مثال 2 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: الأعداد أدناه متتابعة مشهورة في الرياضيات كما تعلم وهي: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... متتابعة فيبوناشي. ما الحد التالي في هذه المتتابعة؟ أ 36 ب 34 ج 31 د 29

الإجابة: 34 (ب)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا متتابعة الأعداد: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... - نعلم أن هذه المتتابعة تُسمى متتابعة فيبوناشي.
2. **الخطوة 2 (القاعدة):** نتذكر قاعدة متتابعة فيبوناشي: $$الحد\ (n) = الحد\ (n-1) + الحد\ (n-2)$$ أي أن كل حد يساوي مجموع الحدين السابقين له مباشرة.
3. **الخطوة 3 (الحل):** لنطبق القاعدة على آخر حدين معطيين: - الحد السابع = 13 - الحد الثامن = 21 الحد التالي (التاسع) = 13 + 21 $$الحد\ التالي = 34$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الحد التالي في المتتابعة هو: **34**

سؤال 2: ما العدد المفقود في الجدول أدناه؟ n | A --|-- 0 | 3 1 | 8 2 | 13 3 | ? 4 | 23 5 | 28 6 | 33 أ 17 ب 20 ج 18 د 21

الإجابة: 20 (ب)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا جدول بقيمتين: n و A. - القيم المعطاة: n=0 → A=3 n=1 → A=8 n=2 → A=13 n=4 → A=23 n=5 → A=28 n=6 → A=33 - المطلوب: إيجاد قيمة A عندما n=3.
2. **الخطوة 2 (إيجاد النمط):** لنبحث عن العلاقة بين n و A. نلاحظ الفرق بين قيم A المتتالية: من n=0 إلى n=1: 8 - 3 = 5 من n=1 إلى n=2: 13 - 8 = 5 من n=4 إلى n=5: 28 - 23 = 5 من n=5 إلى n=6: 33 - 28 = 5 يبدو أن الفرق ثابت = 5. إذن، العلاقة خطية من الشكل: $$A = m \times n + c$$
3. **الخطوة 3 (إيجاد المعادلة):** بما أن الفرق ثابت (5)، فهذا هو الميل (m). لنستخدم نقطة معطاة لإيجاد c. لنأخذ n=0, A=3: $$3 = 5 \times 0 + c$$ $$c = 3$$ إذن المعادلة هي: $$A = 5n + 3$$
4. **الخطوة 4 (الحل):** نعوض n=3 في المعادلة: $$A = 5 \times 3 + 3$$ $$A = 15 + 3$$ $$A = 18$$ لنتحقق من الاتساق مع بقية القيم: n=4: A=5×4+3=23 (صحيح) n=5: A=5×5+3=28 (صحيح) n=6: A=5×6+3=33 (صحيح) إذن القيمة المفقودة عندما n=3 هي: **18**

ما تعريف العدد المركب؟

• أ) عدد يمكن كتابته على الصورة a + b؛ حيث a و b عددان حقيقيان.
• ب) عدد يمكن كتابته على الصورة a + bi؛ حيث a و b عددان حقيقيان، و i هي الوحدة التخيلية.
• ج) عدد يمكن كتابته على الصورة ai + b؛ حيث a و b عددان حقيقيان.
• د) عدد يمكن كتابته على الصورة a² + b²؛ حيث a و b عددان حقيقيان.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أي عدد يمكن كتابته على الصورة a + bi؛ حيث a و b عددان حقيقيان، و i هي الوحدة التخيلية.

الشرح: 1. العدد المركب يتكون من جزأين. 2. الجزء الأول (a) هو عدد حقيقي. 3. الجزء الثاني (b) مضروباً في الوحدة التخيلية (i). 4. الصيغة العامة هي a + bi.

تلميح: فكر في الصيغة العامة التي تجمع بين جزء حقيقي وجزء تخيلي.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما خطوات حل المعادلة 4x² + 256 = 0 لإيجاد قيم x؟

• أ) 1. قسمة الطرفين على 4. 2. أخذ الجذر التربيعي. 3. جمع 256 للطرفين.
• ب) 1. جمع 256 للطرفين. 2. قسمة الطرفين على 4. 3. أخذ الجذر التربيعي.
• ج) 1. طرح 256 من الطرفين. 2. قسمة الطرفين على 4. 3. أخذ الجذر التربيعي للطرفين (مع مراعاة الجذر التخيلي).
• د) 1. أخذ الجذر التربيعي للطرفين. 2. قسمة الطرفين على 4. 3. طرح 256.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1. طرح 256 من الطرفين. 2. قسمة الطرفين على 4. 3. أخذ الجذر التربيعي للطرفين (مع مراعاة الجذر التخيلي).

الشرح: 1. المعادلة الأصلية: 4x² + 256 = 0. 2. اطرح 256: 4x² = -256. 3. اقسم على 4: x² = -64. 4. خذ الجذر التربيعي: x = ±√(-64). 5. بسّط الجذر التخيلي: √(-64) = √(64 * -1) = 8i. 6. النتيجة: x = ±8i.

تلميح: ابدأ بعزل x²، ثم تذكر أن الجذر التربيعي لعدد سالب يعطي عدداً تخيلياً.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما قيمة i²؟ وكيف تستخدم هذه القاعدة لتبسيط -15i²؟

• أ) i² = 1. عند التعويض في -15i² نحصل على -15.
• ب) i² = -1. عند التعويض في -15i² نحصل على -15 * (-1) = 15.
• ج) i² = 0. عند التعويض في -15i² نحصل على 0.
• د) i² = i. عند التعويض في -15i² نحصل على -15i.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: i² = -1. عند التعويض في -15i² نحصل على -15 * (-1) = 15.

الشرح: 1. القاعدة الأساسية: i² = -1. 2. لدينا التعبير: -15i². 3. نعوض i² بقيمتها: -15 * (-1). 4. نضرب: 15. 5. النتيجة: 15.

تلميح: تذكر القاعدة الأساسية للوحدة التخيلية i.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما خطوات تبسيط ناتج ضرب √-6 * √-15؟

• أ) 1. جمع الأعداد تحت الجذر. 2. أخذ الجذر التربيعي للمجموع.
• ب) 1. كتابة كل جذر على صورة i√(العدد الموجب). 2. ضرب i في i ليعطي i². 3. ضرب الأعداد تحت الجذر. 4. التعويض بـ i² = -1 وتبسيط الناتج.
• ج) 1. تحويل الأعداد السالبة إلى موجبة ثم أخذ الجذر. 2. ضرب النتائج.
• د) 1. إهمال إشارة السالب تحت الجذر. 2. ضرب الجذور مباشرة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1. كتابة كل جذر على صورة i√(العدد الموجب). 2. ضرب i في i ليعطي i². 3. ضرب الأعداد تحت الجذر. 4. التعويض بـ i² = -1 وتبسيط الناتج.

الشرح: 1. √-6 = i√6 و √-15 = i√15. 2. الناتج: (i√6) * (i√15) = i² * √(6*15) = i² * √90. 3. i² = -1، إذن: -1 * √90. 4. تبسيط √90 = √(9*10) = 3√10. 5. النتيجة النهائية: -3√10.

تلميح: ابدأ بتحويل الجذر التربيعي للأعداد السالبة باستخدام i.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط