مثال 4 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال س1: 1) أوجد قيمة الحد التالي في المتتابعة الحسابية: 7, 13, 19, 25, 31, ... 36 A 37 B 38 C 39 D

الإجابة: س1: 37 (ب)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتتابعة الحسابية: 7, 13, 19, 25, 31, ... نلاحظ أن الحد الأول هو $a_1 = 7$.
2. **الخطوة 2 (إيجاد الأساس):** في المتتابعة الحسابية، الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت ويسمى الأساس (d). لنحسب: $d = 13 - 7 = 6$ أو $d = 19 - 13 = 6$. إذن الأساس $d = 6$.
3. **الخطوة 3 (صيغة الحد النوني):** صيغة الحد النوني في المتتابعة الحسابية هي: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ حيث $a_1$ هو الحد الأول و $d$ هو الأساس.
4. **الخطوة 4 (تحديد الحد المطلوب):** المتتابعة المعطاة هي: 7, 13, 19, 25, 31, ... الحدود المعطاة هي: $a_1=7$, $a_2=13$, $a_3=19$, $a_4=25$, $a_5=31$. الحد التالي مباشرة بعد 31 هو الحد السادس ($a_6$). لذا نريد إيجاد $a_6$ حيث $n=6$.
5. **الخطوة 5 (الحساب):** بالتعويض في الصيغة: $$a_6 = 7 + (6-1) \times 6 = 7 + (5 \times 6) = 7 + 30 = 37$$
6. **الخطوة 6 (النتيجة):** إذن قيمة الحد التالي هي **37**.

سؤال س2: 2) أوجد قيمة $\sum_{k=1}^{15} (8k - 1)$ 119 A 826 B 945 C 1072 D

الإجابة: س2: 945 (ج)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب إيجاد قيمة المجموع: $$\sum_{k=1}^{15} (8k - 1)$$ هذا يعني جمع الحدود من $k=1$ إلى $k=15$ في التعبير $(8k - 1)$.
2. **الخطوة 2 (تطبيق خصائص المجاميع):** يمكن فصل المجموع إلى جزأين: $$\sum_{k=1}^{15} (8k - 1) = \sum_{k=1}^{15} 8k - \sum_{k=1}^{15} 1$$ ونعلم أن: - $\sum_{k=1}^{15} 8k = 8 \sum_{k=1}^{15} k$ - $\sum_{k=1}^{15} 1 = 15$ (لأننا نجمع العدد 1 خمس عشرة مرة).
3. **الخطوة 3 (استخدام صيغة مجموع الأعداد الطبيعية):** صيغة مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى n هي: $$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$ هنا $n=15$، لذا: $$\sum_{k=1}^{15} k = \frac{15 \times 16}{2} = \frac{240}{2} = 120$$
4. **الخطوة 4 (الحساب):** الآن نعوض: $$\sum_{k=1}^{15} 8k = 8 \times 120 = 960$$ $$\sum_{k=1}^{15} (8k - 1) = 960 - 15 = 945$$
5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن قيمة المجموع هي **945**.

سؤال س3: 3) صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية الممثلة في الجدول المجاور هي: n | an 1 | 5 2 | 10 3 | 20 4 | 40 5 | 80 $a_n = (5)^n$ A $a_n = 5(2)^{n-1}$ B $a_n = 2(5)^{n-1}$ C $a_n = 5(2)^n$ D

الإجابة: س3: (ب) $a_n = 5(2)^{n-1}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا جدول يمثل متتابعة هندسية: - عندما $n=1$، $a_n=5$ - عندما $n=2$، $a_n=10$ - عندما $n=3$، $a_n=20$ - عندما $n=4$، $a_n=40$ - عندما $n=5$، $a_n=80$
2. **الخطوة 2 (إيجاد النسبة المشتركة):** في المتتابعة الهندسية، النسبة بين أي حدين متتاليين ثابتة وتسمى النسبة المشتركة (r). لنحسب: $r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{10}{5} = 2$ أو $r = \frac{a_3}{a_2} = \frac{20}{10} = 2$. إذن النسبة المشتركة $r = 2$.
3. **الخطوة 3 (صيغة الحد النوني):** صيغة الحد النوني في المتتابعة الهندسية هي: $$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$ حيث $a_1$ هو الحد الأول و $r$ هو النسبة المشتركة.
4. **الخطوة 4 (التعويض):** هنا $a_1 = 5$ و $r = 2$، لذا: $$a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$$
5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن الصيغة الصحيحة هي **$a_n = 5(2)^{n-1}$**.

سؤال س4: 4) تدعي شركة صانعة لأحد أنواع مصافي الهواء، أن المصفاة تستطيع إزالة 90% من الشوائب في الهواء الداخل إلى المصفاة. إذا تم إدخال الكمية نفسها من الهواء إلى المصفاة 3 مرات متتابعة، فما نسبة الشوائب التي سوف تُزال؟ 0.1% A 0.01% B 99.99% C 99.9% D

الإجابة: س4: 99.9% (د)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المصفاة تزيل 90% من الشوائب في كل مرة يمر فيها الهواء. هذا يعني أن نسبة الشوائب المتبقية بعد مرور واحد هي 100% - 90% = 10% أو 0.1 من الكمية الأصلية. سيتم إدخال الهواء 3 مرات متتابعة.
2. **الخطوة 2 (نموذج الحساب):** لنفترض أن كمية الشوائب الأصلية هي 1 (أو 100%). بعد المرور الأول: - الشوائب المزالة: 0.9 - الشوائب المتبقية: 0.1 بعد المرور الثاني، المصفاة تزيل 90% من الشوائب المتبقية (0.1): - الشوائب المزالة في هذه المرحلة: 0.9 × 0.1 = 0.09 - الشوائب المتبقية بعد المرور الثاني: 0.1 - 0.09 = 0.01 بعد المرور الثالث، المصفاة تزيل 90% من الشوائب المتبقية (0.01): - الشوائب المزالة في هذه المرحلة: 0.9 × 0.01 = 0.009 - الشوائب المتبقية بعد المرور الثالث: 0.01 - 0.009 = 0.001
3. **الخطوة 3 (إيجاد نسبة الشوائب المزالة إجمالاً):** إجمالي الشوائب المزالة بعد 3 مرور = الشوائب المزالة في المرور الأول + الثانية + الثالثة. = 0.9 + 0.09 + 0.009 = 0.999 أو بطريقة أخرى: نسبة الشوائب المتبقية بعد 3 مرور هي 0.001، لذا نسبة المزالة = 1 - 0.001 = 0.999.
4. **الخطوة 4 (التحويل إلى نسبة مئوية):** 0.999 كنسبة مئوية = 0.999 × 100% = 99.9%.
5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن نسبة الشوائب التي ستُزال بعد 3 مرور هي **99.9%**.

سؤال س5: 5) أي المتسلسلات الهندسية الآتية متباعدة؟ $\sum_{k=1}^{\infty} 4 \cdot (\frac{9}{10})^{k-1}$ A $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{5} \cdot (\frac{3}{2})^{k-1}$ B $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{7}{6} \cdot (\frac{1}{3})^{k-1}$ C $\sum_{k=1}^{\infty} (-2) \cdot (\frac{5}{6})^{k-1}$ D

الإجابة: س5: (ب) $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{5} (\frac{3}{2})^{k-1}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** المتسلسلة الهندسية اللانهائية $\sum_{k=1}^{\infty} a \cdot r^{k-1}$ تكون: - متقاربة إذا كان $|r| < 1$، ومجموعها $\frac{a}{1-r}$. - متباعدة إذا كان $|r| \geq 1$.
2. **الخطوة 2 (تحليل الخيارات):** لنفحص نسبة كل متسلسلة (r): - الخيار أ: $r = \frac{9}{10} = 0.9$، و $|0.9| < 1$، إذن متقاربة. - الخيار ب: $r = \frac{3}{2} = 1.5$، و $|1.5| > 1$، إذن متباعدة. - الخيار ج: $r = \frac{1}{3} \approx 0.333$، و $|0.333| < 1$، إذن متقاربة. - الخيار د: $r = \frac{5}{6} \approx 0.833$، و $|0.833| < 1$، إذن متقاربة.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المتسلسلة الهندسية المتباعدة هي الخيار **ب** لأن نسبة $r = \frac{3}{2}$ أكبر من 1.

سؤال س6: 6) إذا علمت أن $x - 5$ عامل من عوامل كثيرة الحدود $x^3 - 7x^2 + 7x + k$ ، فما قيمة $k$؟ 1 A 7 B 15 C 35 D

الإجابة: س6: 15 (ج)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا كثيرة الحدود: $P(x) = x^3 - 7x^2 + 7x + k$ والمعطى أن $x - 5$ عامل من عواملها. هذا يعني أن $x = 5$ هو جذر لكثيرة الحدود، أي أن $P(5) = 0$.
2. **الخطوة 2 (تطبيق نظرية العامل):** إذا كان $x - c$ عاملاً لكثيرة الحدود $P(x)$، فإن $P(c) = 0$. هنا $c = 5$، لذا: $$P(5) = 0$$
3. **الخطوة 3 (التعويض):** نعوض $x = 5$ في كثيرة الحدود: $$P(5) = (5)^3 - 7(5)^2 + 7(5) + k$$ $$= 125 - 7(25) + 35 + k$$ $$= 125 - 175 + 35 + k$$
4. **الخطوة 4 (الحساب):** $$125 - 175 = -50$$ $$-50 + 35 = -15$$ إذن: $$P(5) = -15 + k$$ وبما أن $P(5) = 0$، فإن: $$-15 + k = 0$$
5. **الخطوة 5 (إيجاد k):** $$k = 15$$
6. **الخطوة 6 (النتيجة):** إذن قيمة $k$ هي **15**.

