📝 ملخص الصفحة
📚 اختبار تراكمي - الفصل 2
المفاهيم الأساسية
* النظير الضربي للمصفوفة: يوجد فقط إذا كان محدد المصفوفة لا يساوي الصفر.
* منطقة حل نظام المتباينات: المنطقة على المستوى الإحداثي التي تحقق جميع المتباينات في النظام.
* المعادلة المصفوفية: يمكن حلها باستخدام النظير الضربي للمصفوفة (إذا وجد).
خريطة المفاهيم
```markmap
اختبار تراكمي - الفصل 2
أسئلة ذات إجابات قصيرة
9: النظير الضربي للمصفوفة
#### المصفوفة: B = [3 -2; -9 6]
#### الشرح: هل يوجد نظير ضربي؟ ولماذا؟
10: حساب محدد مصفوفة 3×3
#### المصفوفة: W = [3 1 0; 2 5 -4; 0 -1 1]
أسئلة ذات إجابات مطولة
11: تطبيق (نظام المتباينات)
#### تمثيل أرضية حديقة
#### النظام: x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 16, y ≤ 20, x + y ≤ 32
#### المطلوب: إيجاد المساحة بالقدم المربعة
12: تطبيق (المعادلات المصفوفية)
#### مسألة القطع النقدية
#### المعطيات: 14 قطعة، قيمتها 10.5 ريالات (ريالات وأنصاف ريالات)
#### المطلوب:
##### a) كتابة نظام المعادلات
##### b) كتابة المعادلة المصفوفية
##### c) الحل باستخدام النظير الضربي
13: البرمجة الخطية
#### تمثيل نظام المتباينات بيانياً
#### النظام: x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 14, 3x + 4y ≤ 36
#### إيجاد رؤوس منطقة الحل
#### إيجاد القيمة العظمى للدالة: f(x, y) = 8x + 12y
14: ضرب المصفوفات
#### وصف شروط إمكانية ضرب مصفوفتين
#### إعطاء مثال على الحالتين (يمكن ولا يمكن)
```
نقاط مهمة
* الصفحة تحتوي على اختبار تراكمي يغطي مواضيع الفصل الثاني.
* الأسئلة تنقسم إلى نوعين: أسئلة ذات إجابات قصيرة وأسئلة ذات إجابات مطولة تتطلب توضيح خطوات الحل.
* تتضمن الأسئلة تطبيقات عملية على المصفوفات وأنظمة المتباينات والبرمجة الخطية.
* يوجد قسم مرجعي بعنوان "هل تحتاج إلى مساعدة إضافية؟" يشير إلى أرقام الدروس السابقة المرتبطة بكل سؤال.
📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
أسئلة ذات إجابات قصيرة
نوع: محتوى تعليمي
أجب عن كل مما يأتي:
9
نوع: محتوى تعليمي
هل يوجد للمصفوفة B نظير ضربي؟ فسر إجابتك.
B = [
3 -2
-9 6
]
10
نوع: محتوى تعليمي
احسب قيمة محددة المصفوفة:
W = [
3 1 0
2 5 -4
0 -1 1
]
أسئلة ذات إجابات مطولة
نوع: محتوى تعليمي
أجب عن كل مما يأتي موضحاً خطوات الحل:
11
نوع: QUESTION_ACTIVITY
يستعمل حمد شبكة إحداثيات أرضية لتصمم حديقة منزله. فإذا كانت
الأرضية تمثل حل نظام المتباينات
32 + y ≤ x - , 0 ≤ y , 16 ≤ x , 0 ≤ x
20 ≤ y , x ≤
، وكانت كل وحدة تمثل قدماً واحدة على الأرض، فما مساحة الأرضية بالقدم المربعة؟
12
نوع: محتوى تعليمي
مع عمر 14 قطعة نقدية من فئة الريال، ونصف الريال. فإذا كانت
القيمة الكلية لهذه القطع النقدية هي 10.5 ريالات، فاستعمل هذه
المعلومات للإجابة عن كل سؤال مما يأتي:
a) افترض أن d تمثل عدد الريالات التي يملكها عمر و q عدد
أنصاف الريالات التي يملكها. اكتب نظام معادلات يمثل هذه
الحالة.
b) اكتب معادلة مصفوفية يمكن أن تستعمل لإيجاد قيم كل
من q و d.
c) حل المعادلة المصفوفية في الفرع b باستعمال النظير الضربي.
ما عدد الريالات وأنصاف الريالات التي يملكها عمر؟
13
نوع: محتوى تعليمي
مثل بيانياً نظام المتباينات الآتي، ثم حدد رؤوس منطقة الحل
وجد القيمة العظمى للدالة المعطاة في منطقة الحل:
x ≥ 0, y ≥ 0
x + 2y ≤ 14
3x + 4y ≤ 36
f(x, y) = 8x + 12y
14
نوع: محتوى تعليمي
صف بالكلمات متى يمكن ضرب مصفوفتين، ومتى لا يمكن
ضربهما، وأعط مثالاً على ذلك.
هل تحتاج إلى مساعدة إضافية؟
نوع: محتوى تعليمي
إذا لم تستطع حل سؤال...
فعد إلى...
نوع: محتوى تعليمي
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2-3
1-6
2-5
1-5
2-4
2-5
2-1
1-4
2-1
1-5
2-4
1-3
2-3
2-2
نوع: METADATA
وزارة التعليم
Ministry of Education
105
الفصل 2 اختبار تراكمي
2023-1447
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 10 بطاقة لهذه الصفحة
هل يوجد للمصفوفة B نظير ضربي؟ فسر إجابتك. حيث B = [[3, -2], [-9, 6]]
- أ) نعم، لأن محدد المصفوفة موجب.
- ب) لا يوجد، لأن محدد المصفوفة يساوي صفر.
- ج) نعم، لأن جميع عناصرها أعداد صحيحة.
- د) لا يوجد، لأن المصفوفة ليست مربعة.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: لا يوجد، لأن محدد المصفوفة يساوي صفر.
الشرح: ١. محدد المصفوفة B = (3×6) - ((-2)×(-9)) = 18 - 18 = 0.
٢. شرط وجود النظير الضربي للمصفوفة هو أن يكون محددها ≠ 0.
٣. بما أن محدد B = 0، فلا يوجد لها نظير ضربي.
تلميح: تذكر شرط وجود النظير الضربي للمصفوفة.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
مع عمر 14 قطعة نقدية من فئة الريال، ونصف الريال. القيمة الكلية 10.5 ريالات. إذا كانت d تمثل عدد الريالات و q عدد أنصاف الريالات، فما نظام المعادلات الذي يمثل هذه الحالة؟
- أ) d + q = 14، 0.5d + q = 10.5
- ب) d + q = 14، d + 0.5q = 10.5
- ج) d + q = 10.5، d + 0.5q = 14
- د) 0.5d + q = 14، d + q = 10.5
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: d + q = 14، d + 0.5q = 10.5
الشرح: ١. معادلة عدد القطع: عدد الريالات + عدد أنصاف الريالات = 14 ← d + q = 14.
٢. معادلة القيمة: قيمة الريالات (d × 1) + قيمة أنصاف الريالات (q × 0.5) = 10.5 ← d + 0.5q = 10.5.
تلميح: فكّر في معادلة واحدة لعدد القطع، ومعادلة أخرى لقيمتها الإجمالية.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل
صف بالكلمات متى يمكن ضرب مصفوفتين، ومتى لا يمكن ضربهما، وأعط مثالاً على ذلك.
- أ) يمكن ضربهما عندما يكون لهما نفس عدد الصفوف والأعمدة. مثال: مصفوفتان 2×2.
- ب) يمكن ضربهما عندما يكون عدد صفوف الأولى يساوي عدد أعمدة الثانية. مثال: مصفوفة 3×2 في مصفوفة 2×3.
- ج) يمكن ضربهما عندما يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية. مثال: مصفوفة 2×3 في مصفوفة 3×2.
- د) يمكن ضربهما فقط عندما تكونا مربعتين من نفس الرتبة. مثال: مصفوفتان 3×3.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: يمكن ضربهما عندما يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية. مثال: مصفوفة 2×3 في مصفوفة 3×2.
الشرح: ١. شرط ضرب المصفوفات: عدد أعمدة المصفوفة الأولى = عدد صفوف المصفوفة الثانية.
٢. إذا تحقق الشرط، تكون أبعاد المصفوفة الناتجة: عدد صفوف الأولى × عدد أعمدة الثانية.
٣. مثال ممكن: A أبعادها 2×3، B أبعادها 3×4 ← الضرب ممكن والناتج 2×4.
٤. مثال غير ممكن: A أبعادها 2×3، B أبعادها 2×3 ← الضرب غير ممكن.
تلميح: تذكر شرط توافق الأبعاد لضرب المصفوفات.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
مع عمر 14 قطعة نقدية من فئة الريال، ونصف الريال. القيمة الكلية 10.5 ريالات. إذا كانت d تمثل عدد الريالات و q عدد أنصاف الريالات، فما معادلة المصفوفة التي يمكن استعمالها لإيجاد قيم q و d؟
- أ) [[1, 0.5], [1, 1]] × [[d], [q]] = [[14], [10.5]]
- ب) [[1, 1], [1, 0.5]] × [[d], [q]] = [[14], [10.5]]
- ج) [[d], [q]] × [[1, 1], [1, 0.5]] = [[14], [10.5]]
- د) [[1, 1], [0.5, 1]] × [[d], [q]] = [[14], [10.5]]
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: [[1, 1], [1, 0.5]] × [[d], [q]] = [[14], [10.5]]
الشرح: ١. نظام المعادلات من المعطيات: d + q = 14 (عدد القطع)، و 1×d + 0.5×q = 10.5 (القيمة).
٢. في صيغة المصفوفة AX = B:
- A = مصفوفة معاملات d و q: [[1, 1], [1, 0.5]]
- X = مصفوفة المجاهيل: [[d], [q]]
- B = مصفوفة النتائج: [[14], [10.5]]
٣. المعادلة المصفوفية هي: [[1, 1], [1, 0.5]] × [[d], [q]] = [[14], [10.5]].
تلميح: حوّل نظام المعادلات الخطية إلى صيغة AX = B، حيث A مصفوفة المعاملات، X مصفوفة المجاهيل، B مصفوفة الثوابت.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
حل المعادلة المصفوفية [[1, 1], [1, 0.5]] × [[d], [q]] = [[14], [10.5]] باستعمال النظير الضربي. ما عدد الريالات (d) وأنصاف الريالات (q) التي يملكها عمر؟
- أ) d = 5, q = 9
- ب) d = 6, q = 8
- ج) d = 7, q = 7
- د) d = 8, q = 6
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: d = 7, q = 7
الشرح: ١. المصفوفة A = [[1, 1], [1, 0.5]]. محدده = (1×0.5) - (1×1) = 0.5 - 1 = -0.5.
٢. نظير A الضربي = (1/-0.5) × [[0.5, -1], [-1, 1]] = [[-1, 2], [2, -2]].
٣. X = A⁻¹ × B = [[-1, 2], [2, -2]] × [[14], [10.5]] = [[(-1×14)+(2×10.5)], [(2×14)+(-2×10.5)]] = [[-14+21], [28-21]] = [[7], [7]].
٤. إذن d = 7, q = 7.
تلميح: أوجد نظير المصفوفة A = [[1, 1], [1, 0.5]]، ثم اضربه في B = [[14], [10.5]] لإيجاد X = [[d], [q]].
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
ما الشرط الأساسي الذي يجب تحققه لضرب مصفوفتين A و B؟
- أ) يجب أن يكون عدد صفوف المصفوفتين متساوياً.
- ب) يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساوياً لعدد صفوف المصفوفة الثانية.
- ج) يجب أن تكون المصفوفتان مربعتين ونفس الحجم.
- د) لا يوجد شرط خاص، يمكن ضرب أي مصفوفتين.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساوياً لعدد صفوف المصفوفة الثانية.
الشرح: ١. لضرب مصفوفتين A و B، يجب أن يكون عدد الأعمدة في A مساوياً لعدد الصفوف في B.
٢. إذا كانت أبعاد A هي m × n (m صف، n عمود)، وأبعاد B هي p × q، فإن الشرط هو n = p.
٣. إذا تحقق الشرط، ستكون أبعاد المصفوفة الناتجة C هي m × q.
تلميح: تذكر أبعاد المصفوفات. إذا كانت A من بعد m×n، فما البعد المطلوب لـ B؟
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
في مسألة قطع عمر النقدية (14 قطعة، قيمتها 10.5 ريالات)، إذا كانت d عدد الريالات و q عدد أنصاف الريالات، فما المعادلة المصفوفية التي تمثل النظام؟
- أ) [[1, 0.5], [1, 1]] × [[d], [q]] = [[14], [10.5]]
- ب) [[1, 1], [1, 0.5]] × [[d], [q]] = [[14], [10.5]]
- ج) [[d, q], [1, 0.5]] × [[1], [1]] = [[14], [10.5]]
- د) [[1, 1], [0.5, 1]] × [[14], [10.5]] = [[d], [q]]
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: [[1, 1], [1, 0.5]] × [[d], [q]] = [[14], [10.5]]
الشرح: ١. من النظام الخطي:
معادلة عدد القطع: d + q = 14
معادلة القيمة: 1×d + 0.5×q = 10.5
٢. معاملات d و q في المعادلة الأولى: 1 و 1.
٣. معاملات d و q في المعادلة الثانية: 1 و 0.5.
٤. مصفوفة المعاملات A = [[1, 1], [1, 0.5]].
٥. مصفوفة المجاهيل X = [[d], [q]].
٦. مصفوفة الثوابت B = [[14], [10.5]].
٧. المعادلة المصفوفية: A × X = B.
تلميح: المعادلة المصفوفية العامة هي A × X = B، حيث A مصفوفة المعاملات، X مصفوفة المجاهيل، B مصفوفة الثوابت.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
في مسألة قطع عمر النقدية، بعد كتابة المعادلة المصفوفية [[1, 1], [1, 0.5]] × [[d], [q]] = [[14], [10.5]]، ما عدد الريالات (d) وأنصاف الريالات (q) التي يملكها عمر؟
- أ) d = 5, q = 9
- ب) d = 7, q = 7
- ج) d = 8, q = 6
- د) d = 10, q = 4
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: d = 7, q = 7
الشرح: ١. المعادلة: A × X = B، حيث A = [[1, 1], [1, 0.5]].
٢. أوجد محدد A: (1×0.5) - (1×1) = 0.5 - 1 = -0.5.
٣. النظير الضربي A⁻¹ = (1/-0.5) × [[0.5, -1], [-1, 1]] = -2 × [[0.5, -1], [-1, 1]] = [[-1, 2], [2, -2]].
٤. الحل: X = A⁻¹ × B = [[-1, 2], [2, -2]] × [[14], [10.5]].
٥. احسب: العنصر الأول = (-1×14) + (2×10.5) = -14 + 21 = 7 = d.
٦. العنصر الثاني = (2×14) + (-2×10.5) = 28 - 21 = 7 = q.
٧. إذن عمر يملك ٧ ريالات و ٧ أنصاف ريالات.
تلميح: استخدم النظير الضربي لمصفوفة المعاملات لحل المعادلة المصفوفية X = A⁻¹ × B.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
هل يوجد للمصفوفة B نظير ضربي؟ فسر إجابتك.
B = [
3 -2
-9 6
]
- أ) نعم، لأن قيمة محددتها تساوي 36.
- ب) لا، لأن قيمة محددتها تساوي 0.
- ج) نعم، لأن قيمة محددتها تساوي 18.
- د) لا، لأن قيمة محددتها تساوي -36.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: لا، لأن قيمة محددتها تساوي 0.
الشرح: ١. نحسب قيمة محددة المصفوفة B بضرب عناصر القطر الرئيسي وطرح حاصل ضرب عناصر القطر الآخر منها.
٢. المحددة = (3 × 6) - (-2 × -9) = 18 - 18 = 0.
٣. بما أن قيمة المحددة تساوي صفراً، فإن المصفوفة تسمى مصفوفة منفردة، وبالتالي لا يوجد لها نظير ضربي.
تلميح: تذكر أن المصفوفة المربعة يكون لها نظير ضربي فقط إذا كانت قيمة محددتها لا تساوي صفراً.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
هل يوجد للمصفوفة $B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -9 & 6 \end{bmatrix}$ نظير ضربي؟ فسر إجابتك.
- أ) يوجد لها نظير ضربي؛ لأن قيمة محددتها تساوي ٣٦.
- ب) لا يوجد لها نظير ضربي؛ لأن قيمة محددتها تساوي صفراً.
- ج) لا يوجد لها نظير ضربي؛ لأن قيمة محددتها تساوي ١٨.
- د) يوجد لها نظير ضربي؛ لأنها مصفوفة مربعة من الرتبة ٢×٢.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: لا يوجد لها نظير ضربي؛ لأن قيمة محددتها تساوي صفراً.
الشرح: ١. نحسب قيمة محددة المصفوفة B باستخدام الصيغة: (3 × 6) - (-2 × -9).
٢. بالتبسيط: 18 - 18 = 0.
٣. بما أن قيمة المحدد تساوي صفراً، فإن المصفوفة منفردة.
٤. النتيجة: لا يوجد للمصفوفة نظير ضربي.
تلميح: تذكر أن المصفوفة المربعة لها نظير ضربي فقط إذا كانت قيمة محددتها (ad - bc) لا تساوي صفراً.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط