الأعداد المركبة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الأعداد المركبة

المفاهيم الأساسية

الوحدة التخيلية (i): الجذر التربيعي الموجب للعدد -1. أي أن i = \sqrt{-1} و i^2 = -1.

العدد التخيلي البحت: عدد على الصورة bi، حيث b عدد حقيقي موجب. وهو جذر تربيعي لعدد حقيقي سالب.

العدد المركب: عدد على الصورة a + bi، حيث a و b أعداد حقيقية.

المركبان المترافقان: عددان مركبان لهما الجزء الحقيقي نفسه، وجزءهما التخيلي متعاكسان.

خريطة المفاهيم

```markmap

الأعداد المركبة

المقدمة

الهدف من الدرس

#### إجراء العمليات على الأعداد التخيلية البحتة

#### إجراء العمليات على الأعداد المركبة

لماذا ندرسها؟

#### بعض المعادلات ليس لها حلول حقيقية

##### مثال: y = x^2 + 2x + 4

###### الرسم البياني لا يقطع المحور السيني

###### الآلة الحاسبة تظهر "خطأ" عند البحث عن جذور حقيقية

###### لها حلول تخيلية

المفردات

الوحدة التخيلية (i)

العدد التخيلي البحت

العدد المركب

المركبان المترافقان

الأعداد التخيلية البحتة

تعريفها

#### i = \sqrt{-1}

#### i^2 = -1

تبسيط الجذور التربيعية للأعداد السالبة

#### قاعدة: لأي عدد حقيقي موجب b

##### \sqrt{-b^2} = \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{-1} = bi

#### مثال 1: تبسيط الجذور

##### (أ) \sqrt{-27} = 3i\sqrt{3}

##### (ب) \sqrt{-216} = 6i\sqrt{6}

خصائصها

#### تحقق الخاصيتين التجميعية والتبديلية على الضرب

قوى الوحدة التخيلية (i)

#### i^1 = i

#### i^2 = -1

#### i^3 = -i

#### i^4 = 1

#### النمط يتكرر كل 4 قوى

```

نقاط مهمة

• المهارة السابقة المطلوبة لهذا الدرس هي تبسيط الجذور التربيعية.
• الوحدة التخيلية (i) هي أساس تعريف الأعداد التخيلية والمركبة.
• لتبسيط جذر عدد سالب (مثل \sqrt{-27})، اكتبه على صورة \sqrt{-1} \cdot \sqrt{27} ثم بسط.
• قوى i دورية (تتكرر): i, -1, -i, 1, i, -1, ....

الأعداد المركبة Complex Numbers

فيما سبق :

درست تبسيط الجذور التربيعية. ( مهارة سابقة)

والآن :

- أُجري العمليات على الأعداد التخيلية البحتة. - أُجري العمليات على الأعداد المركبة.

المفردات

الوحدة التخيلية imaginary unit

العدد التخيلي البحت pure imaginary number

العدد المركب complex number

المركبان المترافقان complex conjugates

لماذا ؟

بالنظر إلى الشكل المجاور، تلاحظ أن التمثيل البياني للمعادلة 4 + y = x 2 + x لا يقطع المحور x ، لذا ليس للمعادلة جذور حقيقية، فهل يعني ذلك أنه ليس للمعادلة حلول؟

للتأكد من ذلك استعمل الآلة الحاسبة بالضغط على مفتاح ، ومنها اختر ستند جديد ثم اختر إضافة تطبيق الحاسبة ثم اضغط menu واختر منها العمليات الجبرية 3 ادوات كثيرات الحدود 2 الجذور الحقيقية لكثيرات الحدود

ثم أدخل 4 + x 2 + x واضغط فيظهر على الشاشة كلمة خطأ، وهذا يعني أنه لا توجد حلول حقيقية للمعادلة، ولكن هناك حلول تخيلية.

الأعداد التخيلية البحتة :

قادت المعادلات "كالمعادلة السابقة" الرياضيين إلى تعريف الأعداد التخيلية، ووحدتها التخيلية 1 ، حيث تعرف الوحدة التخيلية 1 على أنها الجذر التربيعي الموجب للعدد 1- ، وبعبارة أخرى فإن 1-i = V ، وهذا يعني أن 1 - = 2 1 والأعداد في الصورة 23 ، تسمى أعدادًا تخيلية بحتة، وهي جذور تربيعية لأعداد حقيقية سالبة. √-b² = √b² • √−1 = bi :لأي عدد حقيقي موجب مثل ، فإن

مثال 1

الجذور التربيعية للأعداد السالبة بسط كلا مما يأتي :

√-27 (a √-27=V-1.32.3 = √-1.√32.√3 = 1.3.√3 = 3i√3

= √-216 (b V-216 V-1.62.6 = V-1.√62 √6 = 1.6.√6 = 6i√6

تحقق من فهمك

√-18 (1A

√-125 (1B

تحقق الأعداد التخيلية البحتة كلا من الخاصيتين (التجميعية والتبديلية) على الضرب، ويبين الجدول الآتي بعض قوى الوحدة التخيلية 1:

Table of powers of i

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

الأعداد المركبة Complex Numbers --- SECTION: فيما سبق : --- فيما سبق : درست تبسيط الجذور التربيعية. ( مهارة سابقة) --- SECTION: والآن : --- والآن : - أُجري العمليات على الأعداد التخيلية البحتة. - أُجري العمليات على الأعداد المركبة. --- SECTION: المفردات --- المفردات --- SECTION: الوحدة التخيلية --- الوحدة التخيلية imaginary unit --- SECTION: العدد التخيلي البحت --- العدد التخيلي البحت pure imaginary number --- SECTION: العدد المركب --- العدد المركب complex number --- SECTION: المركبان المترافقان --- المركبان المترافقان complex conjugates --- SECTION: لماذا ؟ --- لماذا ؟ بالنظر إلى الشكل المجاور، تلاحظ أن التمثيل البياني للمعادلة 4 + y = x 2 + x لا يقطع المحور x ، لذا ليس للمعادلة جذور حقيقية، فهل يعني ذلك أنه ليس للمعادلة حلول؟ للتأكد من ذلك استعمل الآلة الحاسبة بالضغط على مفتاح ، ومنها اختر ستند جديد ثم اختر إضافة تطبيق الحاسبة ثم اضغط menu واختر منها العمليات الجبرية 3 ادوات كثيرات الحدود 2 الجذور الحقيقية لكثيرات الحدود ثم أدخل 4 + x 2 + x واضغط فيظهر على الشاشة كلمة خطأ، وهذا يعني أنه لا توجد حلول حقيقية للمعادلة، ولكن هناك حلول تخيلية. --- SECTION: الأعداد التخيلية البحتة --- الأعداد التخيلية البحتة : قادت المعادلات "كالمعادلة السابقة" الرياضيين إلى تعريف الأعداد التخيلية، ووحدتها التخيلية 1 ، حيث تعرف الوحدة التخيلية 1 على أنها الجذر التربيعي الموجب للعدد 1- ، وبعبارة أخرى فإن 1-i = V ، وهذا يعني أن 1 - = 2 1 والأعداد في الصورة 23 ، تسمى أعدادًا تخيلية بحتة، وهي جذور تربيعية لأعداد حقيقية سالبة. √-b² = √b² • √−1 = bi :لأي عدد حقيقي موجب مثل ، فإن --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 الجذور التربيعية للأعداد السالبة بسط كلا مما يأتي : --- SECTION: a --- √-27 (a √-27=V-1.32.3 = √-1.√32.√3 = 1.3.√3 = 3i√3 --- SECTION: b --- = √-216 (b V-216 V-1.62.6 = V-1.√62 √6 = 1.6.√6 = 6i√6 --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 1A --- √-18 (1A --- SECTION: 1B --- √-125 (1B تحقق الأعداد التخيلية البحتة كلا من الخاصيتين (التجميعية والتبديلية) على الضرب، ويبين الجدول الآتي بعض قوى الوحدة التخيلية 1: Table of powers of i رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Table of powers of i Description: Table showing powers of the imaginary unit i Table Structure: Headers: N/A Rows: Row 1: i¹ = i | i² = -1 | i³ = i² i = -i | i⁴ = (i²)² = 1 Row 2: i⁵ = (i²)² . i = i | i⁶ = (i²)³ = -1 | i⁷ = (i²)³. i = -i | i⁸ = (i²)⁴ = 1 Context: Illustrates the cyclical nature of powers of i **GRAPH**: Graph of y = x^2 + 2x + 4 Description: Parabola that does not intersect the x-axis Table Structure: Headers: N/A Rows: X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates a quadratic equation with no real roots **IMAGE**: Calculator screen showing 'Error' Description: Calculator screen showing 'Error: No real roots' Table Structure: Headers: N/A Rows: Context: Demonstrates the calculator's response to a quadratic with no real roots