في العدد المركب a + bi، متى يكون العدد عددًا تخيليًا بحتًا؟

• أ) عندما يكون a ≠ 0 و b = 0
• ب) عندما يكون a = 0 و b ≠ 0
• ج) عندما يكون a ≠ 0 و b ≠ 0
• د) عندما يكون a = 0 و b = 0

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: عندما يكون a = 0 و b ≠ 0

الشرح: 1. العدد المركب يكون تخيليًا بحتًا عندما يكون الجزء الحقيقي (a) مساويًا للصفر. 2. والجزء التخيلي (b) لا يساوي الصفر. 3. إذا كان a = 0 و b ≠ 0، فإن العدد يكون على الصورة bi، وهو عدد تخيلي بحت.

تلميح: فكر في الحالات التي يكون فيها الجزء الحقيقي صفرًا والجزء التخيلي ليس صفرًا.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الشرط الذي يجب تحقيقه حتى يتساوى العددان المركبان a + bi و c + di؟

• أ) يجب أن يكون a = d و b = c
• ب) يجب أن يكون a = c و b = d
• ج) يجب أن يكون a + b = c + d
• د) يجب أن يكون a × b = c × d

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يجب أن يكون a = c و b = d

الشرح: 1. يتساوى عددان مركبان إذا وفقط إذا تساوت الأجزاء الحقيقية. 2. وكذلك إذا تساوت الأجزاء التخيلية. 3. أي أن a + bi = c + di يكون صحيحًا فقط عندما يكون a = c و b = d.

تلميح: تساوي الأعداد المركبة يعتمد على تساوي مكوناتها الأساسية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما الخطوة الأولى الأساسية لجمع أو طرح عددين مركبين؟

• أ) ضرب الأجزاء الحقيقية والتخيلية معًا
• ب) تحويل الأعداد إلى الصورة القطبية أولاً
• ج) جمع الأجزاء الحقيقية معًا وجمع الأجزاء التخيلية معًا
• د) إيجاد مرافق كل عدد قبل الجمع

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: جمع الأجزاء الحقيقية معًا وجمع الأجزاء التخيلية معًا.

الشرح: 1. لجمع أو طرح أعداد مركبة، نستخدم خواص الجمع (التبديل، التجميع، التوزيع). 2. الخطوة الأساسية هي فصل الأجزاء المتشابهة. 3. نجمع الأجزاء الحقيقية معًا في حد واحد. 4. ونجمع الأجزاء التخيلية معًا في حد آخر.

تلميح: فكر في تجميع الحدود المتشابهة كما في كثيرات الحدود.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

بناءً على قاعدة تساوي الأعداد المركبة، ما هي الخطوة الصحيحة لإيجاد قيم x و y التي تجعل المعادلة (3x - 5) + (y - 3)i = 7 + 6i صحيحة؟

• أ) مساواة الجزء الحقيقي بالجزء الحقيقي (3x - 5 = 7)، ومساواة الجزء التخيلي بالجزء التخيلي (y - 3 = 6).
• ب) مساواة الجزء الحقيقي بالجزء التخيلي (3x - 5 = 6)، ومساواة الجزء التخيلي بالحقيقي (y - 3 = 7).
• ج) جمع الأجزاء الحقيقية والتخيلية في طرف واحد ومساواتها بالصفر (3x - 5 + y - 3 = 0).
• د) قسمة الجزء الحقيقي على الجزء التخيلي في كلا الطرفين ومساواة الناتجين.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: مساواة الجزء الحقيقي بالجزء الحقيقي (3x - 5 = 7)، ومساواة الجزء التخيلي بالجزء التخيلي (y - 3 = 6).

الشرح: 1. تنص القاعدة على أن a + bi = c + di إذا وفقط إذا كان a = c و b = d. 2. نحدد الجزء الحقيقي في الطرفين: (3x - 5) و (7)، ثم نساويهما لتكوين المعادلة الأولى. 3. نحدد الجزء التخيلي (المعاملات المضروبة في i) في الطرفين: (y - 3) و (6)، ثم نساويهما لتكوين المعادلة الثانية. 4. بحل المعادلتين نحصل على قيم x و y المطلوبة.

تلميح: تذكر أن الأعداد المركبة لا تتساوى إلا إذا تطابق الجزء الذي لا يحتوي على (i) في الطرفين، والجزء المضروب في (i) في الطرفين.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الشرط الضروري والكافي لتساوي العددين المركبين a + bi و c + di؟

• أ) a = c و b = d
• ب) a = b و c = d
• ج) a + b = c + d
• د) a = d و b = c

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: a = c و b = d

الشرح: 1. وفقاً لخصائص الأعداد المركبة، يتساوى عددان مركبان إذا وفقط إذا تساوى الجزآن الحقيقيان والجزءان التخيليان. 2. في المعادلة المعطاة، الأجزاء الحقيقية هي a و c، بينما معاملات الأجزاء التخيلية هي b و d. 3. لتحقيق التساوي، يجب أن يتحقق الشرطان معاً: الجزء الحقيقي يساوي الحقيقي (a = c) والجزء التخيلي يساوي التخيلي (b = d).

تلميح: تذكر أن المساواة في الأعداد المركبة تتطلب تطابق الجزء الحقيقي مع الحقيقي، والتخيلي مع التخيلي.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل