EMPTY Empty cells: All cells are empty and need to be filled Calculation needed: N/A Data: N/A Context: N/A

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 9

سؤال س1: تُسمى المتسلسلة اللانهائية التي يمكن إيجاد مجموع لها، متسلسلة متقاربة.

الإجابة: س1: ✓ صح

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال: المتسلسلة اللانهائية هي مجموع حدود متتابعة لا نهائية. عندما نقول "يمكن إيجاد مجموع لها"، يعني أن مجموع حدودها يقترب من قيمة محددة مع زيادة عدد الحدود، وهذا هو تعريف المتسلسلة المتقاربة. إذاً العبارة صحيحة.

سؤال س2: مبدأ الاستقراء الرياضي هو أسلوب لبرهنة الجمل المتعلقة بالأعداد الطبيعية.

الإجابة: س2: ✓ صح

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** مبدأ الاستقراء الرياضي هو طريقة منهجية تستخدم لإثبات صحة جملة أو عبارة لجميع الأعداد الطبيعية. يعتمد على خطوتين: إثبات صحة الجملة للعدد الأول (مثل n=1)، ثم إثبات أنه إذا كانت صحيحة لعدد طبيعي k فهي صحيحة للعدد التالي k+1. وبالتالي العبارة صحيحة.

سؤال س3: الأوساط الحسابية للمتتابعة، هي الحدود الموجودة بين أي حدين غير متتاليين في متتابعة حسابية.

الإجابة: س3: ✓ صح

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** في المتتابعة الحسابية، الأوساط الحسابية هي الحدود التي تُدرج بين حدين غير متتاليين بحيث تشكل متتابعة حسابية جديدة. مثلاً، بين العددين 2 و 8، إذا أردنا إدراج وسطين حسابيين، يكونان 4 و 6 لأن الفرق ثابت (2). إذن العبارة صحيحة.

سؤال س4: الحد هو سلسلة من الأعداد مرتبة بطريقة معينة.

الإجابة: س4: X خطأ والصواب: المتتابعة

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** لنفرق بين المصطلحات: الحد هو عنصر واحد في سلسلة، مثل العدد 5 في المتتابعة 5، 10، 15. أما السلسلة من الأعداد المرتبة بطريقة معينة (مثل بفارق ثابت أو بنسبة ثابتة) فهي المتتابعة. لذلك العبارة خاطئة، والصواب هو "المتتابعة".

سؤال س5: يُسمى مجموع أول n حدًا من متسلسلة، المجموع الجزئي.

الإجابة: س5: ✓ صح

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** المجموع الجزئي لمتسلسلة هو مجموع عدد محدد من حدودها، مثلاً إذا كانت المتسلسلة 1+2+3+...، فإن المجموع الجزئي لأول 3 حدود هو 1+2+3=6. وهنا العبارة تشير إلى مجموع أول n حدًا، وهذا تعريف صحيح للمجموع الجزئي.

سؤال س6: المتتابعة الهندسية هي متتابعة نحصل على كل حدّ فيها بإضافة قيمة ثابتة إلى الحد السابق.

الإجابة: س6: X خطأ والصواب: المتتابعة الحسابية

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** لنتذكر أنواع المتتابعات: في المتتابعة الحسابية، نحصل على كل حد بإضافة قيمة ثابتة (الفرق المشترك) إلى الحد السابق، مثل 2، 5، 8 حيث الفرق 3. أما في المتتابعة الهندسية، نحصل على كل حد بضرب الحد السابق في قيمة ثابتة (النسبة المشتركة)، مثل 2، 6، 18 حيث النسبة 3. لذلك العبارة خاطئة، والصواب هو "المتتابعة الحسابية".

سؤال س7: تُسمى المتسلسلة الهندسية اللانهائية التي لا يمكن إيجاد مجموع لها، متسلسلة متقاربة.

الإجابة: س7: X خطأ والصواب: متسلسلة متباعدة

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** المتسلسلة الهندسية اللانهائية تكون متقاربة إذا كانت النسبة المشتركة r تحقق |r| < 1، حيث يمكن إيجاد مجموعها. أما إذا كانت |r| ≥ 1، فلا يمكن إيجاد مجموع محدد (يتجه إلى اللانهاية أو يتذبذب)، وتسمى متباعدة. العبارة تقول "لا يمكن إيجاد مجموع لها" وتسميها متقاربة، وهذا تناقض، لذا هي خاطئة والصواب "متسلسلة متباعدة".

سؤال س8: 17 , 11 هما وسطان هندسيان بين العددين 23 , 5 في المتتابعة . 5 , 11 , 17 , 23

الإجابة: س8: X خطأ والصواب: وسطان حسابيان

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن الأوساط بين عددين يمكن أن تكون حسابية (بفارق ثابت) أو هندسية (بنسبة ثابتة). **الخطوة 2 (التحقق):** لدينا المتتابعة: 5، 11، 17، 23. نحسب الفرق بين الحدود: 11-5=6، 17-11=6، 23-17=6. الفرق ثابت (6)، فهي متتابعة حسابية. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن 11 و 17 هما وسطان حسابيان بين 5 و 23، وليسا وسطين هندسيين. العبارة خاطئة والصواب "وسطان حسابيان".

سؤال س9: باستعمال نظرية ذات الحدين فإن: $(x - 2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$.

الإجابة: س9: ✓ صح

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نظرية ذات الحدين تعطينا مفكوك $(a+b)^n$ باستخدام المعاملات الثنائية. هنا لدينا $(x-2)^4$، حيث a=x و b=-2 و n=4. **الخطوة 2 (التطبيق):** باستخدام النظرية: $(x-2)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} (-2)^k$. نحسب الحدود: - k=0: $\binom{4}{0} x^4 (-2)^0 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4$ - k=1: $\binom{4}{1} x^3 (-2)^1 = 4 \cdot x^3 \cdot (-2) = -8x^3$ - k=2: $\binom{4}{2} x^2 (-2)^2 = 6 \cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2$ - k=3: $\binom{4}{3} x^1 (-2)^3 = 4 \cdot x \cdot (-8) = -32x$ - k=4: $\binom{4}{4} x^0 (-2)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 16 = 16$ **الخطوة 3 (النتيجة):** بجمع الحدود: $x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$. هذا مطابق للعبارة المعطاة، إذن العبارة صحيحة.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما الخطوة الأولى لحل نظام معادلات خطية باستخدام المصفوفات والحاسبة البيانية؟

  • أ) حل النظام جبرياً باستخدام التعويض أو الحذف.
  • ب) إدخال مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت في الحاسبة.
  • ج) رسم المعادلتين بيانياً وإيجاد نقطة التقاطع.
  • د) حساب محدد مصفوفة المعاملات أولاً.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إدخال مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت في الحاسبة.

الشرح: 1. النظام الخطي يُكتب على الصورة AX = B، حيث A مصفوفة المعاملات و B مصفوفة الثوابت. 2. الخطوة الأولى هي إدخال هاتين المصفوفتين في الحاسبة البيانية. 3. ثم استخدام النظير الضربي لإيجاد الحل X = A⁻¹B.

تلميح: فكر في كيفية تمثيل النظام في صورة مصفوفية.

التصنيف: خطوات | المستوى: سهل

إذا كان نظام المعادلات x + y = 100 و 1.50x + 1.45y = 147.25 يمثل شراء وقود، فماذا تمثل المتغيرات x و y؟

  • أ) x تمثل سعر اللتر من المحطة الأولى، و y تمثل سعر اللتر من المحطة الثانية.
  • ب) x تمثل عدد اللترات من المحطة الأولى، و y تمثل عدد اللترات من المحطة الثانية.
  • ج) x تمثل التكلفة الإجمالية من المحطة الأولى، و y تمثل التكلفة الإجمالية من المحطة الثانية.
  • د) x و y يمثلان النسبة المئوية للوقود من كل محطة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: x تمثل عدد اللترات من المحطة الأولى، و y تمثل عدد اللترات من المحطة الثانية.

الشرح: 1. المسألة تتحدث عن تزويد سيارة بالوقود من محطتين. 2. المعادلة الأولى تمثل مجموع اللترات (x + y = 100). 3. المعادلة الثانية تمثل التكلفة الإجمالية بناءً على سعر اللتر من كل محطة. 4. إذن x و y هما كميات الوقود من كل مصدر.

تلميح: انظر إلى سياق المسألة المطروحة في النص.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما الصيغة المصفوفية الصحيحة لنظام المعادلات الخطية الذي يمكن حله باستخدام النظير الضربي؟

  • أ) XA = B، حيث X = BA⁻¹
  • ب) AX = B، حيث X = A⁻¹B
  • ج) X = AB
  • د) A = XB⁻¹

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: AX = B، حيث X = A⁻¹B

الشرح: 1. أي نظام معادلات خطية يمكن كتابته على الصورة AX = B. 2. A هي مصفوفة معاملات المتغيرات. 3. X هي مصفوفة (عمود) المجهولات. 4. B هي مصفوفة (عمود) الثوابت. 5. إذا كان لـ A نظير ضربي (A⁻¹)، فإن الحل هو X = A⁻¹B.

تلميح: تذكر العلاقة بين مصفوفة المعاملات ومصفوفة المجهولات ومصفوفة الثوابت.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الفرق الأساسي بين حل نظام معادلات خطية جبرياً وحله باستخدام المصفوفات والحاسبة البيانية كما ورد في النص؟

  • أ) الحل الجبري يعطي إجابة دقيقة دائماً، بينما الحل بالمصفوفات يعطي تقريباً.
  • ب) الحل باستخدام المصفوفات والحاسبة يكون أسرع وأسهل، خاصة للأنظمة الأكثر تعقيداً.
  • ج) الحل الجبري هو الطريقة الوحيدة التي تعطي حلاً، بينما المصفوفات تستخدم للتحقق فقط.
  • د) لا يوجد فرق، كلتا الطريقتين تتطلبان نفس الوقت والجهد.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الحل باستخدام المصفوفات والحاسبة يكون أسرع وأسهل، خاصة للأنظمة الأكثر تعقيداً.

الشرح: 1. الحل الجبري (كالتعويض أو الحذف) يتطلب خطوات يدوية وقد يكون عرضة للخطأ. 2. الحل باستخدام المصفوفات يتطلب إدخال البيانات في الحاسبة البيانية واستخدام وظيفة النظير الضربي. 3. الطريقة الثانية أسرع وأقل عرضة للأخطاء الحسابية، خاصة مع زيادة عدد المعادلات والمتغيرات.

تلميح: قارن بين الطريقتين من حيث الجهد والوقت.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: متوسط